Transformations entre le référentiel lié à la métrique et les coordonnées de Boyer-Linquist

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Processus d’Èmission de haute Ènergie

Il existe plusieurs processus pour crÈer un rayonnement de haute Ènergie autour des trous noirs. Le processus majeur est la Comptonisation de photons mous par une population d’Èlec-trons prÈsents sous forme d’un plasma chaud. Les autres processus, par exemple la production de paires Èlectron-positon, l’annihilation de paires libres, la diffusion Coulomb, le processus de Bremsstrahlung et le rayonnement synchrotron, ont un effet sur la tempÈrature et la densitÈ des particules dans le plasma (c.f. Stern et al., 1995a,b; Poutanen & Svensson 1996; Malzac 1999), mais ne sont pas inclus dans mon travail. De mÍme, le calcul de l’Èquilibre (thermique et/ou densitÈ des particules) dans le plasma fera partie d’une Ètape ultÈrieure.

Diffusion Compton

La diffusion Compton rÈsulte d’une collision entre un photon et un Èlectron : γ + e− → γ + e−. Cette diffusion joue un rÙle trËs important dans la formation du spectre haute Ènergie autour des trous noirs. Classiquement, durant une diffusion Compton, la direction et l’Ènergie d’un photon incident sont modi Èes par un Èlectron cible au repos. Pour l’astrophysique des hautes Ènergies, l’Èlectron possËde gÈnÈralement une Ènergie importante (voire relativiste). Ce pro-cessus conduit ‡ un transfert d’Ènergie (en moyenne) de l’Èlectron vers le photon. On parle alors de diffusion Compton inverse, mais il s’agit du mÍme processus.
Lorsque l’Ènergie du photon est faible, hν << mc2, dans le repËre du laboratoire ou du centre des moments, la diffusion Compton peut Ítre considÈrÈe dans l’approximation de la diffusion Thomson. Les photons incidents, dans la diffusion Thomson, se conduisent approxi-mativement comme une onde ÈlectromagnÈtique. Ils changent simplement de direction, sans changement d’Ènergie. Si l’Ènergie du photon ou Èlectron devient grande, les effets quantiques apparaissent dans la cinÈmatique de la diffusion 1 et la section efficace.

CinÈmatique de la diffusion

Supposons qu’un photon d’Ènergie hν se dÈplaÁant dans une direction dÈ nie par le vec-teur normalisÈ Ω soit diffusÈ par un Èlectron (ou un positon) d’Ènergie γmec2 et de moment cinÈtique p = γmeβcu.
Soient hν′ et Ω′, l’Ènergie et la direction de dÈplacement du photon aprËs la diffusion et γ′mec2 et p′ = γ′meβ′cu, l’Ènergie et le moment de l’Èlectron aprËs diffusion.
On introduit les quadrivecteurs-impulsions de l’Èlectron et du photon P = (γmec, p), K = (hν/c, hνΩ/c) avant diffusion et P′= (γ′mec, p′), K′ = (hν′/c, hν′Ω/c) aprËs diffusion. On peut alors aisÈment dÈterminer le changement d’Ènergie que subit le photon au cours de la collision.
D’aprËs la conservation de l’impulsion totale du systËme : P+K=P′+K′ (2.1)
En Èlevant au carrÈ cette expression et en notant que P 2 = P 2 2 , on obtient : ′2 = me c PK = P′K′ (2.2)
D’autre part, en multipliant l’Eq. 2.1, par K′, on trouve : P′K′ = PK′ + KK′ (2.3)
En posant µ = Ω.u, µ′ = Ω′.u et l’angle de diffusion α = cos−1(Ω.Ω′), Eq. 2.3 peut s’Ècrire sous la forme: ν′ = 1−µβ (2.4)

