Modélisation de la diffusion électromagnétique par les vagues côtières déferlantes

Théorie Physique de la Diffraction

Les champs diffusés sont calculés en passant par la détermination de courants de surface sur une arrête [51]. Les expressions de courants sur une arrête conductrice sont déterminées par Mitzner [52] et Michaeli [53]. Le domaine de validité de cette méthode est similaire à celui de la Théorie Géométrique de la Diffraction. Elle explique également le phénomène de la diffraction et le champ dans les zones d’ombre.

Méthode des Différences Finies

Le principe de base de la Méthode des Différences Finies consiste à discrétiser le domaine d’étude avec des grilles régulières et d’approcher les équations différentielles sur chaque nœud des grilles par la série de Taylor [57]. L’avantage majeure de cette méthode est qu’aucune matrice ne doit être sauvegardée [56]. Ceci permet la résolution de systèmes très larges. L’autre avantage est qu’elle est bien adaptée à la modélisation du problème de la propagation dans le domaine temporel. Cependant, la discrétisation de systèmes par des grilles régulières pose la difficulté de modélisation du système de grande courbure comme le montre la figure (1.8a).

Système matriciel linéaire

Du point de vue mathématique, les équations intégrales peuvent être classifiées selon plusieurs catégories tels que la limite d’intégration, la position de la fonction inconnue et la nature de la fonction inconnue. Lorsque les deux limites d’intégration sont fixées, les équations intégrales sont appelées « Fredholm » et quand la première limite est fixée et la deuxième est une variable, alors ces équations sont appelées « Volterra ». Si la fonction inconnue se trouve uniquement dans l’opérateur intégral, elles sont du 1er type et quand la fonction inconnue se trouve à la fois dedans et en dehors de l’opérateur intégral, alors les équations sont du 2ème type. Concernant la nature de la fonction inconnue, les équations intégrales peuvent être homogène ou non homogène. Dans le problème de la diffusion EM, le système est formalisé par l’Équation Intégrale du Champ Électrique (EICE) et l’Équation Intégrale du Champ Magnétique (EICM) que nous avons présenté dans le chapitre 1. Ces équations sont celles de Fredholm du 1er et du 2ème type. L’EICE pour un conducteur a une forme de Fredholm du 1er type alors que l’EICM pour un conducteur a une forme de Fredholm du 2ème type. Le cas d’un diélectrique est en effet la combinaison de ces deux formes. Afin de montrer le développement du système matriciel des équations intégrales que nous utilisons dans ce manuscrit, nous prenons deux références. Le première est l’EICE pour un conducteur 2D et le deuxième est l’EICM pour un conducteur 2D. D’autres équations intégrales peuvent être discrétisées en suivant la même démarche que ces deux références (annexe C.1).

Techniques différentielles

Les techniques différentielles dans le contexte hydrodynamique résolvent directement l’équation de Laplace avec ses conditions aux limites et initiales. Les méthodes de discrétisation de ces techniques sont globalement du type Méthode des Différences Finies et la Méthode des Éléments Finis.
Méthode des Différences Finies En raison de sa simplicité, la Méthode des Différences Finies a été l’une des premières appliquées pour modéliser les vagues déferlantes. Nous pouvons consulter par exemple les résultats des simulations numériques réalisées par Schaeffer [128]. La difficulté majeur de cette méthode dans le contexte hydrodynamique porte sur la technique de maillage. Vu que le fluide « bouge », la trame du maillage doit être « flexible » et modifiable à chaque instant pour suivre la dynamique du fluide.
Méthode des Éléments Finis En développant la forme variationnelle des équations différentielles hydrodynamiques, nous pouvons également utiliser la Méthode des Éléments Finis. Comme dans le cas de la Méthode des Différences Finies, la difficulté majeure de cette méthode dans ce contexte porte sur la technique de maillage. Pour surmonter cette difficulté, Ma [129, 130] a proposé une méthode appelée QALE-FEM (Quasi Arbitraire Lagrangian Eurelian – Finite Element Method). Avec cette nouvelle technique, le maillage est défini sur le domaine du fluide à l’instant t = 0. Puis, on fait évoluer ce maillage à l’aide d’une technique lagrangienne appelée « spring analogy ».

