Une méthode de calcul efficace pour l’étude paramétrique du flambage non-linéaire de structures tridimensionnelles

Ce travail a été réalisé à l’initiative du Centre Technique des Systèmes Navals (CTSN), centre d’études et d’essais de la DGA . Le CTSN a, dans le cadre de ses missions, en charge d’évaluer la tenue mécanique des coques de sous-marins soumises à la pression hydrostatique correspondant à l’immersion du sous-marin. De part les procédés complexes de fabrication des coques, les caractéristiques géométriques et matériaux possèdent une plage de dispersion, et il s’avère utile d’en étudier les effets sur la stabilité de la coque par des méthodes fiabilistes. En complément des règles ou normes déterministes classiques de dimensionnement, l’outil de calcul fiabiliste fournit non seulement une probabilité de défaillance, mais aussi les sensibilités de celle-ci aux variables aléatoires. Ces sensibilités permettent d’orienter le concepteur sur les tolérances optimales pour la fiabilité à fixer au chantier de construction.

Le calcul fiabiliste s’appuie sur un modèle mécanique qui doit représenter le plus fidèlement et le plus précisément possible la physique du phénomène étudié. Le calcul numérique par éléments finis est la solution la plus fréquemment utilisée pour modéliser le comportement d’une structure. La puissance des ordinateurs actuels permet de traiter des problèmes complexes et les algorithmes de calculs non-linéaires sont bien maitrisés, automatisés et robustes.

Prise en compte des défauts 

Les observations expérimentales montrent que la charge de flambage d’une structure est très variable d’un essai à l’autre. La figure 4 rassemble des résultats d’essais obtenus lors de flambage de cylindres en compression axiale [9]. Le rapport rayon sur épaisseur est reporté sur l’axe des abscisses, le facteur de charge critique expérimental sur l’axe des ordonnées. Chaque point est un résultat d’essai. On voit clairement apparaître une grande dispersion dans les charges critiques de flambage pour une même géométrie de cylindre (dispersion verticale). Ce phénomène, connu depuis longtemps, est dû à la présence de défauts. Les chemins d’équilibre de la structure parfaite sont modifiés par la présence de défauts (fig. 5). La branche d’équilibre de la structure imparfaite ne présente plus de point de bifurcation, mais un point limite. La charge critique est souvent fortement réduite par la présence d’un défaut. Le premier à avoir formalisé le problème du flambage des structures imparfaites est KOITER [63]. Son travail est une référence dans ce domaine [8]. Une synthèse des principales contributions sur le flambage des structures imparfaites est faite par ELISHAKOFF dans [41].

Beaucoup d’autres travaux expérimentaux et numériques ont été menés sur l’influence des défauts, par exemple :

➤ l’étude effectuée dans [6] conclue sur la nécessité de bien maîtriser les conditions aux limites lors d’un essai pour une comparaison avec une simulation numérique.

➤les travaux présentés dans [54] concluent quant à la forme la plus critique d’un défaut d’épaisseur: la variation d’épaisseur la plus critique pour le flambage de l’harmonique n est une variation sur l’harmonique 2n. Cette étude est poursuivie dans [36] par l’analyse du couplage d’un défaut d’épaisseur et d’un défaut de forme. Il en ressort que la multiplication des deux coefficients de réduction de charge critique des deux défauts pris séparément donne une bonne approximation du coefficient de réduction total de charge .

L’influence des défauts sur le flambage d’une structure est donc un phénomène important qu’il faut pouvoir modéliser. L’algorithme de calcul doit être capable de reproduire la réponse non-linéaire d’une structure imparfaite (fig. 5). Plusieurs algorithmes ont été développés par différents auteurs. Les méthodes incrémentales sont les plus utilisées. L’algorithme que l’on utilise est de type Newton-Raphson, avec un pilotage par longueur d’arc inspiré de celui de RIKS [91].

Vers un couplage mécanique-fiabilité 

Calculer la fiabilité signifie calculer la probabilité de défaillance à partir des densités de probabilité des variables incertaines. La probabilité de défaillance est la probabilité qu’un point physiquement possible (une réalisation des variables aléatoires) soit tel que la réponse de la structure ne soit pas admissible (par exemple à cause d’une défaillance par flambage). Dans le domaine de l’électronique, on peut assez facilement déterminer la probabilité de défaillance d’une fonction du système en connaissant la probabilité de défaillance de chacun des composants du circuit (donnée par le fabricant). Il n’en est pas de même pour la fiabilité d’un système mécanique. En général, sauf pour les cas simples, il est impossible de mener un calcul analytique : la modélisation numérique de la physique du phénomène est indispensable à la résolution du problème de fiabilité.

Les enjeux de la fiabilité sont de plus en plus importants car on veut construire des systèmes performants, robustes, fiables, et cela pour un coût réduit : c’est un problème d’optimisation. L’estimation de la fiabilité, outre la probabilité de défaillance, donne la sensibilité du système par rapport aux variables aléatoires, ce qui est une indication importante pour la robustesse. Elle permet de quantifier les coefficients de sécurité, et de donner un plan de maintenance des composants du système. Cela est directement lié aux coûts financiers. Une difficulté dans ce problème est de connaître la densité de probabilité des variables incertaines. Concernant les défauts géométriques, une banque internationale répertoriant les défauts des structures minces en fonction du mode de fabrication est en cours d’élaboration, elle a été initiée par ARBOCZ [7]. Des abaques donnent les coefficients à appliquer à la charge critique de la structure parfaite pour vérifier un niveau de fiabilité donné. Ces abaques sont en général faites pour chaque spécialité de la construction mécanique et pour chaque entreprise qui se base souvent sur son expérience dans le domaine. Pourtant, les problèmes de flambage de cheminées, de réservoirs ou de silos sont très proches. Un code européen rassemble les différents constructeurs et leur propose de mettre en commun leurs connaissances [96].