Photo-absorption et diffusion Compton sur des Èlectrons liÈs

Pour des Ènergies infÈrieures ‡ 15 keV, les photons sont majoritairement absorbÈs. La gure I.2.2 montre la section efficace de photoionisation dans de la matiËre neutre ayant les abondances cosmiques ainsi que les sections efficaces Compton. D’un autre cotÈ, les photons incidents d’Ènergie supÈrieure ‡ 15 keV seront diffusÈs par effet Compton sur les Èlectrons froids. Le fait que les Èlectrons soient dans le champ du noyau atomique modi e la section efficace ‡ basse Ènergie. Nous prenons en compte ces corrections, cependant, leur effet sur le spectre rÈ Èchi est minime puisque la photoabsorption domine dans ce domaine.
La diffusion sur un Èlectron froid provoquant une perte d’Ènergie pour le photon, les pho-tons injectÈs ‡ haute Ènergie sont diffusÈs vers des Ènergies de plus en plus basses jusqu’‡ ce qu’ils s’Èchappent du milieu froid ou qu’ils soient absorbÈs. Ces effets combinÈs conduisent ‡ un spectre de rÈ exion formant une bosse entre 10 et 100 keV qui vient se superposer au spectre primaire (cf. la gure 0.3). Une Ètude de cette composante dans le cadre du modËle de rÈ exion est prÈsentÈe au ß III.2.
F . 2.2 ñ Section efficace de photoionisation (pointillÈs, Morisson & Mc Cammon 1983), de diffusion Compton sur des Èlectrons liÈs (trait continu, Storm & Israel 1967), de Klein-Nishina (trait-point), et de production de paire dans la matiËre (tirets, Storm & Israel 1967) tracÈes par Malzac (1999). Ces sections efficaces sont donnÈes en barn pour un atome d’hydrogËne avec des abondances cosmiques

Fluorescence de la raie du fer

Un effet secondaire de cette absorption ‡ basse Ènergie est l’Èmission de raies de uores-cence suite ‡ l’Èjection d’un Èlectron d’une couche K. Le fer est relativement abondant et la probabilitÈ pour un photon absorbÈ par cet ÈlÈment de conduire ‡ l’Èmission d’un photon de uorescence est ÈlevÈe. La probabilitÈ dÈpend du degrÈ d’ionisation: une augmentation lente entre 0.34 (Fe I) et 0.49 (Fe XXII) (Bambynek et al., 1972) puis une variation plus dramatique entre 0.11 et 0.75 pour les quatre derniers Ètats d’ionisation (Krolik & Kallman, 1987; et les rÈfÈrences ‡ l’intÈrieur). Le seuil d’absorption d’une couche K du fer est ‡ une Ènergie com-prise entre 7.1 et 7.8 keV (e.g. Morita & Fujita 1983). La section d’absorption photoÈlectrique du fer diminue lÈgËrement quand l’ionisation augmente, environ 3.8 − 3.3 × 10−20 cm2 par atome. La raie Kα (correspondant ‡ la transition d’Èlectron de 2 p → 1s) du fer qui pique ‡ 6.4 keV est donc particuliËrement intense. La raie Kβ (correspondant ‡ la transition d’Èlectron de 3 p → 1s) du fer, qui pique ‡ 7.06 keV, est nÈgligeable en comparaison avec la probabilitÈ d’Èmission de la raie Kα. Celle de Kβ est environ 10 fois plus faible (Kikoin 1976). GÈnÈra-lement, l’Èmission de la uorescence d’une couche L est tout aussi nÈgligeable (George & Fabian, 1991).

