Utilisation de la notion de copule en tomographie

Tomographie 2D en géométrie parallèle

                En réduisant le problème de la tomographie axiale assistée par ordinateur (traduction du mot anglais “Computated Tomography (C.T.)) dans le cas de la reconstruction d’une image à deux dimensions, donnée par une fonction f(x1, x2), à partir d’un ensemble de projections à travers l’image suivant différents angles θ dans l’intervalle [0, π). Une projection Pθ(r) est une fonction d’une variable qui est obtenue en calculant les intégrales linéiques de f(x1, x2) suivant des lignes parallèles passant à travers l’image, est une fonction scalaire à deux variables dans une region donnée de l’espace. Le support de l’image est souvent continu, mais un échantillonnage sur une grille de forme souvent rectangulaire est faite. Ces rectangles définissent alors un ensemble de n pixels, et l’image est représentée par un vecteur ayant comme composantes les intensités des pixels. En tomographie on ne peut pas observer l’image mais seulement des données mesurées. L’idée principale de la CT à rayons X est d’obtenir des images de la structure interne d’un objet à l’aide de la radiographie de l’objet prise en de nombreuses directions différentes. Figure 1, pour le cas de la géométrie parallèle, les faisceaux de rayons X émis à partir d’une source suivent une trajectoire en ligne droite. Et un détecteur est placé pour faire la mesure de ses rayons X à la sortie quand ceux-ci traversent l’intérieur de l’objet f(x1, x2). Chaque ligne droite est à une distance perpendiculaire r de l’origine de l’axe. L’élément de la droite noté dl est la portion sur laquelle l’intégration est faite. Pour différentes positions du détecteur en mouvement autour de l’objet suivant l’angle θ, les données P(θ, r) sont collectées. Pour une valeur de fixe de l’angle θ, on obtient la valeur Pθ(r). L’ensemble de toutes ses valeurs mesurées constituent la donnée de projection observée du problème direct. Il faut noter que l’énergie de ses rayons X est atténuée plus ou moins en fonction de la densité de la matière rencontrée au cours de leur trajectoire (voir les travaux de Emilio Gino Segrè [28]).

Tomographie avec deux projections

                 Les expressions analytiques de l’inverse de la transformée de Radon données par l’équation (2) dans les cas pair et impair donnant f(x1, . . . , xn) nécessitent toutes les valeurs continues de ξ et r lors de l’intégration. Mais en pratique pour les problèmes de reconstruction en tomographie on ne possède pas toutes les valeurs de ξ et r, mais le plus souvent on dispose d’un nombre faible de projections. Comme dans le industriel, en contrôle non destructif (CND) pour examiner des soudures, de matériaux composites, et faire aussi la surveillance des structures très sensibles qui pourront être des centrales nucléaires et bien d’autres exemples. Mais pour ces exemples d’applications précitées, les angles de vues ou bien des projections pour faire la reconstruction sont réduites et en générale ces problèmes se situent dans la catégorie des problèmes inverses mal posés, c’est-à-dire que le modèle mathématique associé pour résoudre le problème physique ne satisfait pas les propriétés d’un « problème bien posé” qui sont définies par Jacques Hadamard [6] :
1) Une solution existe
2) La solution est unique
3) Stabilité de la solution par rapport à des perturbations dans les données de problème.
Il y a plusieurs techniques pour qu’un problème mal posé puisse être résolu [30, 31]. Le problème mathématique de reconstruction en tomographie à l’aide des projections n’échappe pas à cette citation précédente et dans le cas précis de notre travail nous ne disposons que deux projections orthogonales ou de deux angles de vue alors le problème de reconstruction dans ce cas précis devient extrêmement mal posé. Mais il y a plusieurs applications de la tomographie avec deux projections [32] : par exemple quand la visualisation de nombreuses expériences tomographique est fortement limitée comme en physique des plasmas [33].

Copules maximales de divergences et d’entropies

              Dans notre rapport, le cas particulier pour l’indice d’entropie q = 2, s’est avéré important et nous a permis de montrer l’existence de nouvelles familles de copules et les liens qu’il y a avec d’autres copules déjà connues. Nous savons qu’il existe plusieurs types d’entropie et de mesures de divergences ayant des applications fondamentales [62]. Une autre perspective de travaux serait de chercher à caractériser les copules maximales de ces autres entropies (Par exemple, l’entropie de Burg) ou de divergences sous les contraintes (4.14) et qui peuvent fournir des solutions explicites.