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Table des matières

Introduction générale
I Ondes électromagnétiques et méthodes de calcul
1 Rayonnement et diffusion EM
1.1 Rappels électromagnétiques
1.2 Rayonnement électromagnétique
1.2.1 Champs proche et lointain
1.2.2 Onde plane monochromatique
1.3 Diffusion électromagnétique
1.3.1 Surface Équivalente Radar (SER)
1.4 Méthodes de calcul diffusion EM
1.4.1 Méthodes analytiques
1.4.1.1 Cylindre de longueur infinie (référence 2D)
1.4.1.2 Sphère (référence 3D)
1.4.2 Méthodes asymptotiques
1.4.2.1 Techniques de rayons
1.4.2.2 Techniques de courants
1.4.3 Méthodes numériques
1.4.3.1 Techniques différentielles
1.4.3.2 Techniques intégrales
1.5 Équations intégrales de frontière
1.5.1 Simplification selon les matériaux
1.5.2 Simplification pour le cas 2D
1.5.2.1 Polarisation horizontale
1.5.2.2 Polarisation verticale
1.6 Conclusion
2 Méthode des Moments (MdM)
2.1 Principe de la Méthode des Moments
2.1.1 Système matriciel linéaire
2.1.1.1 Fredholm du 1er type
2.1.1.2 Fredholm du 2ème type
2.1.2 Fonctions de base et fonctions de test
2.1.2.1 Fonctions de base B
2.1.2.2 Fonctions de test T
2.1.3 Techniques de maillage
2.2 MdM-Classique
2.2.1 Structure 2D
2.2.1.1 Fonctions de base
2.2.1.2 Applications
2.2.2 Structure 3D
2.2.2.1 Fonctions de base
2.2.2.2 Applications
2.2.3 MdM-Classique vs Courbure de la surface
2.3 MdM-Ordre Supérieur
2.3.1 Structure 2D
2.3.1.1 Fonctions de base
2.3.1.2 Applications
2.3.2 Structure 3D
2.3.2.1 Fonction de base
2.3.2.2 Applications
2.4 Diffusion EM par des surfaces naturelles
2.4.1 Onde conique
2.4.1.1 Modèle 2D
2.4.1.2 Modèle 3D
2.4.1.3 Effets de l’onde conique
2.4.2 Applications
2.4.2.1 Surfaces sinusoïdales
2.4.2.2 Surfaces gaussiennes aléatoires
2.5 Conclusion
II Intéraction des ondes électromagnétiques avec les vagues
3 Modélisation et génération de vagues
3.1 Modèle statistique de description de la mer du vent
3.1.1 Spectres de mer
3.1.1.1 Spectres non-directionnels
3.1.1.2 Fonctions de répartition angulaire
3.1.2 Probabilités des vagues
3.1.2.1 Probabilité des hauteurs
3.1.2.2 Probabilité des pentes
3.2 Modèle hydrodynamique de description de la houle
3.2.1 Rappels hydrodynamiques
3.2.1.1 Équations de base
3.2.1.2 Hypothèses de simplification
3.2.1.3 Conditions aux limites et initiales
3.2.2 Théories de résolution
3.2.2.1 Théorie de Airy (linéaire)
3.2.2.2 Théorie de Stokes
3.2.2.3 Théorie Cnoïdale
3.2.3 Interaction de la houle avec le rivage
3.2.3.1 Déferlement
3.2.3.2 Réflexion
3.2.3.3 Réfraction
3.2.3.4 Diffraction
3.3 Modélisation des vagues déferlantes
3.3.1 Modèle expérimental
3.3.2 Méthodes numériques
3.3.2.1 Techniques différentielles
3.3.2.2 Techniques intégrales
3.3.3 Simulation des vagues déferlantes
3.4 Caractéristiques électromagnétiques de l’eau de mer
3.4.1 Perméabilité
3.4.2 Permittivité
3.4.3 Conductivité
3.4.4 Profondeur de pénétration
3.5 Conclusion
4 Diffusion EM par les vagues déferlantes
4.1 Diffusion EM par les vagues déferlantes 2D
4.1.1 Système de simulation
4.1.2 Déferlement gonflant
4.1.3 Déferlement glissant
4.1.4 Déferlement plongeant
4.2 Diffusion EM par les vagues déferlantes 3D
4.3 Diffusion EM par une surface océanique (modèle spectral)
4.4 Analyse temps-fréquence
4.5 Conclusion
Conclusion générale