Production de paires Èlectron-positron

Les photons peuvent produire des paires Èlectrons-positrons sur les noyaux des atomes. Le seuil de production est hν = 2me c2 ce qui est plus faible que pour l’annihilation de deux photons (hν > 4me c2). Cet effet contribue ‡ attÈnuer le ux rÈ Èchi ‡ haute Ènergie. Dans nos calculs nous tenons compte de cet effet en utilisant les sections efficaces tabulÈes donnÈes par Storm & Israel (1967). Il conduit Ègalement ‡ la formation d’une paire Èlectron-positron qui se refroidit et s’annihile quasi-instantanÈment formant une raie ne autour de 511 keV. Toutefois cet effet est faible et la sensibilitÈ des instruments actuels ne permet pas de dÈtecter une telle raie.
Pour la cinÈmatique de diffusion, dans le rÈfÈrentiel du centre des moments, les deux pho-tons ont la mÍme Ènergie hν et les leptons sont crÈÈs avec un facteur de Lorentz : γ = hν = ν1 ν2 (1−µ) (2.31) o˘ hν1, hν2 sont les Ènergies respectives des deux photons et µ = Ω1 • Ω2 est le cosinus de l’angle formÈ par leurs directions dans le rÈfÈrentiel du laboratoire.
Pour des raison Èvidentes, la rÈaction ne peut se produire que si l’Ènergie hν des photons dans le rÈfÈrentiel du centre de masse est supÈrieure ‡ l’Ènergie de masse d’un Èlectron me c2 ou γ > 1. Cette condition s’Ècrit : ν1 ν2 (1−µ)>2 (2.32)
Le cas le plus favorable est une collision frontale; dans ce cas, la condition de seuil devient : hν1hν2 > (me c2)2. (2.33)
On peut calculer la direction des leptons en utilisant la loi de la conservation des moments du systËme.
La section efficace diffÈrentielle de cette rÈaction, dans le centre des moments du systËme, peut s’Ècrire en fonction de la vitesse des leptons crÈÈs: dσ = re2 β(1 − β2) 1 −β4µ4 +2β2(1 −β2)(1 −µ2) (2.34)
La section efficace totale est: σγγ = re2 2 4 1 + β 2 π(1−β ) (3−β ) ln −2β(2−β ) (2.35)
Cette fonction est prÈsentÈe sur la gure 2.3. Elle atteint un maximum pour β ∼ 0.7 puis dÈ-croÓt. Cette section efficace totale en fonction de l’Ènergie des photons incidents est comparÈe ‡ celles des autres processus sur la gure 2.2.
Bien que la section efficace photon-photon soit du mÍme ordre de grandeur que la section efficace Compton, ce processus est trËs difficile ‡ observer en laboratoire. Pour obtenir une interaction, il faut pouvoir crÈer une densitÈ importante de photons γ. En effet, il faut disposer d’une densitÈ de colonne de photons de l’ordre de 1026 cm−2 (Malzac 1999).
De telles densitÈs de colonne sont par contre produites naturellement dans le champ radiatif intense de l’environnement des objets compacts. Comme tout processus d’absorption, il est trËs gÍnant pour les astronomes car il peut masquer une fraction importante (voire la totalitÈ) de la luminositÈ γ de ces sources.
Si la production de paires est intense, cela peut conduire ‡ la formation d’un plasma do-minÈ par les paires e− − e+. Ces paires rÈÈmettent dans le domaine X, par Comptonisation, l’Ènergie absorbÈe en γ.

Le ModËle de « light bending »

