Utilisation des sections et des distributions angulaires dans le code TRIPOLI4

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Phénomène de résonance

Les mesures des sections efficaces ont montré que, pour certaines énergies du neutron incident, la valeur des sections efficaces est très élevée. On explique ce phénomène par la théorie de formation du noyau composé. En effet, si l’énergie disponible dans le système neutron-noyau est très proche de la distance entre le niveau fondamental et l’un des niveaux excités du noyau, la probabilité de formation du noyau composé est grande [Lynn, 1968]. Ce phénomène est appelé phénomène de résonance.
Selon l’espacement des niveaux excités du noyau composé et la résolution énergétique des moyens de mesure, on distingue trois domaines énergétiques : le domaine résolu, le domaine non résolu et le continuum.
Le premier domaine se situe entre quelques eV et quelques centaines de keV pour les noyaux tel l’uranium 238. Il est caractérisé par la présence de niveaux bien séparés et clairement identifiés lorsqu’on effectue des mesures. Dans ce domaine, la largeur des niveaux est très inférieure à l’espacement moyen des niveaux et chaque résonance est bien détectée. Plus l’énergie augmente, plus les niveaux tendent à devenir indiscernable à cause de la largeur qui croît puisque leur durée de vie se réduit.
Dans le domaine non résolu, situé entre quelques centaines de keV et 1 MeV, l’espacement moyen des niveaux est du même ordre de grandeur que la largeur des niveaux. La résolution des appareils de mesure ne permet plus de discerner chaque résonance y compris avec un refroidissement de la cible à 0 K. Dans ce domaine énergétique, on ne dispose donc que des grandeurs moyennes et des distributions statistiques théoriques (lois de Wigner et distribution du χ2) validées à partir du domaine résolu.
À plus haute énergie, l’espacement moyen est inférieur à la largeur des niveaux et les résonances se recouvrent mutuellement. Cette zone, appelée continuum, est caractérisée par une variation lente des sections efficaces en fonction de l’énergie. La limite entre domaine résolu et non résolu est uniquement dictée par la résolution des appareils de mesure.

Formalismes nucléaires

Les formalismes nucléaires sont des modèles physiques servant à reconstruire les sections efficaces [Glasstone et Edlund, 1952], [Blaise et Fort]. Ils sont basés sur la mécanique quantique et font l’hypothèse de formation d’un noyau composé lors d’une interaction nucléaire. Tous ces formalismes sont une simplification du formalisme dit de la « matrice R », qui n’est applicable qu’en réduisant le nombre de voies. Du plus simple au plus général on trouve :
– le formalisme de Breit et Wigner simple niveau qui est valable si on peut négliger l’interférence entre niveaux et résonances ;
– le formalisme de Breit et Wigner multi niveaux qui prend en compte l’interférence entre les voies mais pas entre les niveaux ;
– le formalisme de Reich et Moore qui néglige l’interférence entre les voies gamma de différents niveaux.
On détaille par la suite les formules analytiques du modèle Breit et Wigner simple niveau. Les sections de capture et de fission, dénotée par l’indice i, sont représentées par une (E Γ2 )2 ,pour les sections de diffusion élastique, on ajoute un terme d’interférence et un terme constant, appelé section potentielle σp, donnant : σs(E) = πλ¯ 2gj Γ2n (E – E0)2 + (Γ2 )2 + 2λ¯ gj√πσp (E Γ–n(EE0)–2 + ( E0)Γ2 )2 + σp.
La section totale est obtenue par sommation de toutes les réactions possibles pour le noyau. Dans ces formules, on emploie les conventions suivantes :
– λ¯ est la longueur d’onde réduite du neutron ;
– gj = 2j+1(2i+1)(2s+1) est le facteur statistique du spin, j est le moment cinétique du noyau composé, i est le moment cinétique du noyau cible et s = 1/2 est le spin du neutron ;
– Γn, Γi et Γ = Γn + Γi sont les largeurs de diffusion résonnante, de capture radiative et totale. La largeur de diffusion résonnante varie en √E pour les neutrons d’onde s, tandis que la largeur de capture radiative est presque constante en énergie.
Le terme d’interférence est négatif pour des énergies E < E0, ce qui produit une forte chute de la section de diffusion. Le milieu devient transparent aux neutrons pour ces énergies (fenêtre neutronique). La dépendance en 1/√E de la longueur d’onde λ fait qu’à très basse énergie et loin de E0 : la section de capture ou de fission varie en 1/√E et la section de diffusion élastique reste presque constante.
La figure 1.1 représente les sections efficaces de capture et de diffusion élastique de l’uranium 238. On peut observer le comportement en 1/v de la section efficace à basse énergie et les nombreuses résonances du domaine résolu. Alors que la section de capture est une fonction symétrique autour des pics des résonances, la section efficace de diffusion est dissymétrique. La section totale qui en résulte est une fonction symétrique autour des premières résonances et de plus en plus dissymétrique à plus haute énergie. Dans le domaine non résolu, on représente la seule valeur moyenne de la section efficace.