Plusieurs algorithmes pour le calcul de fiabilité sont disponibles. Une comparaison des différentes méthodes de couplage mécanique-fiabilité est faite par LEMAIRE et MOHAMED dans [74]. Les méthodes peuvent être directes (algorithme de RackwitzFiessler ou Abdo-Rackwitz par exemple), elles peuvent faire appel à un algorithme d’optimisation, ou bien utiliser les surfaces de réponses. Une étude de fiabilité pouvant être très “chrono-phage” des travaux sont menés pour améliorer l’efficacité de l’algorithme de fiabilité. Les travaux de GAYTON BOURINET et LEMAIRE [48] [49] apportent par exemple des solutions efficaces pour les surfaces de réponses. L’idée dans ces travaux est d’intégrer la connaissance de l’ingénieur sur le modèle mécanique et d’utiliser au maximum tous les calculs mécaniques effectués au cours des itérations de fiabilité. Il semble que les algorithmes d’évolution soient peu utilisés en fiabilité. On se propose dans ce travail, sans développer une nouvelle méthode pour la fiabilité, de tester l’efficacité d’un algorithme d’évolution pour le problème de fiabilité. On le compare à l’algorithme de Rackwitz-Fiessler. Ceci permet aussi de valider les méthodes de calculs mécaniques paramétrées proposées pour de fortes variations des paramètres aléatoires.

Finalement, tous les algorithmes développés pour la fiabilité demandent beaucoup de calculs mécaniques pour desjeux de paramètres voisins. Afin de diminuer l’effort de calcul, la partie mécanique du couplage mécano-fiabiliste doit être dédiée à la fiabilité en proposant des méthodes efficaces pour des calculs répétitifs avec des paramètres proches.

Table des matières

Introduction
1 Eléments finis
1.1 Deux éléments utilisés dans ces travaux
1.1.1 Elément COQUE
1.1.2 Elément COMU
1.1.3 Pourquoi un nouvel élément ?
1.2 Développement d’un nouvel élément : SHB8PS
1.2.1 Bibliographie
1.2.2 Formulation variationnelle
1.2.3 Fonctions de base et opérateur gradient discrétisé
1.2.4 Matrice de raideur, contraintes et forces internes
1.2.5 Matrice de masse
1.2.6 Matrice de raideur géométrique
1.2.7 Matrice des forces suiveuses
1.2.8 Stabilisation de l’élément
1.3 Applications de l’élément SHB8PS
1.3.1 Limites d’élancement de l’élément
1.3.2 Poutre vrillée
1.3.3 Hémisphère pincé
1.3.4 Panneau cylindrique
1.3.5 Cylindre pincé
1.3.6 Cylindre raidi
1.3.7 Poutre en S
1.3.8 Un calcul envisageable : cylindre ouvert
1.4 Conclusion sur le nouvel élément SHB8PS
2 Etude paramétrique du flambage
2.1 Le phénomène de flambage
2.1.1 Stabilité d’un équilibre
2.1.2 Application aux structures élastiques
2.1.3 Extension aux structures élasto-plastiques
2.1.4 Structures avec imperfections
2.1.5 Exemple de l’anneau en pression externe
2.2 Les méthodes pour le calcul non-linéaire paramétrique
2.2.1 La méthode Latin
2.2.2 Les méthodes de développements asymptotiques
2.2.3 La méthode asymptotique numérique
2.2.4 La méthode du système augmenté
2.2.5 Les méthodes analytiques
2.2.6 Motivations pour une nouvelle méthode
2.3 Algorithme incrémental non-linéaire
2.3.1 Introduction au calcul incrémental
2.3.2 Boucle d’évolution
2.3.3 Résolution de l’équilibre
2.4 Une nouvelle méthode pour le calcul paramétrique
2.4.1 Calcul de la courbe modifiée : méthode paramétrée M.P.
2.4.2 Passage de la courbe de référence à une courbe modifiée : méthode paramétrée avec étape de correction M.P.C
2.4.3 Différentes stratégies pour le calcul modifié
2.4.4 Limitation des méthodes proposées
2.5 Applications des méthodes paramétrées
2.5.1 Flambage non-linéaire d’un anneau
2.5.2 Réponse non-linéaire d’un panneau cylindrique
2.5.3 Flambage non-linéaire d’un cylindre raidi
2.5.4 Flambage non-linéaire d’une coque de sous-marin
2.6 Conclusions sur les méthodes paramétrées
3 Applications à la fiabilité
3.1 Le problème de fiabilité
3.1.1 Probabilité de défaillance
3.1.2 Calcul de la probabilité de défaillance par approximation
3.2 Méthodes couramment utilisées
3.2.1 Algorithme de Rackwitz-Fiessler
3.2.2 Les surfaces de réponse
3.3 Application au flambage non-linéaire
3.4 Application des algorithmes d’évolution à la fiabilité
3.5 Stratégie de calculs distribués
3.6 Utilisation de Matlab pour la fiabilité
3.7 Exemples de calculs fiabilistes
3.7.1 Recherche du champ d’épaisseur le plus critique d’un cylindre en pression externe
3.7.2 Fiabilité d’un cylindre raidi
3.7.3 Application des algorithmes d’évolution à la fiabilité d’un cylindre raidi
3.7.4 Fiabilité d’une structure représentative d’un sous-marin
3.8 Conclusions sur l’étude de fiabilité
Conclusion

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