Soutenance mémoire
Typologie de la résolution de problèmes en mathématiques
Plusieurs types de problèmes peuvent être rencontrés en mathématiques (Charnay R., 1992- 1993) :
• Situations problèmes : problèmes destinés à engager les élèves dans la construction de nouvelles connaissances.
• Problèmes de réinvestissement : problèmes destinés à permettre aux élèves l’utilisation des connaissances déjà étudiées.
• Problèmes de transfert : problèmes destinés à permettre aux élèves l’extension du champ d’utilisation d’une notion déjà étudiée.
• Problèmes d’intégration ou de synthèse : problèmes plus complexes dans lesquels les élèves doivent utiliser conjointement plusieurs catégories de connaissances.
• Problèmes d’évaluation : problèmes dont l’objectif est de permettre au maître et aux élèves de faire le point sur la manière dont les connaissances sont maîtrisées.
• Problèmes ouverts : problèmes destinés à mettre l’élève en situation de recherche et donc de développer des compétences méthodologiques : faire et gérer des essais, faire des hypothèses, imaginer des solutions, tester leur validité, argumenter.
Les problèmes peuvent être classés dans plusieurs des catégories présentées ci-dessus, selon le niveau de classe auxquels ils sont donnés. Jean brun (1999) affirme « qu’un problème est généralement défini comme une situation initiale avec un but à atteindre, demandant au sujet d’élaborer une suite d’actions ou opérations pour atteindre ce but ». Face à un problème, la solution n’est pas disponible d’emblée, et le problème se définit dans le rapport entre le sujet et la situation proposée. Ces définitions posées, un rappel historique sur la résolution des problèmes en mathématiques permettra de mieux comprendre et de préciser la notion de problèmes ouverts, faisant l’objet de cette étude.
La place de la résolution de problèmes dans les instructions officielles
De 1833 à 1970 : essor des mathématiques dans les instructions officielles
D’après un article de Priolet en 2012, l’enseignement des mathématiques apparaît dans les instructions officielles avec la loi Guizot en 1833. Les problèmes portent alors sur des situations de la vie courante, et les énoncés comportent souvent un « habillage ». Dans les programmes de 1882, le volet pratique n’est plus officiellement recommandé et l’abstraction est prônée, ce qui ne fait pas l’unanimité. En 1923 et en 1945, les instructions qui accompagnent les programmes conseillent de nouveau l’ancrage dans des situations concrètes pour l’apprentissage des mathématiques. En 1945, « la priorité est donnée aux problèmes numériques et la complexité des problèmes est liée au nombre d’opérations à enchaîner pour trouver le résultat. » .
De 1970 à 2008 : développement des problèmes pour chercher
D’après Priolet (2012), contrairement aux problèmes proposés dans les instructions de la première moitié du vingtième siècle, à partir des années 1970, la résolution de problèmes engage pleinement la démarche créative de l’élève, ce qui marque une rupture dans l’enseignement des mathématiques. En 1965, Polya, qui s’intéresse particulièrement à la résolution de problèmes, propose une méthode destinée aux élèves et aux enseignants, en vue de développer les aptitudes des élèves à résoudre des problèmes. Dans les programmes de 1970, la résolution de problèmes est considérée comme une activité privilégiée, et l’ambition est alors de donner une « formation mathématique véritable ». A cette époque, la didactique des mathématiques commence à se développer, avec les travaux de Brousseau, qui évoque notamment « le rôle déterminant de l’enseignant dans le choix et la mise en œuvre de situations visant la dévolution à l’élève de l’élaboration de ses connaissances mathématiques ». Dans les programmes et instructions de 1978, 1980 et 1985, le concept de situation-problème est clairement défini. Les situations-problèmes sont classées en trois catégories : celles qui permettent d’introduire des nouvelles connaissances, celles qui vont permettre d’évaluer les connaissances acquises, et des situations-problèmes complexes visant à développer des capacités de recherche, qualifiées de « problème de recherche » dans les programmes de 1985. A partir des années 1980, il est rappelé que résoudre des problèmes suppose l’appropriation de méthodes, ainsi que la maîtrise du langage mathématique. Les programmes de 1995 intègrent la notion de cycle pédagogique, introduite par la loi d’orientation sur l’éducation du 10 juillet 1989. Ces programmes, en s’inspirant notamment des travaux de recherche de Charnay, réaffirment la notion de problèmes de recherche, et insistent sur la nécessité de développer des compétences méthodologiques. Cette dimension méthodologique est déclinée explicitement dans les programmes : « Dans des situations variées, l’élève pourra : reconnaître, trier, organiser et traiter des données utiles à la résolution d’un problème ; formuler et communiquer sa démarche et ses résultats ; argumenter à propos de la validité d’une solution ; élaborer une démarche originale dans un véritable problème de recherche, c’est-à-dire un problème pour lequel on ne dispose d’aucune solution déjà éprouvée ; élaborer un questionnement à partir d’un ensemble de données. » (Ministère de l’Education nationale, de la Jeunesse et des Sports, 1991). Dans une étude de 1999, Balmes et Coppé s’interrogent sur les dérives observées dans les manuels issus des programmes de 1995. Lors d’une séance de résolution de problèmes, une place prédominante est accordée à la prise d’informations, au détriment de la mobilisation des connaissances mathématiques. Ainsi, les élèves recherchent des données mais ne résolvent pas le problème. De même, en 2002, dans une étude sur des manuels de CE2, Coppé et Houdement déplorent que les élèves soient amenés à s’interroger sur la manière de résoudre des problèmes, sans pour autant