Conclusions générales

Dans ce travail présenté, nous avons :
• Établi un lien entre la notion de copule et la tomographie.
• Décrit un problème commun pour l’inversion
• Proposé une méthode d’inversion en utilisant les entropies de
– Shannon
– Rényi
– Tsallis
• Découvert de nouvelles copules en utilisant l’entropie de Tsallis avec q = 2 et les densités marginales Bêta et Kumaraswamy.
• Développé un outil de simulation en Matlab.

Table des matières

1 Motivations et notations 
1.1 Un peu d’historique
1.2 Notations 
2 Tomographie 
2.1 Tomographie en imagerie médicale 
2.1.1 Tomographie 2D en géométrie parallèle
2.1.2 Problème direct
2.1.3 Principe de l’algorithme en tomographie
2.2 Tomographie avec deux projections 
2.3 Tomographie en géométrie parallèle 
2.3.1 Transformée de Radon
2.3.2 Transformée à Rayons X et Transformée de Radon
2.3.3 Exemples de calcul d’une transformée de Radon
2.4 Conclusion 
3 Théorie des copules
3.1 Distribution multivariée
3.1.1 Densité de loi conjointe de probabilité
3.1.2 Fonction de répartition
3.1.3 Marginales pour le cas multivarié
3.1.4 Loi gaussienne multivariée
3.1.5 Mélange de Gaussiennes
3.1.6 Loi de Student
3.1.7 Loi de Student multivariée
3.2 Deux problèmes équivalents 
3.3 Copule et leur utilisation
3.3.1 Copule bivariée
3.3.2 C-volume et mesure doublement stochastique
3.3.3 Copule multivariée
3.3.4 Différentes méthodes de construction des copules
3.4 Utilisation des copules en statistique
3.4.1 Estimation au sens du maximum de vraisemblance
3.4.2 Inférence des fonctions marginales (IFM)
3.4.3 L’approche bayésienne
3.5 Quelques points et discussion sur les copules
3.6 Conclusion
4 Copules à maximum d’entropie 
4.1 Problèmes posés
4.1.1 Problème direct
4.1.2 Problème inverse
4.2 Différentes approches pour le problème inverse 
4.2.1 Fixer a priori une forme pour f(x1, x2)
4.2.2 Approche ad hoc de construction d’une copule
4.2.3 Choisir une copule et rajouter d’autres contraintes
4.2.4 Choisir une fonctionnelle J(f) et l’optimiser
4.3 Entropie en mécanique statistique 
4.3.1 Méthode proposée
4.3.2 Résultats principaux
4.4 Famille de copules 
4.5 Exemples de famille de copule bivariée 
4.5.1 Loi Bêta
4.5.2 Loi de Kumaraswamy
4.5.3 Loi de puissance bilatère
4.5.4 Lien avec d’autres familles de copules
4.6 Les mesures de dépendances 
4.7 Conclusions
5 Copules et tomographie discrète 
5.1 Introduction
5.2 Copule discrète 
5.2.1 Produit de copules
5.3 Copules décrivant les processus markoviens
5.3.1 Equations de Chapman-Kolmogorov
5.3.2 Équations de Chapman-Kolmogorov via les copules
5.4 Matrices bistochastiques et copule discrète
5.4.1 Matrices doublement stochastiques
5.4.2 Copule Discrète
5.5 Tomographie discrète
5.5.1 Formulation du problème de reconstruction
5.6 Unicité en tomographie discrète
5.6.1 Méthode proposée
5.6.2 Construction d’une copule par la méthode algébrique
5.7 De la copule discrète à la tomographie discrète
5.7.1 Algorithme pour la matrice bistochastique
5.8 Représentation graphique
5.9 Conclusion 
6 Expérimentations numériques 
6.1 Lien entre la notion de copule et la tomographie
6.1.1 En tomographie
6.1.2 La théorie de copule
6.2 Quelques représentations graphiques des nouvelles copules
6.3 Screenshot of the package “Copula-tomography”
6.4 Guide
6.4.1 Menu
6.4.2 Menu List
6.5 Conclusion
7 Conclusions générales et Perspectives 
7.1 La classe de copules entropiques 
7.2 Tomographie discrète et copule discrète
7.3 Extension des copules : notion de q-copule 
7.4 Copules maximales de divergences et d’entropies
7.5 Autres points
7.6 Conclusions générales

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