Transition entre les regimes laminaire et turbulent

RANSITION ENTRE LES REGIMES LAMINAIRE ET TURBULENT 

L’expérience de Reynolds, réalisée vers 1886, a permis de mettre en évidence l’étroite relation entre la quantité Re = U×L / v , aujourd’hui appelée nombre de Reynolds (Re) , et la structure d’un écoulement. En effet, suivant la géométrie caractéristique du mouvement et la vitesse de l’écoulement d’un fluide, il existe une valeur limite de Re au-dessus da laquelle les couches laminaires de formes régulières ont tendance à prendre des formes irrégulières pour conduire à la turbulence. Le passage de l’écoulement laminaire, dont la solution dans certains cas peut être déterminée par un simple calcul, à l’écoulement turbulent se fait par le biais des instabilités et d’autres phénomènes physiques connus tels que le décollement, etc. Les instabilités sont directement liées au terme non linéaire inertiel de l’équation de Navier – Stokes [2] et sont essentielles pour le développement de la turbulence. Une instabilité est une bifurcation dans la solution d’une équation non linéaire qui s’opère pour une certaine valeur de paramètre de contrôle ; dans l’équation de Navier – Stokes, le paramètre de contrôle considéré est le nombre de Reynolds. Les instabilités sont classées généralement en deux familles [2] :
❖ Bifurcation super – critique,
❖ Bifurcation sous – critique.

Pour illustrer nos propos sur les instabilités, nous utilisons deux instabilités sachant qu’il en existe beaucoup d’autres. Toutes ces illustrations sont considérées dans un fluide inviscible.

Les instabilités 

Les instabilités de cisaillement 

Un écoulement qui présente un point d’inflexion est en fait une nappe de vorticité. Si nous considérons une nappe de vorticité infiniment fine où la vorticité est distribuée suivant une ligne, la moindre déformation de la nappe va être amplifiée par le jeu des vitesses induites et la nappe va s’enrouler. L’instabilité de cisaillement est à l ’origine de l’enroulement des nappes de vorticité en tourbillons. Elle est un cas p articulier de l’instabilité de Kelvin Helmholtz qui s’opère à l’interface entre deux fluides de vitesse, de masse volumique et de  tension superficielle différentes.

Les instabilités de tourbillons

Si on considère un écoulement non visqueux des deux côtés d’une couche tourbillonnaire plane ayant des vitesses constantes mais inégales, une petite perturbation de la planéité de cette couche fait décroître la pression sur l’extrados perturbé en faisant augmenter la vitesse sur celui-ci. Le phénomène inverse se produit sur l’intrados. La différence de pression sert ainsi à l’amplification de la perturbation rendant ainsi l’écoulement instable. On observe la formation de tourbillons distincts et une transition 2D vers 3D .

Phénomène de décollement

Le phénomène de décollement a lieu dans la couche laminaire d’un écoulement permanent. Il est lié au comportement dynamique de la couche limite et est responsable de la création de zones potentiellement instables aux abords des parois. Il intervient lorsque cette couche limite se développe en présence d’un gradient de pression adverse, c’est – à – dire dans une situation où la pression augmente dans la direction de l’écoulement. La vitesse de l’écoulement au voisinage de la paroi subit une décélération et ceci est augmenté par le transfert de la quantité de mouvement par les forces visqueuses. Ainsi la quantité de mouvement du fluide diminue graduellement pour compenser le gradient de pression et les forces de frottement pariétales ; ce qui conduit à l’annulation de la vitesse en un point du fluide. En aval du point de décollement, le gradient de pression induit un écoulement à contre – courant, l’épaisseur de la couche limite augmente et les filets fluides quittent la paroi. On observe alors la formation d’un sillage et le décollement est généralement accompagné d’instabilités de l’écoulement. Très souvent des tourbillons se forment dans la région décollée. Ce phénomène n’est pas considéré comme une instabilité car il ne résulte pas de l’amplification du phénomène de bruit .