les résoudre. Les programmes de 2002, insistent, comme ceux de 1995, sur l’importance de la résolution de problèmes à l’école élémentaire. Les programmes de 2002 complètent ceux de 1995, en s’inspirant de recherches révélant d’une part des lacunes des élèves français en résolution de problèmes en mathématiques, d’autre part des dérives dans les manuels scolaires. En 2002, le ministère de l’éducation nationale affirme que les connaissances mathématiques après avoir été étudiées, peuvent être réinvesties dans les problèmes. La résolution de problèmes permet alors de donner du sens à toutes les connaissances mathématiques travaillées. Les programmes de 2002 évoquaient les notions de procédures personnelles et procédures expertes, ce que déplorent Brissiaud en 2006, ainsi que Charnay en 2006. Ceux-ci précisent que le processus de conceptualisation n’est jamais achevé, et qu’on ne peut pas parler de « procédure experte » à ce niveau. D’autre part, les nombreuses publications en didactique des mathématiques élaborées entre 2002 et 2005, traduisent de l’importance de l’enseignement des mathématiques, et notamment de la résolution de problèmes. Les programmes de 2002 affirment que les enjeux de l’enseignement des mathématiques sont de contribuer au développement d’une pensée rationnelle. Au sujet de l’école maternelle, les documents d’accompagnement des programmes de 2002, stipulent que la plupart des questions posées aux élèves de l’école maternelle sont des problèmes pour chercher. En effet, les élèves n’ayant pas encore construit de nombreuses connaissances mathématiques, ils doivent faire preuve d’inventivité pour répondre aux problèmes qui leur sont proposés. La fin du vingtième siècle et le début du vingt et unième siècle voient donc se développer la didactique des mathématiques, et l’affirmation de l’enjeu fondamental de l’enseignement des mathématiques dans la formation d’un citoyen éclairé. Cet enjeu est alors défini plus clairement dans le socle commun.
De 2008 à nos jours : la résolution de problèmes, une compétence centrale affirmée par le socle commun
Selon l’article de Priolet (2012), le socle commun des connaissances et des compétences de 2006, issu de la loi d’orientation et de programme pour l’avenir de l’école du 23 avril 2005, est organisé en sept compétences, parmi lesquelles figurent les principaux éléments de mathématiques et la culture scientifique et technologique. Le rôle de la résolution de problèmes en mathématiques est explicitement affirmé dans ce socle commun. Dans cette continuité, les programmes de 2008 réaffirment également l’importance de la résolution de problèmes en mathématiques. Le socle commun de connaissance de compétences et de culture (S4C) de 2015, divisé en cinq domaines, stipule que les élèves doivent apprendre, entre autres, à résoudre des problèmes : « L’élève (…) apprend à réfléchir, à mobiliser des connaissances, à choisir des démarches et des procédures adaptées, pour penser, résoudre un problème, réaliser une tâche complexe ou un projet, en particulier dans une situation nouvelle ou inattendue. » .
Dans les programmes de 2015 et 2018 du cycle 2 et du cycle 3, la résolution de problèmes apparaît comme une compétence transversale, à la fois pour tous les domaines mathématiques, mais aussi pour les autres domaines. Le programme actuel du cycle 2 affirme que « la résolution de problèmes est au centre de l’activité mathématique des élèves, développant leurs capacités à chercher, raisonner et communiquer. Les problèmes permettent d’aborder de nouvelles notions, de consolider des acquisitions, de provoquer des questionnements. » Celui du cycle 3 dit que « La résolution de problèmes constitue le critère principal de la maîtrise des connaissances dans tous les domaines des mathématiques. » La résolution de problèmes, issus de situations de classe, contribue à renforcer le lien entre les disciplines. Dans ces programmes, il est recommandé de proposer aux élèves « des problèmes pour apprendre à chercher qui ne soient pas de simples problèmes d’application à une ou plusieurs opérations mais nécessitent des recherches avec tâtonnements. » D’ailleurs, la première compétence citée dans le programme de mathématiques, en lien avec le S4C est la compétence « chercher », que la résolution de problèmes permet pleinement de travailler.
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Table des matières
INTRODUCTION
PARTIE 1 : ANCRAGE THEORIQUE
I- Typologie de la résolution de problèmes en mathématiques
II- La place de la résolution de problèmes dans les instructions officielles
II-1- De 1833 à 1970 : essor des mathématiques dans les instructions officielles
II-2- De 1970 à 2008 : développement des problèmes pour chercher
II-3- De 2008 à nos jours : la résolution de problèmes, une compétence centrale affirmée par le socle commun
III- Problèmes ouverts, problèmes pour chercher ou problèmes pour apprendre à chercher (Arsac G. et Mante M., 2007, Charnay R., 1992-1993, Houdement C., 2003)
IV- Rôle de l’enseignant dans une situation de problème pour chercher
V- La résolution de problèmes dans un exemple de manuel de maths de cycle 1 : « découvrir les maths » de Dominique Valentin – situations MS
VI- Langage oral et argumentation en mathématiques
VII- La place et le rôle du langage en cycle 1
PARTIE 2 : PROBLEMATIQUE ET HYPOTHESES
PARTIE 3 : METHODE EXPERIMENTALE
I- Les rails
I-1- Description de la situation
I-2- Analyse à priori de la situation
I-3- Mise en œuvre dans la classe
II- Les embouteillages
I-1- Description de la situation
I-2- Analyse à priori de la situation
I-3- Mise en œuvre dans la classe
III- Méthodologie d’analyse des données
PARTIE 4 : RESULTATS
I- Les rails
I-1 Résultats de l’expérimentation menée en période 2
I-2 Résultats de l’expérimentation menée en période 3
II- Les embouteillages
PARTIE 5 : DISCUSSION
CONCLUSION
BIBLIOGRAPHIE
ANNEXES