Théorie du transport des neutrons

Grandeurs neutroniques

La population neutronique dans le cœur d’un réacteur nucléaire (≈ 108neutrons/cm3) est très élevée mais en même temps peu dense par rapport à celle de la matière dans laquelle les neutrons diffusent (≈ 1023atomes/cm3). De ce fait, on peut considérer la population neutronique comme un gaz raréfié en évolution, sur lequel un traitement statistique est effectué pour évaluer un effectif moyen sur certains critères [Bussac et Reuss, 1985]. Pour repérer complètement un neutron, il faut connaître les variables suivantes :
– sa position dans l’espace~r (trois variables),
– le module de la vitesse ou de l’énergie cinétique E = 1 2 mnv2, qui caractérise son mouvement,
– la direction angulaire ~ Ω (deux variables),
– l’instant t considéré.
La grandeur utilisée pour décrire la population neutronique d’un point de vue statistique est la densité neutronique en phase n(~r, E, ~ Ω, t). Elle est définie telle que n(~r, E, Ω~ , t)d3rdEd2Ω.

Résolution de l’équation de transport

La résolution de l’équation de transport s’appuie sur deux approches différentes : une approche déterministe et une approche statistique. La première résout l’équation de transport dans un format discrétisé en partant soit de la formulation intégro-différentielle (comme les méthodes SN et nodales) soit de la formulation intégrale (méthode des probabilités de collision et des caractéristiques). La deuxième approche est la méthode de Monte Carlo, elle donne accès à une solution probabiliste en reproduisant statistiquement les phénomènes physiques d’interaction neutron-matière. Par rapport aux méthodes déterministes, elle né- cessite un temps de simulation beaucoup plus élevé, mais elle n’effectue aucune discrétisation de l’équation de transport pour des problèmes stationnaires à température uniforme 6, ce qui en fait un instrument de référence pour toute méthode déterministe.
Par la suite, on décrira succinctement d’abord la discrétisation de l’équation de transport effectuée par les méthodes déterministes pour sa résolution ensuite on donne un aperçu de la méthode de Monte Carlo.

