Transformée de Darboux en une dimension

Transformée de Darboux en une dimension

Introduction

Qu’arrive-t-illorsque l’on décide de modifier la décomposition habituelle en parties réelle et imaginaire d’une fonction complexe, remplaçant le « 1 » et le « i » par deux fonctions complexes prescrites « F » et « G » ? Une question toute simple, une réponse pronfondément intéressante …
C’est dans les années 1950 que les mathématiciens Lipman Bers et Ilya Vekua, géographiquement éloignés et avec leur approche propre, ont chacun tenté une ré ponse à cette question. Ainsi, la théorie des fonctions pseudo-analytiques voyait le jour. Reconnue aujourd’hui comme l’une des plus intéressantes extensions de l’analyse complexe, cette branche s’est avérée des plus efficaces afin d’offrir des systèmes infinis de solutions aux équations de type elliptique. De récents travaux, qui pavaient la voie à une utilisation concrète des fonctions pseudo-analytiques dans l’étude d’équations physiques utiles, ont engendré la renaissance de la branche et une foison d’articles. Comme expliqué en avant-propos, dans ce document, l’objectif central sera de pré senter l’article scientifique bâti au cours de ma maîtrise. Dans ledit papier, on analyse le lien profond découvert entre une classe particulière de fonctions pseudo-analytiques et un couple de systèmes importants du modèle supersymétrique (en physique quantique). En utilisant les nombreux outils que propose l’analyse pseudo-analytique, on démontre ensuite comment il est possible de construire un ensemble infini de solutions pour ces systèmes supersymétriques, et même d’exprimer toute solution des systèmes en termes des éléments de cet ensemble.
Ce mémoire comporte trois sections principales. Dans la section I, on met la table avec la présentation de certaines notions préliminaires incontournables pour bien com prendre le contenu de l’article. La section II contient l’article scientifique, point focal du mémoire, dans sa langue anglaise d’origine. Un résumé en français l’accompagne, expliquant grossièrement les sujets qui y sont abordés et les résultats qu’il contient. Enfin, la dernière section propose une discussion générale sur l’article.

Complétude

Le concept de complétude d’une suite de fonctions est omniprésent dans ce mé moire. Puisqu’il sera amplement utilisé tout au long du document, il convient donc de proprement l’introduire, et surtout de l’assortir de certains exemples notables. Les dé finitions et résultats présentés dans cette section proviennent largement de l’ouvrage
Définition 2.2.1 Soit V , un espace vectoriel sur le corps JR ou sur le corps C, muni d’une norme 11·11 . La suite W = (wn)~=o de vecteurs de V est dite complète dans V si tout élément de l’espace peut être approché de manière arbitrairement précise, selon la norme 11·11, par les éléments de W. Autrement dit, pour que W soit complète, on doit avoir que pour un vecteur v E V arbitraire.Remarque 2.2.2 Lorsque l’espace vectoriel concerné et la norme utilisée ne pré sentent aucune ambiguïté, on dira seulement que W est complète.
Remarque 2.2.3 Une confusion est à éviter ici. La complétude d’une suite de vec teurs, que l’on vient de présenter, et la complétude d’un espace, qui concerne la conver gence des suites de Cauchy dans l’espace, sont deux notions entièrement distinctes.Dans le présent document, toute référence au terme « complétude )} se rapportera à la complétude d’une suite.

Séries de Taylor

L’idée de série de Taylor, c’est-à-dire la représentation de fonctions (infiniment différentiables) comme combinaisons linéaires des puissances de la variable de réfé rence, constitue une pièce fondamentale de l’analyse fonctionnelle, réelle ou compleXe. Bien qu’il s’agisse d’une notion plutôt élémentaire, il est incontournable de lui consa crer malgré tout une courte section, en raison du lien capital qu’elle partage avec l’objet de ce mémoire. Ici, nous nous contenterons de présenter simplement et briè vement la série de Taylor en plus de discuter un peu de sa relation à la notion de complétude, sujet de la section précédente. La série de Taylor réelle pose certaines difficultés. Tout d’abord, même dans le cas où f est infiniment dérivable, rien ne nous assure que la série (2.3) converge ailleurs qu’en xo. Pis encore, même si ladite série converge dans un intervalle donné (de longueur non nulle) autour de xo, il se peut que la convergence ne se fasse pas vers f partout sur cet intervalle. De manière relativement surprenante, le passage au cas complexe permet une pré sence beaucoup plus concrète et forte des séries de Taylor. L’étude de leur convergence y est d’ailleurs infiniment plus aisée, comme en témoigne le théorème suivant

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Table des matières

Avant-propos
1 Introduction
2 Notions préliminaires
2.1 Transformée de Darboux en une dimension
2.2 Complétude
2.3 Séries de Taylor
2.4 Fonctions pseudo-analytiques : une introduction
2.5 Puissances formelles
3 Article intégral
3.1 Introduction .
3.2 Pseudoanalytic function theory
3.3 Two-dimensional SUSY QM ..
3.4 Pseudoanalytic functions and SUSY QM
3.5 Separation of variables and transmutation operators
3.6 Conclusion.
4 Discussion sur l’article
4.1 Situation de l’article dans la littérature
4.2 Résumé en français de l’article …..
4.3 Note importante : Puissances locales versus puissances globales
5 Conclusion
Bibliographie
Annexe Al
Annexe A2
Annexe B