Tresses classiques et singulières

Tresses classiques et singulières 

Les tresses classiques

Depuis leur introduction par Artin en 1925 dans [2], les tresses ont été redéfinies de nombreuses fois à l’aide de diverses approches. On se contentera ici de ne donner qu’une seule de ces définitions, qui se rapproche de la première définition historique donnée par Artin. Pour les autres définitions on pourra se référer aux divers articles destinés à donner une vue d’ensemble de la théorie des tresses et qui sont parus au cours du temps, comme par exemple [11] ou encore [40].

Définition 1.1. Soit n un entier strictement positif. Une tresse géométrique à n brins est un n-uplet βˆ = (βˆ1, …, βˆn) d’applications C∞ de [0; 1] dans C tel que :

• βˆk(0) = k et il existe sβˆ ∈ Sn tel que βˆk(1) = sβˆ(k), pour tout k,
• si k, l ∈ [[1; n]] et k 6= l alors pour tout t ∈ [0; 1], βˆk(t) 6= βˆl(t).

Les applications βˆ1, …, βˆn sont appelés brins de la tresse géométrique βˆ. Afin de mettre en avant leur nature tridimensionnelle, et en remarquant que les deux applications se déduisent chacune de l’autre, pour toute tresse géométrique βˆ on définit également βe l’application de [0; 1] dans C × [0; 1], définie pour tout t ∈ [0;1] par βe(t) = βˆ(t), t) .

Définition 1.2. Une isotopie ambiante est une application lisse I de (C × [0; 1]) × [0;1] telle que, pour tout s ∈ [0; 1], l’application Is : C × [0; 1] → C × [0; 1] qui envoie (z, t) sur I(z, t, s) est un difféomorphisme, et que I0 = IdC×[0;1]. Deux tresses géométriques βˆ et βˆ′ sont isotopes s’il existe une isotopie ambiante I telle que I1 ◦ βe = βe′ . La relation d’isotopie ainsi définie est une relation d’équivalence sur l’ensemble des tresses géométriques à n brins. On note Bn l’ensemble des classes d’isotopie des tresses géométriques à n brins et on appelle simplement tresse à n brins tout élément de Bn i.e. toute classe d’isotopie de tresses géométriques à n brins.

Les tresses singulières

Nous allons maintenant introduire la notion de tresses singulières, pour lesquels les brins seront autorisés à s’intersecter en un nombre fini de points. Nous les interpréterons plus tard comme des états critiques, intermédiaires entre plusieurs tresses classiques.

Définition 1.5. Soit n un entier strictement positif. Une tresse singulière géométrique à n brins est un n-uplet βˆ = (βˆ1, …, βˆn) d’applications C∞ de [0; 1] (toujours appelées brins) dans C qui vérifie les mêmes propriétés qu’une tresse géométrique à ceci près qu’on autorise pour un nombre fini de t ∈ [0; 1] à ce que βˆk(t) = βˆl(t) pour une certaines paire {k, l} avec k 6= l, auquel cas on impose que le point s = βˆ k(t) = βˆ l(t) soit un point double (i.e. si j 6= k, l alors βˆ j (t) 6= s) et transverse (i.e. que les vecteurs tangents aux images des brins βˆk et βˆl au point s ne soient pas colinéaires). Le point double est alors appelé singularité. Comme pour les tresses géométriques classiques, pour toute tresse singulière géométrique βˆ, on notera βe l’application de [0; 1] dans C × [0; 1], définie pour tout t ∈ [0; 1] par βe(t) = βˆ(t), t) .

Définition 1.6. Deux tresses singulières βˆ et βˆ′ sont isotopes s’il existe une isotopie ambiante I telle que I1◦βe = βe′ . La relation d’isotopie ainsi définie est une relation d’équivalence sur l’ensemble des tresses singulières géométriques à n brins. On note alors SBn l’ensemble quotient ainsi formé et on appelle tresse singulière à n brins toute classe d’isotopie de tresses singulières géométriques à n brins.

On définit similairement aux tresses classiques l’opération de concaténation pour les tresses singulières géométriques. Cette opération de concaténation est encore une fois compatible avec la relation d’isotopie de tresses et on a alors le résultat suivant.

Théorème 1.7 (Birman [10]). L’ensemble SBn, muni de l’opération de concaténation, forme un monoïde.

De même que dans le cas des tresses classiques, une tresse singulière β peut être représentée en 2 dimension par un diagramme de tresse singulière construit à partir d’un représentant de β bien choisi. Dans un diagramme de tresse singulière, l’image d’une singularité n’est pas retouchée et est nommée croisement singulier. Pareillement aux cas des tresses, les croisements définis en section 1 sont parfois appelés croisements classiques par opposition aux croisements singuliers. Pour finir, tout comme dans le cas classique la notion d’isotopie sur les tresses géométriques singulières peut se traduire par une notion de mouvements locaux sur les diagrammes associés. En effet, si β, β′ ∈ Bn et β, ˆ βˆ′ des tresses géométriques représentant β et β′ respectivement et permettant de construire des diagrammes de tresse respectifs D(βˆ) et D(βˆ′) alors β = β′ (i.e. βˆ et βˆ′ sont isotopes) si et seulement si les diagrammes D(βˆ) et D(βˆ′) sont reliés par une suite finie d’isotopie planaires, de mouvements de Reidemeister comme précédemment décrits (dits mouvements de Reidemeister classiques) .

Table des matières

Introduction
Chapitre 1. Tresses classiques et singulières
1. Les tresses classiques
2. Les tresses singulières
3. Le morphisme multiplicatif et la conjecture de Birman
4. Invariants de Vassiliev pour les tresses
Chapitre 2. Groupes d’Artin et monoïdes singuliers d’Artin
1. Les groupes d’Artin
2. Monoïde singulier associé à un groupe d’Artin
3. Critère d’extension des morphismes entre groupes d’Artin aux monoïdes singuliers
4. Sur les sous-monoïdes paraboliques standards de SAΓ
5. Sur la conjecture de Birman pour les groupes d’Artin
6. Sur les invariants de Vassiliev
Chapitre 3. Monoïdes de tresses virtuelles singulières
1. Le groupe de tresses virtuelles
2. Le monoïde de tresses virtuelles singulières
3. Lien entre les différentes constructions de tresses
4. Combinatoire et topologie des tresses virtuelles singulières
5. Conjecture de Birman et invariants de Vassiliev pour les tresses virtuelles
Chapitre 4. Lien entre SVBn et les monoïdes d’Artin singuliers
1. Le groupe KBn
2. Le monoïde SKBn
3. Réductions de problèmes à SKBn
4. Perspectives
Conclusion
Annexe A. Combinatoire des monoïdes
1. Monoïdes quotients
2. Présentations de monoïdes
Annexe B. Groupes enveloppants
1. Définition et existence
2. Systèmes inductifs de monoïdes
3. Produit semi-direct de monoïdes
Bibliographie

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