Discrétisation de la variable énergétique

La discrétisation de la variable énergétique conduit à l’approximation multigroupe, qui consiste à remplacer les fonctions continues en énergie (sections efficaces et flux neutronique), par des valeurs constantes dans chaque intervalle énergétique, appelé groupe. Le critère utile pour calculer ses grandeurs moyennes est le respect des taux de réactions dans chaque intervalle énergétique g [Sanchez, 2000] : σ gρ (~r) = Rg dEσ ρ(E)Φ(~r, E) Rg dEΦ(~r, E)
Malheureusement, cette définition est purement formelle, car elle nécessite de connaître le flux neutronique qui est l’inconnue du problème. On aborde dans le chapitre 3 toutes les étapes de modélisation pour constituer l’ensemble des données discrétisées en énergie (bibliothèque multigroupe). On se souviendra qu’une des principales erreurs, non contrôlables par l’utilisateur du code de transport, vient de l’approximation multigroupe.
Le système d’équations qui découle de l’approximation multigroupe est caractérisé par une structure particulière, qu’on peut subdiviser en trois grandes régions : le domaine rapide, situé entre 300 keV et 20 MeV, le domaine épithermique situé entre la coupure thermique et 300 keV et le domaine de la thermalisation, situé entre 10–4 eV et la coupure thermique. La coupure thermique est l’énergie de seuil au-delà de laquelle la remontée en énergie des neutrons après choc est négligeable. Elle est fixée dans le code APOLLO2 à 4 eV. Les domaines rapide et épithermique sont donc caractérisés par une perte d’énergie du neutron après chaque choc. Le domaine rapide se distingue du domaine épithermique par l’apparition des neutrons issus de fissions. Aussi, le domaine épithermique est-il également appelé domaine du ralentissement. Dans ces deux zones énergétiques, le système d’équations est résolu en partant du groupe de plus haute énergie jusqu’à la coupure par une résolution en « cascade » du fait que le profil des matrices du système est triangulaire inférieur. Dans le domaine thermique, par contre, les collisions élastiques et inélastiques au sein du milieu cristallin ou moléculaire permettent aux neutrons incidents d’avoir un gain en énergie. Dans ce cas, le profil des matrices du système est plein et la résolution se fait par itérations successives avec un algorithme de Gauss-Seidel.
La forme de l’équation du transport résolue sur chaque groupe énergétique est donnée par : Lgψg(~r, Ω~ ) = (Hψ)g(~r, ~ Ω) + 1 k e f f (FΦ)g(~r) + Qext g (~r, ~ Ω), (2.11)

État de l’art du traitement des données nucléaires pour la génération des bibliothèques multigroupes

On appelle « données nucléaires » toutes les grandeurs caractérisant les interactions élé- mentaires, c’est-à-dire les interactions entre les neutrons et les noyaux des atomes constituant le système auquel on s’intéresse. Ces données, comme on a vu au chapitre 1, sont, pour l’essentiel, des sections efficaces, mais également des rendements (nombre de neutrons secondaires issus d’une réaction, probabilité d’obtenir les divers fragments de fission …), des données de décroissance radioactive.
L’ensemble de ces données nucléaires est regroupé dans une évaluation nucléaire ENDF, qui peut être considérée comme la « bibliothèque de base ». Ces données de base ne sont pas directement utilisables pour la résolution numérique de l’équation de transport (cf. 2.4.2), elles doivent donc subir un traitement. C’est le rôle du code américain NJOY, du code fran- çais CALENDF et ensuite du module d’autoprotection de générer l’ensemble des constantes multigroupes (bibliothèque multigroupe) pour les solveurs déterministes de l’équation de transport.
Les codes NJOY et CALENDF font actuellement partie de la chaîne de traitement automatique GALILEE [Coste-Delclaux, 2008], dont la figure 3.1 fournit un aperçu des principales phases. Ce système emploie le programme PREPANJ99, pour générer les données pour les codes NJOY et CALENDF, et le code N2A2, pour rassembler les données dans une structure dite APOLIB dédiée au code de transport déterministe APOLLO2. L’ensemble du traitement est lancé par un script PERL.
Ce chapitre présente succinctement le contenu des évaluations nucléaires et l’ensemble des étapes nécessaires à la création d’une bibliothèque multigroupe du code APOLLO2.

Les données ENDF et les sections efficaces

L’élaboration de l’ensemble des données nucléaires s’appuie sur les mesures des sections efficaces microscopiques. Ces résultats sont évalués, c’est-à-dire, en simplifiant à l’extrême, obtenus en pondérant chaque mesure par son erreur expérimentale. L’ensemble de ces données a un format défini par la norme international ENDF (Evaluated Nuclear Data Format) [Herman, 2005]. Il associe à chaque élément (MAT) des informations générales (MF=1), des paramètres de résonances (MF=2), la valeur des sections ponctuelles (MF=3), les distributions angulaires (MF=4), énergétiques (MF=5) et combinées (MF=6) des particules émises et les données de thermalisation (MF=7). Chaque fichier (MF=3) peut être détaillé selon le type de réaction.