Plusieurs observations montrent que la variabilitÈ de la composante rÈ Èchie, et plus parti-culiËrement de la raie du Fer, n’est pas corrÈlÈe de maniËre simple avec la composante directe. Dans certain cas, on observe une anti-corrÈlation entre la raie du Fer et la composante pri-maire, parfois la raie du Fer est presque constante alors que la composante primaire varie de faÁon importante (eg. Markowitz, Edelson & Vaughan, 2003). De plus, une raie extrÍmement large du Fer est parfois observÈe, ce qui suggÈre une origine proche de la rÈgion centrale du trou noir (e.g. Fabian et al., 2000; Reynolds & Nowak 2003). Fabian & Vaughan (2003) ont proposÈ que le changement de la position de la rÈgion de l’Èmission primaire dans le champ gravitationnel fort pourrait Ítre ‡ l’origine de cette variabilitÈ.
Miniutti et al.(2003) ont proposÈ un modËle de « light bending » qui prend en compte les effets de la courbure d’espace-temps. Le disque d’accrÈtion dans ce modËle est en rotation dans le plan Èquatorial en mÈtrique de Kerr. Une source X en forme d’anneau, de rayon xÈ ‡ 2 , autour de l’axe de rotation est en co-rotation avec le disque d’accrÈtion (voir le schÈma prÈsentÈ dans la gure I.3.1).
Elle pourrait Ítre liÈe ‡ la dissipation magnÈtique et/ou ‡ des chocs dans la matiËre en rotation (Blandford & Znajek, 1977; Agol & Krolik, 2000; Li 2003). La dissipation est proba-blement concentrÈe dans les rÈgions les plus interne du ot d’accrÈtion (de Villers, Hawley, & Krolik, 2003; Hirose et al.,2003). La source pourrait aussi Ítre associÈe ‡ un jet relativiste de particules (Malzac et al., 1998; Ghisellini, Haardt, & Matt, 2003) et/ou d’autres mÈcanismes. Raisonnablement, un lien entre la source et le disque d’accrÈtion est trËs probable, ce qui permet de supposer que la source est en co-rotation avec le disque.
Une telle rÈgion sera plus ou moins ponctuelle, mais la rÈsolution temporelle des observa-tions actuelles (au moins quelques ks pour extraire des spectres exploitables scienti quement) est plus longue que l’Èchelle de temps du mouvement orbital proche du centre d’un trou noir supermassif (Miniutti & Fabian, 2004). Les informations de la position azimutale de la source sont donc perdues dans les donnÈes observÈes. De plus, si les mÈcanismes associÈs ‡ la source (e.g. la reconnexion magnÈtique, l’extraction d’Ènergie de la matiËre en rotation, le lien avec la structure du jet, … ) ont une symÈtrie sphÈrique, l’hypothËse d’une source en forme d’anneau et axisymÈtrique est raisonnable.
Dans le modËle proposÈ, les photons sont Èmis avec une distribution en loi de puissance dans le repËre au repos de la source. L’ÈmissivitÈ du disque est calculÈe ‡ partir des photons interceptÈs par le disque. La raie du Fer, qui reprÈsente la composante rÈ Èchie, est calculÈe avec l’approximation d’une Èmission isotrope dans le repËre du disque au repos, en accord avec l’ÈmissivitÈ calculÈe prÈcÈdemment. Le ux et le pro l de la raie du Fer sont calculÈs par la mÈthode de « ray-tracing », en reconstruisant les trajectoires des photons d’un observateur ‡ l’in ni vers le trou noir.
La variabilitÈ est alors ÈtudiÈe en termes de variation de la distance de la source primaire ‡ l’axe de rotation (ie le rayon de l’anneau) ou de la distance entre la source et le disque d’accrÈtion ( gure I.3.2).
En fait, la luminositÈ de la composante directe observÈe est faible lorsque la source est proche du trou noir et augmente lorsque la source est loin. Par ailleurs, les photons rÈ Èchis dans la rÈgion externe du disque ont une probabilitÈ d’Ítre observÈs ‡ l’in ni plus grande que ceux dans la rÈgion interne du disque.
ConsidÈrons que la hauteur de la source (‡ Èmission constante) diminue de 20 ‡ 1 rg. Les observateurs ‡ l’in ni verraient que le ux de la composante primaire diminue dramatique-ment et que celui de la composante rÈ Èchie, reprÈsentÈe par la raie du Fer, augmente lÈgËre-ment (les photons rÈ Èchis dans la rÈgion externe augmentent) ou reste presque constante (les photons rÈ Èchis dans la rÈgion externe diminuent et ceux dans la rÈgion interne augmentent d’une quantitÈ comparable) jusqu’‡ environ 4 rg, pour un angle d’observation de 30o. A partir de cette hauteur, le ux des deux composantes diminuent ensemble ‡ cause de la courbure de l’espace qui dÈvie les photons vers le trou noir. Les photons rÈ Èchis, concentrÈs dans la rÈgion centrale du disque, ont de grandes difficultÈs ‡ s’Èchapper et sont dÈviÈs vers des angles d’observation plus grands.
Ce modËle, dit de « light bending », montre les consÈquences d’un champ gravitationnel fort, aux alentours des trous noirs et prÈdit des effets importants qu’il faut prendre en considÈ-ration.
Dans ce travail, j’ai adoptÈ la gÈomÈtrie de ce modËle pour Ètudier les effets relativistes dans le cas gÈnÈral (ßIII.1.3) et dans le contexte du modËle de re exion. Dans ce cas, j’ai calculÈ le continuum du spectre de la composante rÈ Èchie incluant la raie du Fer, de maniËre cohÈrente (ßIII.2).

