Variétés approximativement Kähleriennes et variétés de Gray

G-structures et réductions des G-structures

  Soit M une variété réelle de dimension m, TM son fibré tangent. On note GL(M) le fibré des repères de M dont la fibre au-dessus de x ∈ M, GLx(M), est l’ensemble des bases de TxM. On note π : GL(M) → M la projection correspondante. Un changement de base de TxM est représenté par une matrice inversible de taille m × m, soit un élément du groupe GL(m, R), qui agit dès lors sur GLx(M). Ou bien, un élément p ∈ GLx(M) peut aussi être vu comme un isomorphisme p : Rm → TxM et l’action de GL(m, R) consiste en la composition à droite : pg = p ◦ g. Cette action est libre et transitive sur chaque fibre ou de façon équivalente si on considère l’action de GL(m, R) sur la variété GL(M) entière, M ≃ GL(M)/GL(m, R). Ceci fait de GL(M) un fibré principal de groupe GL(m, R), au sens de la
Définition 1.1.1. Un fibré principal de groupe G est la donnée de deux variétés P et M et d’une submersion π : P → M telles que
(i) G agit librement à droite sur P. On note cette action (g, p) 7→ pg ou Rg(p).
(ii) M ≃ P/G et π est la projection canonique.
(iii) Le fibré π : P → M est localement trivial : ∀x ∈ M, il existe un voisinage U de x et un difféomorphisme P|U = π−1(U) → U × G p 7→ (π(p),gU (p)) où gU est G-équivariant.
Ce qui est spécial avec les fibrés principaux c’est que par l’action d’un élément du groupe G on peut obtenir n’importe quel élément d’une fibre à partir d’un autre. Par conséquent une section locale sU de P, dénie sur U, définit une trivialisation locale en posant, quel que soit p ∈ P avec π(p) = x ∈ U que gU (p) est l’unique élément de G vérifiant p = sU (x)gU (p). En particulier P est trivial, c’est-à-dire isomorphe globalement au fibré trivial M × G (pour lequel π est la première projection), si et seulement si il possède une section globale. Maintenant, lorsque deux ouverts U, V de M associés à des trivialisations locales sU , sV , ont une intersection non nulle, la fonction de transition hUV : U ∩ V → G est dénie par sV = sU hUV . Les fonctions de transition vérifient hUU = e, hUV = h −1V U et enfin, pour U∩V ∩W 6= {0},hUV hV W = hUW . Réciproquement si on se donne un recouvrement de M par des ouverts et des fonctions associées, à valeurs dans G, avec ces propriétés, on peut construire un fibré principal dont elles soient les fonctions de transitions. On arrive à une autre définition d’un fibré principal : à isomorphisme près, c’est un élément du premier groupe de cohomologie de ƒech sur le faisceau des fonctions de M à valeurs dans G. Une section locale de GL(M) est appelée repère local de M ou TM. Le fibré GL(M) est déni pour une variété réelle quelconque mais on s’intéresse à des variétés spéciales munies de sous-fibrés principaux de GL(M), associés à des sous-groupes de GL(m, R).

Représentations réelles, représentations complexes

   Dans la suite du chapitre, on s’intéressera surtout aux représentations complexes de G. Ce qui rend cette restriction légitime, quoiqu’on prenne toujours pour objet des variétés réelles, est visible dans le cas de U(n) où on sait par exemple que la décomposition en types réels d’une forme réelle α ∈ Λp (selon la décomposition en sous-espaces irréductibles de la représentation réelle sous-jacente) n’est qu’une sous-décomposition de la décomposition en types complexes, obtenue en considérant α comme un élément du complexifié λp = ΛpC. Par exemple une forme réelle de type (3,0)+(0,3) est la somme de deux formes (complexes) conjuguées de type (3,0) et (0,3), respectivement. Mais on peut donner une raison générale,pour un groupe de Lie G compact quelconque, comme on le fait dans cette section. Soit V un C-espace vectoriel. On appelle structure réelle sur V un C-anti-automorphisme τ de carré 1, τ 2 = Id. On appelle structure quaternionique de V un C-anti-automorphisme j de carré −1. Une représentation complexe irréductible de G sur V est dite de type réel (resp. quaternionique) si et seulement si V admet une structure réelle (resp. quaternionique) équivariante. Dans ces deux cas V est isomorphe, comme représentation de G, à la représentation duale V . Si au contraire V 6≃ V la représentation est dite de type complexe.

Réduction d’une variété presque hermitienne de dimension 6 à SU(3)

   On s’intéresse dans cette section à des variétés presque hermitiennes telles que U(M) a une réduction supplémentaire à SU(n), le groupe spécial unitaire. Plus précisément on s’intéresse à la dimension 6 et à des variétés SU(3). Le groupe spécial unitaire est le sous-groupe de U(n) formé des éléments de déterminant complexe égal à 1, c’est-à-dire qui préservent une n-forme complexe une forme extérieure de type (n, 0) non nulle.