Algorithme d’obtention de la solution multigroupe de référence

Pour résumer, la création d’une solution multigroupe de référence est le résultat de deux processus différents : la génération d’un maillage énergétique et l’évaluation de sa précision vis à vis d’une référence.
Dans notre algorithme, la réalisation de la première étape, exposée au paragraphe 5.1.1 et 5.1.2, nécessite de choisir le critère du transfert des neutrons ESLF, pour appliquer une autoprotection par la méthode des sous-groupes, et le critère de reconstruction du flux ef , pour raffiner le maillage autour des résonances.
Dans la deuxième étape, on évalue la précision des solutions multigroupes avec le maillage généré et une autoprotection par la méthode des sous-groupes en mélange (cf. 5.2.2). Plusieurs alternatives sont possibles dans le choix de la référence.
La première possibilité, sans restriction sur le domaine énergétique d’application, consiste à chercher une solution Monte Carlo sur un découpage fixe commun à l’ensemble des maillages générés. Cette structure multigroupe grossière doit être choisie de sorte qu’elle donne une bonne mesure de l’erreur associée au maillage généré. La convergence est atteinte quand les solutions multigroupes rentrent dans les barres d’erreur à trois écarts-types de la simulation Monte Carlo. Une autre possibilité comporte l’utilisation de l’équation de ralentissement ponctuel en énergie. Ce choix, à la différence du précédent, permet d’évaluer l’erreur dans tous les groupes du maillage énergétique, car le flux est une grandeur connue à toute valeur de l’énergie. D’autre part, à l’heure actuelle, il n’est applicable que dans certain domaine d’énergie (zone du ralentissement élastique et inélastique discrèt hors continuum).
La dernière alternative est l’emploi d’une procédure itérative de convergence multigroupe. Le processus est arrêté quand l’écart des taux de réaction entre une solution plus grossière et une solution plus raffinée, condensée sur le maillage grossier, est inférieur à une valeur minimale prédéfinie.