Optimisation & Validations

Un des problËmes importants pour prendre en compte les effets de courbure de l’espace dans un code de transfert radiatif est le temps de calcul. Les trajectoires des photons dans la mÈtrique de Kerr ne sont plus dÈcrites par des Èquations simples comme dans la mÈtrique Newtonienne. Il est donc obligatoire de calculer numÈriquement la trajectoire de chaque photon. Le nombre de photons dans le modËle devant Ítre suffisamment grand pour avoir une bonne statistique, le temps de calcul devient considÈrablement ÈlevÈ.
Pour un modËle avec la source ponctuelle (ßIII.2), le temps de calcul sans optimisation Ètait d’environ 72-96 heures 1. Les rÈsultats obtenus n’Ètaient de plus statistiquement pas encore satisfaisants. J’ai donc recherchÈ des mÈthodes d’optimisation et le temps de calcul actuel du modËle pour un cas donnÈ est d’environ 14 heures avec une bonne statistique.
Les mÈthodes d’optimisation que j’ai appliquÈes sont prÈsentÈes ci-aprËs.

GÈodÈsiques entre la source et le disque

On commence par choisir la direction initiale par la mÈthode Monte-Carlo (cf. annexe B) dans le repËre local puis on calcule les constantes du mouvement. J’ai choisi une mÈthode Monte-Carlo pour Èviter des valeurs spÈci ques et toujours identiques pour la direction des photons. La gÈodÈsique du photon est alors calculÈe ‡ partir des constantes du mouvement et de la position initiale dans les coordonnÈes de Boyer-Linquist. Quand la trajectoire est interceptÈe par le disque, θ = π/2, on calcule la direction du photon dans le repËre local du disque et puis on stocke les valeurs de la position interceptÈe (r,φ), la direction locale et le dÈcalage d’Ènergie, le rapport entre l’Ènergie du photon dans le repËre local du disque et l’Ènergie du photon Èmis dans le repËre local de la source (Edisque/Eemis). Ces donnÈes sont rÈutilisables pour la mÍme position et la mÍme distribution angulaire de l’Èmission de la source. Gr‚ce ‡ cette mÈthode, on peut Èviter de recalculer les gÈodÈsiques quand on modi e simplement la loi de distribution des photons.
Pour obtenir une bonne prÈcision dans le calcul de l’Ènergie et de la direction incidente des photons dans le repËre local du disque, le pas du calcul numÈrique (liÈ au λ dans les Èquations 1.21-1.24) des gÈodÈsiques ne doit pas Ítre trop grand. Si le pas est trop petit, le temps de calcul devient trËs important.
J’ai gardÈ le pas d’intÈgration constant pour tracer les gÈodÈsiques. Les gÈodÈsiques ne sont alors pas bien tracÈes autour les points de rebroussement en r, θ, et φ. J’ai donc diminuÈ le pas d’intÈgration lorsque les termes du cotÈ droit dans les Èquations 1.21-1.24 s’approchent de zÈro pour augmenter la prÈcision des gÈodÈsiques.
Lorsque les photons atteignent le disque, je calcule les impulsions dans le repËre local. Des problËmes de calculs arithmÈtiques apparaissent lors du changement de repËres, surtout dans la rÈgion centrale du disque. Ces problËmes disparaissent lorsque je diminue le pas d’intÈgration. J’ai utilisÈ une mÈthode d’adaptation du pas en fonction de la position du photon. Si les photons sont proches du trou noir, le pas devient petit car les effets de la courbure de l’espace sont plus importants. De mÍme si les photons sont proches du disque, θ = π/2, je diminue le pas pour augmenter la prÈcision du calcul de l’impulsion des photons dans le repËre local du disque. J’ai essayÈ d’agrandir le pas d’intÈgration du calcul des gÈodÈsiques et l’ai testÈ en repro- duisant le pro l de la raie du Fer. J’ai gardÈ la taille du pas d’intÈgration qui n’affecte pas les rÈsultats. Je trouve que la diminution du temps de calcul par cette augmentation du pas est considÈrable.
Le nombre de trajectoires utilisÈes pour toutes les positions de la source est 5105. Il permet d’avoir une statistique suffisante pour valider les rÈsultats. J’ai essayÈ Ègalement 106 trajec-toires. Les rÈsultats calculÈs avec cette quantitÈ des trajectoires ne sont pas signi cativement meilleurs, mais le temps du calcul des gÈodÈsiques et la taille des chiers stockÈs et des mÈ-moires sont augmentÈe par un facteur 2.

