Soutenance mémoire
Une structure de simulation dynamique de la ottation en colonne
Chapitre 2 La commande predictive
Le monde theorique de la commande predictive (MPC) n’est pas simple a visiter pour le novice n’ayant pas un certain bagage en algebre lineaire et en topologie. Si la simple utilisation de l’outil ne requiere pas une connaissance approfondie de ces ou-tils mathematiques, le developpement de preuves de stabilite rigoureuses ne peut se faire sans elle.Plusieurs ouvrages sont entierement dedies a la commande predictive. Pratique de la commande predictive (Richalet, 1993), un des premiers a avoir et publie, est un col-lectif d’ingenieurs de la societ Adersa. Il donne une presentation generale du sujet qui se veut d’avantage pratique que theorique et qui se limite aux systemes lineaires monovariables. Le livre de Camacho & Bordons (1999) constitue un bon texte d’in-troduction. Il preconise l’approche par fonctions de transfert et traite notamment des aspects pratiques lies a l’utilisation de la commande predictive. A l’instar de Cama-cho & Bordons (1999), Soeterboek (1992) s’interesse egalement la MPC en se basant sur la representation par fonctions de transfert, mais se limite au cas monovariable. De nombreux autres ouvrages, dont celui de Rossiter (2003), adoptent plut^ot la nota-tion par representations d’etats, plus generale et plus appropriee pour traiter les cas multivariables. Celui de Maciejowski (2002) propose une approche tres pedagogique permettant egalement d’aborder facilement le sujet. S’adressant a un public averti, le livre de Kwon & Han (2005) presente | dans un style aride et parfois ou | les plus recents developpements theoriques de la commande a horizon fuyant.La MPC a egalement fait l’objet de plusieurs articles donnant une vue d’ensemble du domaine. Henson (1998) fait un survol des questions theoriques et pratiques liees de la commande predictive non lineaire (NMPC). Morari & Lee (1999) traitent de l’evolution de la MPC et presentent des discussions interessantes sur plusieurs sujets dont la performance en boucle fermee par rapport aux predictions en boucle ouverte, la NMPC et la formulation explicite de la robustesse. L’article de Mayne et al. (2000) resument egalement de facon tres claire les developpements realises au cours des annees 1990 avec les principaux travaux jalons. L’objectif principal de leur presentation est de distiller de ces aspects historiques les ingredients requis pour garantir la stabilite nomi-nale, mais elle traite egalement de la robustesse et de divers autres aspects theoriques lies a la NMPC. Depuis une dizaine d’annees, Qin & Badgwell (1996, 1998, 2003) font periodiquement une enqu^ete portant sur les principales technologies de MPC disponibles sur le marche. Ils presentent les di erentes strategies, techniques et methodes adoptees pour poser et resoudre le probleme de contr^ole optimal dans un contexte industriel. En n, parmi les autres publications dignes d’inter^et, il serait utile de mentionner celles tres rigoureuses et dediees exclusivement a la formulation en temps continu de Findeisen & Allgower (2002), Findeisen et al. (2002) et Allgower et al. (2004).
Ce chapitre presente un panorama non exhaustif de considerations theoriques et pra-tiques lies a la MPC. Un souci particulier est accorde a la recherche d’un certain equilibre entre la vulgarisation du domaine et la precision de la presentation de maniere a ob-tenir un compromis a la fois digestible et su samment rigoureux. La premiere section presente les principes de base et le formalisme d’un probleme de MPC. La seconde section constitue le coeur de ce chapitre et aborde la question de la stabilite nominale des systemes asservis par commande predictive. Il s’agit d’un domaine incontournable pour quiconque ayant un inter^et theorique pour la MPC. La troisieme section se veut davantage qualitative et discute de certaines considerations pratiques telles l’inter^et de la commande predictive non lineaire dans un contexte industriel et le reglage des di erents parametres.
Fondements et formulation du probleme
Principe de la commande a horizon fuyant
Le concept de l’horizon fuyant est probablement le fondement principal de la commande predictive. Deja a la n des annees soixante, Lee & Markus (1967) decrivaient comment cette idee peut ^etre utilisee pour contr^oler un systeme a partir de la resolution d’une sequence de problemes d’optimisation en boucle ouverte :
One technique for obtaining a feedback controller synthesis from knowledge of open-loop controllers is to measure the current control process state and then compute very rapidly for the open-loop control function. The rst portion of this function is then used during a short time interval, after which a new measurement of the process state is made and a new open-loop control function is computed for this new measurement. The procedure is then repeated.