Structure SU(3) naturelle d’une variété de Gray

On commence par une définition.
Définition 4.1.1. Une variété approximativement kählerienne est une variété de type W1 dans la classification de Gray, Hervella. Le mot anglais est nearly-Kähler . On notera souvent simplement dans la suite NK. Vu les dénitions des composantes Wi , i = 1, 2, 3, 4, une variété NK a les propriétés élémentaires suivantes :
Lemme 4.1.2. Soit (M,g, ω) une variété NK,
(i) ∇ω est une 3-forme : ∇ω =13dω.
(ii) η est totalement antisymétrique : ηXY = −ηY X.
(iii) dω est de type (3, 0) + (0, 3) : dω = ψ.
(iv) dω ∧ ω = 0.
(v) Le tenseur de Nijenhuis N est totalement antisymétrique.
Les deux premiers points sont équivalents à la définition 4.1.1 car (Λ1 ⊗ [[λ2,0]]) ∩ Λ3 = W1. Les points (iii) et (iv) sont équivalents : ils caractérisent les variétés quasi-kähleriennes c’est-à-dire de type W1⊕W2. Enfin (v) caractérise les variétés de type G1 (voir la définition de cette classe dans [33]) ou W1 ⊕ W3 ⊕ W4, dans le formalisme de Gray, Hervella. Les tenseurs w2,w3,w4 (ou ζ, χ, ϑ) sont donc nuls et la torsion intrinsèque est η = ξ pour une variété NK. Elle est identiquement nulle si et seulement si w1, N1 ou ψ sont nuls. Par conséquent la classe des variétés NK est orthogonale à la classe des variétés hermitiennes (caractérisée par N = 0, c’est-à-dire ∇ω ∈ W3 ⊕ W4) mais aussi à la classe des variétés symplectiques (ou presque kähleriennes : dω = 0 c’est-à-dire ∇ω ∈ W2) :
Lemme 4.1.3. Soit (M,g, ω) une variété NK. La structure presque complexe est intégrable, N = 0, si et seulement si M est kählerienne. De même la forme de Kähler est fermée, dω = 0, si et seulement si la variété est kählerienne. En dimension 6, on distingue des variétés NK, non kähleriennes :
Définition 4.1.4. On appelle variété de Gray une variété NK de dimension 6 telle que la norme de dω est constante, non nulle.

Holonomie faible

   On peut exprimer autrement le fait énoncé à la proposition 4.2.2 sans passer par la connexion intrinsèque, dans le langage des formes de Killing. c’est ce qu’on fera à la proposition 4.3.5. Auparavant on donne quelques définitions. Un champ de vecteurs de Killing X ∈ TM est un champ de vecteurs vérifiant LXg = 0 .De façon équivalente ∀Y, Z ∈ TM, g(∇Y X,Z) = −g(∇ZX, Y ) ou encore, en appelant α = X♭ ∈ Λ1 la 1-forme duale, ∇α est totalement antisymétrique. Pour une p-forme,

Table des matières

Introduction
1. G-structures et G-connexions 
1.1. G-structures et réductions des G-structures 
1.2. Connexions et torsion intrinsèque d’une G-structure
1.3. Espaces homogènes 
2. Représentations 
2.1. Représentations réelles, représentations complexes
2.2. Poids et racines
2.3. Décomposition irréductible des produits tensoriels 
3. Variétés presque hermitiennes 
3.1. Variétés complexes, variétés presque complexes 
3.2. Variétés presque hermitiennes, classification de Gray-Hervella
3.3. Réduction d’une variété presque hermitienne de dimension 6 à SU(3) 
4. Variétés approximativement kähleriennes et variétés de Gray
4.1. Structure SU(3) naturelle d’une variété de Gray
4.2. Courbure et torsion intrinsèque d’une variété NK 
4.3. Holonomie faible
5. Classification des variétés NK homogènes 
5.1. Introduction 
5.2. Espaces 3-symétriques 
5.3. Espaces homgènes presque hermitiens 
5.4. Le groupe de Lie S3 × S3
5.5. Espaces homogènes quotients de groupes produits des sphères 
5.6. L’espace des drapeaux 
5.7. L’espace projectif complexe de dimension 3 
5.8. La sphère de dimension six 
6. Espace de twisteurs réduit d’une variété presque hermitienne de dimension 6 
6.1. Introduction 
6.2. L’espace de twisteurs réduit et sa structure presque complexe 
6.3. Résolution des équations d’intégrabilité 
6.4. Variétés de type W1 ⊕ W4 
6.5. Variétés presque hermitiennes conformes
6.6. Conclusion 
Bibliographie

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