GÈodÈsiques entre la source et l’in ni

A partir d’une grille uniforme en angle polaire α et en angle azimutal β de l’Èmission dans le repËre local de la source, on calcule numÈriquement un ensemble de gÈodÈsiques et on stocke dans un tableau les angles d’observation pour les observateurs ‡ l’in ni, les temps et les dÈcalages gravitationnels correspondants. Par la suite, pour un photon Èmis, on utilise cette grille en interpolant l’angle d’observation, le dÈcalage gravitationnel et le temps ‡ partir de ses paramËtres initiaux.
La cellule de la grille ne doit Ítre ni trop grande pour la prÈcision ni trop petite pour l’optimisation du temps de calcul et la mÈmoire nÈcessaire. j’ai estimÈ qu’un bon compromis entre la prÈcision et le temps de calcul Ètait obtenu pour une taille de cellule dans la grille de 1o avec la mÈthode expliquÈe dans le ßII.2.3.
La mÈthode du prÈ-calcul est la suivante:
ñ On calcule numÈriquement la gÈodÈsique du photon pour une direction initiale donnÈe dans le LNRF de la grille dans la zone intÈressÈe.
ñ Si le photon atteint le rayon externe de la zone considÈrÈe, on calcule θobs par l’Eq. II.1.18 et puis φobs par l’Eq. II.1.19.
l’on stocke dans une liste. On s’intÈresse plus exactement ‡ la diffÈrence de temps ob-servÈe entre les photons Èmis. On cherche donc la valeur minimale dans la liste et on la soustrait ‡ toutes les valeurs calculÈes de tobs.
ñ On stocke les valeurs calculÈe de gobs, θobs, φobs et tàobs en fonction de l’angle polaire α et de l’angle azimutal β.
ñ puis on recommence avec l’angle initial suivant dans la grille.
Les trajectoires des photons sont obligatoirement calculÈes par la mÈthode numÈrique jus-qu’au rayon externe du disque d’accrÈtion, car la mÈthode analytique ne permet pas de savoir si les photons sont interceptÈs par le disque ou une autre rÈgion prÈ-dÈ nie.
J’ai pu vÈri er le calcul analytique des paramËtres observables en le comparant pour plu-sieurs directions initiales du photon avec le rÈsultat calculÈ par la mÈthode numÈrique jusqu’au rayon de 107rg. J’ai trouvÈ que les rÈsultats calculÈs numÈriquement et analytiquement sont comparables, mais l’accord s’amÈliore, logiquement, lorsque les photons sont plus loin du trou noir.

GÈodÈsiques entre le disque et l’in ni

On utilise la mÈthode du prÈ-calcul des gÈodÈsiques aussi pour les photons rÈ Èchis par le disque.
Le disque est localisÈ en θ = π/2 dans le BLF. En dÈ nissant la position de l’Èmission sur le disque, on peut xer φ = 0 gr‚ce ‡ l’axisymÈtrie de la mÈtrique de Kerr. Par contre, les effets gravitationnels sont trËs sensibles ‡ la distance entre le trou noir et la position considÈrÈe. J’ai donc utilisÈ une grille logarithmique de rayons sur le disque pour crÈer un tableau prÈ-calculÈ. On suppose que le rayon interne du disque est Ègal au rayon de l’orbite marginalement stable et le rayon externe est Ègal ‡ 100. Un nombre de 50 rayons dans la grille est suffisant pour que la rÈgion centrale du disque soit bien dÈcrite. La prÈcision de la grille pour l’angle polaire et l’angle azimutal est ici de 1o. Dans ce cas, l’angle solide pour le prÈ-calcul est la moitiÈ de celui nÈcessaire pour la source. Le tableau est donc 25 fois plus grand que celui de la source.
Pratiquement, pour trouver la maille de la grille appropriÈe, j’ai reproduit le pro l de la raie du Fer, et l’ai comparÈ avec les rÈsultats existants de Miniutti & Fabian (2004) qui utilisent la mÈthode de « ray-tracing » de l’in ni vers le disque.
J’ai commencÈ par une maille de 5o mais cela ne permet pas de reproduire le pro l de la raie du Fer surtout dans les basses Ènergies (la zone du dÈcalage vers le rouge). En diminuant cette valeur, j’ai trouvÈ qu’une maille de 1o est suffisante pour retrouver le pro l de la raie large du Fer existant. De mÍme j’ai essayÈ avec une maille de 0.5o et je trouve que le rÈsultat de la comparaison du pro l de la raie du fer est lÈgËrement mieux par rapport ‡ une maille de 1o mais la taille des chiers stockÈs et la mÈmoire utilisÈe augmentent d’un facteur 2. J’ai donc utilise une taille de cellule dans la grille de 1o et appliquÈ aussi cette taille pour le prÈ-calcul des gÈodÈsiques entre la source et l’in ni. sentant l’in ni.