C’est sur la base de telles considerations qu’est nee par la suite la commande predictive. Le principe de la commande a horizon fuyant (RHC, acronyme anglais pour Receding horizon control) est illustre a la gure 2.1 dans un cas monovariable sans contraintes d’operation. Il consiste a calculer la commande u a appliquer a chaque periode de contr^ole k a partir d’une prediction du comportement du proced en boucle ouverte. L’objectif d’amener et de maintenir la sortie du proced y a sa consigne r est traduit mathematiquement dans un critere quadratique de contr^ole J qui est elabor a partir de la prediction du comportement futur de y et u en boucle ouverte sur un horizon de prediction temporel Hp. La determination de u se pose donc comme la resolution d’un probleme d’optimisation ou les predictions u^ sont les variables independantes. Celles-ci sont faites sur un horizon de contr^ole temporel Hc Hp au-dela duquel les predictions demeurent constantes tel que
u^(k + ) = u^(k + Hc 1) 8 HcHp (2.1) pour un systeme discret.
Dans le cas monovariable, le present probleme implique donc Hc variables decisionnelles, m^eme s’il fait intervenir Hp variables dependantes.
La gure 2.1 illustre le concept de la commande a horizon fuyant. Elle met en relief les predictions en boucle ouverte realisees aux instants discrets de contr^ole k = 5, k = 6 et k = 7 avec le comportement reel du systeme asservi (Hp = 8 et Hc = 3). La periode d’echantillonnage ts est de 1 seconde. Une distinction est faite entre les signaux reels temporels de commande U(0 : t) et de sortie Y (0 : t), et les signaux discretises ^ 1 j k = t=ts) et (predits a des instants donnes) dans le contr^oleur U(k : k + Hp ^ j Y (k + 1 : k + Hp k = t=ts). Le signal de reference est donne par R(0 : t).
A chaque instant de contr^ole, un nouveau probleme d’optimisation est resolu selon l’etat actuel du systeme. Pour le systeme nominal (modele exact sans perturbations externes), il n’y a pas de di erence entre les predictions e ectuees et le comportement reel si Hp et Hc tendent vers l’in ni (Morari & Lee, 1999). En pratique toutefois, le systeme nominal n’etant qu’une abstraction, le comportement predit en boucle ouverte n’est jamais parfaitement identique a celui observ en boucle fermee. Cet aspect ne peut d’ailleurs ^etre neglig lors de la conception puisqu’il peut faire en sorte que le systeme en boucle fermee soit amen hors de la region de faisabilite, soit hors de l’ensemble des conditions d’operation admissibles qui est delimit par les contraintes d’operation, de securit et de stabilite.
Avantages et inconvenients de la commande predictive
Il peut ^etre utile maintenant de considerer l’inter^et de la MPC par rapport aux autres techniques de contr^ole couramment utilisees. Bien que l’elegance intrinseque de la for-mulation du probleme ne puisse ^etre negligee, elle ne saurait justi er une utilisation generalisee de la technique en industrie. Camacho & Bordons (1999) sont d’ailleurs plus eloquents et enumerent plusieurs avantages de la commande predictive :
elle est particulierement interessante pour les ingenieurs n’ayant qu’une connaissance limitee en contr^ole parce que les concepts sont tres intuitifs et que le reglage est tres simple ;
elle peut ^etre utilisee pour une grande variet de procedes, peu importe la complexit de la dynamique (long retard, phase non minimale, systeme instable) ;
les cas multivariables peuvent ^etre facilement traites ;
la compensation pour les retards est faite de facon intrinseque ;
la compensation par anticipation des perturbations mesurees se fait aisement ; les contr^oleurs lineaires resultants sont faciles a implanter ;
le traitement des contraintes est conceptuellement simple et il peut ^etre inclus systematiquement lors du processus de conception ;
elle est tres pratique lorsque les consignes futures sont connues (en robotique ou pour les procedes discontinus) ;
il s’agit d’une methodologie completement ouverte dont les principes de base per-mettent des extensions futures.
A ces observations, la possibilite d’etendre la methodologie aux cas non lineaires et la prise en consideration du modele du proced de facon explicite dans le contr^oleur devraient ^etre ajoutees.
En contrepartie toutefois, ils mentionnent quelques inconvenients :
l’obtention de la loi de commande demande un e ort de calcul beaucoup plus grand que dans le cas d’un regulateur PID conventionnel ;
dans le cas adaptatif, tous les calculs pour obtenir la loi de commande doivent ^etre repris a chaque periode d’echantillonnage ;
lorsque des contraintes d’operation sont prises en consideration, la solution devient iterative et les temps de calcul peuvent devenir tres importants.