Table des matières

Introduction générale
I Rappels 
1 Interaction neutron/matière
1.1 Neutron et Noyau
1.2 Mécanismes d’interactions neutron/noyau
1.3 Notion de section efficace
1.4 Phénomène de résonance
1.5 Formalismes nucléaires
1.6 Effet Doppler
2 Théorie du transport des neutrons
2.1 Grandeurs neutroniques
2.2 Équation de transport de Boltzmann
2.3 Formulation intégrale de l’équation de transport
2.4 Résolution de l’équation de transport
2.4.1 Calcul de valeur propre
2.4.2 Discrétisation de la variable énergétique
2.4.3 Discrétisation des variables angulaires et spatiales
2.4.4 Algorithme général
2.4.5 La méthode de Monte Carlo
2.4.6 Construction du processus statistique dans le code TRIPOLI4
3 État de l’art du traitement des données nucléaires pour la génération des bibliothèques multigroupes
3.1 Les données ENDF et les sections efficaces
3.1.1 La représentation ponctuelle
3.1.2 La représentation multigroupe
3.1.3 Les tables de probabilité
3.2 Le code NJOY
3.2.1 Sections efficaces
3.2.2 Matrice de transfert
3.3 Le code CALENDF
3.3.1 Calcul des probabilités et des paliers de la section totale
3.3.2 Plusieurs sections efficaces
3.4 Bibliothèque multigroupe du code APOLLO2
3.4.1 Sections de diffusion et matrices de transfert
3.4.2 Le spectre de fission
3.5 Le module d’autoprotection
3.5.1 Autoprotection selon le formalisme Livolant-Jeanpierre
3.5.2 Autoprotection en sous-groupes
3.5.3 Limites des méthodes d’autoprotection
II Développements théoriques 
4 Principes du mailleur adaptatif
4.1 Type d’équation pour la solution de référence
4.1.1 La dépendance en espace
4.1.2 La dépendance en angle
4.2 L’approche pour l’optimisation du maillage énergétique
5 Solution multigroupe de référence
5.1 Construction du maillage de référence
5.1.1 Critères portant sur les taux et sur le flux
5.1.2 Critère portant sur le transfert
5.2 Sections efficaces pour le calcul de référence
5.2.1 Utilisation des sections et des distributions angulaires dans le code TRIPOLI4
5.2.2 Les sections et les matrices de transfert multigroupes dans AEMC
5.3 Résolution multigroupe de l’équation de transport
5.4 Algorithme d’obtention de la solution multigroupe de référence
5.5 Solveur ponctuel en énergie
5.5.1 Transfert élastique et isotrope dans le centre de masse
5.5.2 Transfert inélastique et isotrope dans le centre de masse
5.5.3 Prise en compte de l’anisotropie dans le système du centre de masse
5.5.4 Calcul du flux
6 Condensation optimale du maillage de référence
6.1 Données multigroupes condensées
6.2 Autoprotection en sous-groupes
6.3 Autoprotection selon le formalisme de Livolant-Jeanpierre
6.3.1 Équation pour les tabulations des taux de référence
6.3.2 Équivalence continu-multigroupe
6.4 Extension de l’approche Livolant-Jeanpierre à un problème à source
6.5 Définition et minimisation de la fonctionnelle
6.5.1 Les algorithmes génétiques
6.5.2 Les essaims particulaires
6.5.3 Croisement des maillages
III Résultats 
7 Test de validation de la méthode 96
7.1 Modélisation du spectre de fission
7.2 Comparaison des solveurs dans le domaine non résolu
7.2.1 Problèmes à source
7.2.2 Problème à valeur propre
7.2.3 Conclusion
7.3 Solveur ponctuel
7.3.1 Prise en compte des réactions inélastiques dans le noyau de transfert
7.3.2 Contrôle de la précision du solveur ponctuel
7.4 Comparaison entre AEMC et APOLLO2
viii7.4.1 Méthode des sous-groupes
7.4.2 Méthode Livolant-Jeanpierre
7.5 Optimisation
7.5.1 Influence du maillage pour l’autoprotection Livolant Jeanpierre
7.5.2 Optimisation du maillage pour l’autoprotection Livolant-Jeanpierre
8 Construction du maillage de référence pour la filière RNR-sodium
8.1 Définition de la base de cas
8.2 Sensibilité aux paramètres d’entrée
8.2.1 Effet de l’évaluation
8.2.2 Effet de la température
8.3 Obtention du maillage de référence RNR-sodium
8.3.1 Convergence multigroupe pour l’individuation des cas complexes
8.3.2 Comparaison avec le code de référence TRIPOLI4
8.3.3 Comparaison avec le solveur ponctuel
8.3.4 Vérification finale de convergence multigroupe
9 Optimisation et validation des maillages énergétiques
9.1 Optimisation
9.1.1 Opérateur approché de transport avec l’autoprotection en sous-groupes à isotope isolé
9.1.2 Étude de la courbe de performance précision-nombre de groupes pour la méthode des sous-groupes à isotope isolé
9.1.3 Choix de la méthode optimale d’autoprotection
9.1.4 Étude de la courbe de performance nombre de groupes – précision avec la méthode Livolant-Jeanpierre résolvant un problème à source
9.1.5 Coût du calcul de transport et espace mémoire de la bibliothèque multigroupe
9.2 Tests de validation avec APOLLO2 et TRIPOLI4
9.2.1 Caractéristiques du test sur la cellule RNR-sodium
9.2.2 Comparaison TRIPOLI4 et APOLLO2 sur la cellule RNR-sodium
9.2.3 Caractéristiques du test sur la couverture fertile
9.2.4 Comparaison TRIPOLI4 et APOLLO2 sur le problème plan à source dans la couverture fertile
9.2.5 Conclusion des tests de validation
Conclusions et perspectives 
A La méthode des probabilités de collision
B Mailleur sur les taux de réaction
B.1 Calcul des taux de référence
B.2 Équivalence continu-multigroupe
B.3 Calcul d’une erreur variable par plage énergétique et noyau
C Algorithme de résolution du solveur ponctuel
Bibliographie 

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