MÈthode de pondÈration

Pour le calcul de la rÈ exion, on traite les interactions Compton sur des Èlectrons liÈs, les effets de photoabsorption (sections efficaces de Morrison & Mc Cammon, 1983), d’Èmission de photons de uorescence du fer ainsi que la production de paires e+e− dans la matiËre. Les sections efficaces d’interaction Compton et de production de paires proviennent de Storm & IsraÎl (1967).
Le ux dans une bande d’Ènergie donnÈe est constituÈ par le nombre des photons ressortant du milieu. Cela conduit alors ‡ des erreurs statistiques beaucoup trop importantes. Dans le cas du calcul de la composante rÈ Èchie, les photons qui ont une Ènergie infÈrieure ‡ 10 keV ont une probabilitÈ d’absorption trËs importante. De sorte que peu de ces photons ressortent du disque. Les canaux spectraux correspondant aux basses Ènergies contiennent donc peu de photons. Pour avoir une bonne statistique ‡ basse Ènergie, il faudra tirer beaucoup plus de photons. Ceci pose de sÈrieux problËmes de temps de calcul. Il faut alors utiliser des techniques de pondÈration.
Le principe de ces mÈthodes consiste ‡ tirer plus de photons dans les gammes d’Ènergie o˘ la statistique est mauvaise et idÈalement sans augmenter le nombre total de photons simulÈs. Une mÈthode gÈnÈrale de pondÈration avec le tirage alÈatoire pour modÈliser des distributions complexes est la suivante:
ñ Si l’on souhaite pouvoir calculer la composante rÈ Èchie pour des spectres incidents ayant des formes trËs diffÈrentes, il suffit de discrÈtiser la distribution des photons in-cidents. On calcule le ux incident dans chaque canal en Ènergie. Soit ni le nombre de photons incidents rÈels ‡ simuler dans le canal i.
ñ On traite les photons issus de chaque canal successivement. Pour chaque canal i, on va tirer Ni photons auxquels on affecte le poids ωi = ni/Ni . Lorsque ces photons s’Èchappent, on n’incrÈmente plus la valeur du canal correspondant d’une unitÈ mais de la valeur ωi .
ñ En jouant sur les nombres Ni on peut contrÙler la statistique dans chaque gamme d’Èner-gie, et ainsi trouver un bon compromis pour le temps de calcul.
De plus, puisque qu’une gÈodÈsique ne dÈpend pas de l’Ènergie, on considËre qu’elle reprÈ-sente un paquet de photons ayant les Ènergies correspondant ‡ la distribution associÈe avec la pondÈration.