Traitement statistique des écoulements turbulents 

La description spatiale et temporelle des écoulements turbulents en tout point est difficile en général à cause du caractère aléatoire de la turbulence. La méthode de simulation la plus utilisée pour les écoulements turbulents reste celle fondée sur une approche statistique. Dans cette méthode, les variables qui décrivent l’écoulement turbulent sont décomposées en une valeur moyenne et une fluctuation. Le traitement statistique que nous présentons ici va d’abord nous permettre de définir la moyenne d’une variable avant d’introduire la décomposition de Reynolds.

Etablissement des équations de l’écoulement turbulent

Rappel des équations fondamentales de la dynamique

Un fluide est un corps contigu, sans rigidité, qui peut subir de grandes déformations, même sous l’action de forces faibles. Il n’a pas de forme propre et a la propriété caractéristique de pouvoir s’écouler. Les liquides et les gaz sont des fluides. Pour étudier un fluide on est conduit à s’intéresser aux équations qui régissent l’état de mouvement ou non du fluide. Ces équations renseignent sur :
– la quantité de matière (transfert de masse);
– la quantité de mouvement (transfert d’énergie cinétique);
– l’énergie thermique (transfert de chaleur), etc.

Elles utilisent les variables physiques telles que la masse volumique, la vitesse, la pression, la température, etc. Elles peuvent s’écrire sous différentes formes, vectorielle, tensorielle et indicielle. Nous avons choisi d’adopter dans toute la suite du travail les notations tensorielle et indicielle pour l’écriture des équations. Nous rappelons dans ce sous paragraphe les équations fondamentales de la dynamique telles que données dans le livre de Sébastien Candel [1].

Adimensionnalisation des équations

L’adimensionnalisation permet de réduire les équations sous forme de produits sans dimensions et ceci principalement pour faciliter la conception d’un programme numérique pour la simulation des équations. Du fait de la multitude des termes et leur complexité, une résolution par les méthodes numériques s’avère nécessaire pour la résolution. En outre l’adimensionnalisation fait apparaître des nombres sans dimensions servant souvent à caractériser un écoulement en mécanique des fluides.

Il faut considérer des quantités de référence que nous allons désignés par l’indice o pour adimensionnaliser les équations dynamiques.

Les écoulements fluides réels sont souvent imprévisibles, du fait de leur caractère aléatoire dans l’espace et dans le temps. Comprendre ces écoulements est l’un des objectifs de la dynamique des turbulences qui profite aujourd’hui de la grande puissance des machines pour simuler les équations complexes qui régissent ces m ouvements. La non-uniformité de la composition chimique des fluides réels suscite également l’intérêt qu’il y a à co mprendre la variation de la masse volumique dans ces écoulements.

Table des matières

INTRODUCTION
PARTIE 1 : TRANSITION ENTRE LES REGIMES LAMINAIRE ET TURBULENT
1.1 – Les instabilités
1.1.1- Les instabilités de cisaillement
1.1.2 – Les instabilités centrifuges
1.1.3 – Les instabilités de tourbillons
1.2 – Phénomène de décollement
1.3 – Théories sur la turbulence
1.3.1 – Cascade d’énergies de Richardson
1.3.2 – Théorie de Kolmogorov
1.3.3 – Traitement statistique des écoulements turbulents
PARTIE 2 : ETABLISSEMENT DES EQUATIONS DYNAMIQUES DE L’ECOULEMENT TURBULENT PLAN A MASSE VOLUMIQUE VARIABLE
2.1 Etablissement des équations de l’écoulement turbulent
2.1.1 Rappel des équations fondamentales de la dynamique
2.1.2 Equations moyennées de la turbulence
2.2 Adimensionnalisation des équations
2.3 Hypothèses de la planéité
2.4 Application du modèle k ou modèle de Prandtl-Kolmogorov
PARTIE 3 : RESULTATS EXPERIMENTAUX ET DISCUSSION
3.1 Présentation
3.2 Résultats et discussion
CONCLUSION
Bibliographie
Annexes
Annexe 1
Annexe 2
Annexe 3

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