De plus, contrairement aux regulateurs PID, les contr^oleurs predictifs ne peuvent ^etre regles sans un modele explicite du comportement dynamique du systeme a asservir. Cependant, dans la pratique industrielle, c’est probablement l’absence d’outils de com-mande predictive dans la plupart des systemes de contr^ole courants (PLC ou DCS), la meconnaissance de la technique, et le manque de connaissance en contr^ole de procedes des personnes responsables de leur programmation et de leur entretien qui represente le plus grand inconvenient de la commande predictive par rapport a la commande algebrique de type PID.
Formulation du probleme
La litterature portant sur la commande predictive aborde autant le probleme selon l’angle du temps continu (t 2 R+) que de celui du temps discret (k 2 N+). C’est toute-fois pour les systemes discrets que les applications concretes sont les plus probantes, les systemes continus etant essentiellement consideres pour les developpements theoriques. Il faut toutefois mentionner que tout resultat dans un domaine comporte un equivalent dans l’autre domaine.
Le systeme etudi est de ni sous la forme de representations d’etats du type
x(t) = fx (x(t); u(t)) (2.2)
y(t) = fy (x(t)) (2.3)
dans le domaine continu ou
x(k + 1) = gx (x(k); u(k)) (2.4)
y(k) = gy (x(k)) (2.5)
dans le cas discret. y 2 Rn, x 2 Rp et u 2 Rm sont respectivement les vecteurs colonne de sortie (n variables contr^olees), d’etats (au nombre de p) et de commande (m variables manipulees) du systeme.
Dans sa forme la plus simple, le probleme de contr^ole optimal en boucle ouverte se pose mathematiquement dans sa version pour les systemes continus tel que Probleme 2.1 Probleme de contr^ole optimal en boucle ouverte pour un systeme continu
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Table des matières
1 Introduction
1.1 L’optimisation et la commande predictive
1.2 L’optimisation et la ottation en colonne
1.3 Inter^et et objectifs du projet de recherche
1.4 Structure de la these
2 La commande predictive
2.1 Fondements et formulation du probleme
2.1.1 Principe de la commande a horizon fuyant
2.1.2 Avantages et inconvenients de la commande predictive
2.1.3 Formulation du probleme
2.2 Stabilite nominale
2.2.1 Contrainte terminale d’egalite
2.2.2 Contrainte sur l’ensemble terminal et mode duel
2.2.3 Ponderation terminale et ensemble terminal
2.3 Considerations pratiques
2.4 Conclusion
3 La simulation et le contr^ole de la ottation en colonne
3.1 Introduction
3.2 Process description
3.3 Modeling
3.3.1 Process characterization
3.3.2 Prediction of recovery
3.3.3 Dynamic behavior
3.3.4 Soft sensors
3.4 Process control
3.4.1 Intermediate level control
3.4.2 Control strategies based on metallurgical objectives
3.5 Research trends & Future applications
3.5.1 Steady-state simulation : Metallurgical performance
3.5.2 Sensor development and applications
3.5.3 Dynamic modeling and simulation
3.5.4 Process control development and applications
3.6 Conclusion
4 Une structure de simulation dynamique de la ottation en colonne
4.1 Structure du simulateur
4.1.1 Architecture globale
4.1.2 Modele pour les mouvements de la phase gazeuse
4.1.3 Modelisation du processus de ottation
4.1.4 Particularite de chacune des zones de fonctionnement
4.2 Procedure de simulation
4.2.1 Presentation generale
4.2.2 Modication pour la gestion des variations importantes de niveau de pulpe
4.2.3 Calibrage du simulateur
4.3 Etude de cas
4.4 Conclusion
5 La commande predictive basee sur la simulation
5.1 Formulation du probleme
5.1.1 Notation
5.1.2 Principe de la Sim-MPC
5.1.3 Pseudo-optimisation : reglage decentralise
5.1.4 Pseudo-optimisation : reglage decouple
5.2 Convergence de la simulation
5.2.1 Cas general lineaire
5.2.2 Cas statique
5.3 Analyse de la stabilite
5.4 Methodes de reglage
5.4.1 Reglage decentralise
5.4.2 Reglage decouple
5.5 Exemples
5.5.1 Melangeur parfait
5.5.2 Flottation en colonne
5.6 Conclusion
6 Conclusion
Bibliographie
A Preuves et developpements mathematiques
A.1 Stabilite nominale sous une contrainte terminale d’egalite
A.2 Stabilite nominale sous une contrainte sur l’ensemble terminal et un mode duel
A.2.1 Reglage du contr^oleur local de retroaction
A.2.2 Preuve des theoremes 2.4 et 2.5
A.3 Stabilite nominale basee sur une ponderation terminale et un ensemble terminal
B Calcul des predictions deterministes et stochastiques
B.1 Predictions deterministes
B.2 Predictions stochastiques
C Simulation de la ottation en colonne { Fichiers Matlab
D Sim-MPC { Fichiers Matlab
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