Validation des gÈodÈsiques

Pour valider mon calcul de gÈodÈsiques, j’ai effectuÈ la comparaison entre les gÈodÈsiques calculÈes numÈriquement par mes codes avec celles calculÈes analytiquement par Chandrase-khar (1983). S.Chandrasekhar donne de nombreux exemples de gÈodÈsiques, mais les seuls paramËtres mentionnÈs sont N = K/E2 (K et E, les constantes de mouvement dÈj‡ dÈ nies) et le rayon de l’orbite marginalement stable rms ou orbite critique rcr .
Comme montrÈ dans les gures suivantes, les particules font, ‡ un moment donnÈ de leur trajectoire, plusieurs tours avec r quasiment constant (=rcr ), avant de tomber dans le trou noir ou de s’Èchapper. Le calcul de l’orbite critique rcr est expliquÈ dans les conditions d’Èchappe-ment, l’annexe A. Mais il y a en fait plusieurs combinaisons de paramËtres initiaux pouvant donner une mÍme valeur de rcr . Puisque chaque ensemble de valeurs des paramËtres initiaux donne sa propre gÈodÈsique, j’ai fait varier ceux-ci et tracÈ plusieurs gÈodÈsiques pour les rcr donnÈs par Chandrasekhar, a n de retrouver certains des exemples calculÈs par lui analytique-ment.
La gure II.2.1 montre un exemple de gÈodÈsique d’un photon qui correspond bien ‡ la gure 35(b), p.354 de Chandrasekhar (1983). Cette trajectoire est la projection de la gÈodÈ-sique sur un plan contenant l’axe de rotation (l’axe est matÈrialisÈ par la verticale ayant pour abscisse 0). Ce plan tourne autour de l’axe de rotation en mÍme temps que la variable φ. Cette courbe nous permet de voir si la gÈodÈsique tombe en direction du trou noir ou s’en Èloigne.
En utilisant la mÍme mÈthode pour tracer la gÈodÈsique critique du photon dans la gure II.2.1, j’ai calculÈ numÈriquement les gÈodÈsiques pour des particules qui correspondent cette fois ‡ celles calculÈes par Chandrasekhar (1983, p.365, les gures 40(a) et 40(b) ), par mÈthode analytique, pour un trou noir a = 0.8; Elles sont prÈsentÈes dans les gures II.2.2 et II.2.3. Ces comparaisons valident le code du calcul numÈrique des gÈodÈsiques des photons et des particules.

Table des matières

Introduction
I Relativité et Émission de haute énergie autour des trous noirs 
1 Introduction de la théorie de la relativité
1.1 Histoire
1.2 Effets relativistes
1.3 Invariants
1.4 Trou noir en géométrie de Kerr
2 Processus d’émission de haute énergie 
2.1 Diffusion Compton
2.1.1 Cinématique de la diffusion
2.1.2 Section efficace
2.2 Réexion
2.2.1 Photo-absorption et diffusion Compton sur des électrons liés
2.2.2 Fluorescence de la raie du fer
2.2.3 Production de paires électron-positron
3 Le Modèle de « light bending » 
II Méthode numérique 
1 Éléments de calcul 
1.1 Principe du calcul
1.2 Transformations entre le référentiel lié à la métrique et les coordonnées de Boyer-Linquist
1.3 changement de réfèrentiels entre le repère local lié à la métrique et le repère local en c mouvement
1.4 Constantes du mouvement
1.5 Équations du mouvement en coordonnées de Boyer-Linquist
2 Optimisation & Validations 
2.1 Géodésiques entre la source et le disque
2.2 Géodésiques entre la source et l’inni
2.3 Géodésiques entre le disque et l’inni
2.4 Méthode de pondération
2.5 Validation des géodésiques
2.6 Prol de la raie du Fer
III Résultats 
1 Étude des géodésiques 
1.1 Géodésiques dans le plan équatorial
1.2 Géodésiques hors plan équatorial
1.3 Relation entre les paramètres initiaux et les observables
1.3.1 Source sur l’axe
1.3.2 Source hors axe
1.3.3 Émission isotrope du disque
2 Modèle avec la source ponctuelle 
2.1 Description du modèle
2.2 Résultats
2.2.1 Source sur l’axe
2.2.2 Source hors axe
2.2.3 Réexion multiple
2.3 Comparaisons avec les observations
2.3.1 Ajustements avec un modèle newtonien
2.3.2 Relation entre la composante rééchie et primaire
2.3.3 Diagramme ux-ux
2.4 Conclusion
Publication
Annexes 
A Condition d’échappement 
A.1 Cas du photon
A.2 Cas d’une particule
B Techniques Monte-Carlo 
B.1 Distribution en loi de puissance avec coupure exponentielle
B.2 Distribution de Planck
B.3 Distribution Maxwellienne
B.4 Direction isotrope
B.5 Diffusion Compton
Bibliographies 

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