Transformation 2D en ondelettes orientées par redressement
Considérant de prime abord le cas unidimensionnel, toute transformée en ondelettes peut être implantée par une technique de redressement [DS98], l’extension au cas bidimensionnel se faisant classiquement par l’application de deux transformées successives : l’une selon les lignes, puis selon les colonnes sur le résultat de la première transformation. L’adaptabilité du redressement permet toutefois de définir des extensions bidimensionnelles correspondant à ce que nous nommerons les « transformées en ondelettes orientées ».
Différentes implantations pour de telles transformées orientées sont toutefois possibles, toutes essayant de s’adapter au mieux pour permettre un filtrage selon une direction donnée. Diverses versions ont été présentées dans la littérature que nous résumerons ici en proposant une technique la plus globale possible. Ces différentes implantations de transformées en ondelettes orientées seront alors comparées d’un point de vue statistique, et à partir d’exemples précis, sans tenir compte d’un contexte de codage d’image afin de présenter au lecteur les caractéristiques inhérentes à chacunes.
Adaptabilité du redressement dans l’implantation de la transformée en ondelettes 2D
La transformée en ondelettes bidimensionnelle est classiquement implantée par deux transformées unidimensionnelles appliquées successivement selon les lignes et les colonnes d’une image, ou inversement. La flexibilité du choix des échantillons dans les étapes de prédiction et de mise à jour d’un schéma de redressement permet d’envisager toutes sortes d’extensions bidimensionnelles exotiques. Parmi celles-ci, ce sont les définitions de transformées en ondelettes orientées implantées par redressement qui attirent notre attention. De tels schémas de redressement s’appuient sur une certaine décomposition polyphase et sur des choix techniques d’implantations des orientations de filtrage considérées.
Des extensions bidimensionnelles s’appuyant sur une décomposition polyphase basée sur un échantillonnage régulier seront tout d’abord présentées à travers le concept de redressement basé ligne et redressement basé colonne afin de fixer les esprits sur la flexibilité permise par les méthodes par redressement. Le concept de transformée orientée sera ensuite élargie à tous types d’échantillonnages. Pour cela des règles concernant le choix des échantillons seront alors énoncées. Les diverses transformées orientées connues à l’heure actuelle seront finalement détaillées et comparées.
Redressement basé ligne et redressement basé colonne
La transformée en ondelettes bidimensionnelle étant classiquement implantée par deux transformées unidimensionnelles appliquées successivement selon les lignes et les colonnes d’une image, ou inversement, considérons le cas où le premier filtrage se fait selon les lignes de l’image. Un échantillon impair est prédit à partir de son voisin de gauche, d’indice pair, et de son voisin de droite, d’indice pair lui aussi. De façon générale, comme cela a été défini plus haut via le schéma de redressement d’un signal unidimensionnel, cet échantillon peut même être prédit à partir de n’importe quels échantillons pairs issus de la même ligne auquel il appartient. L’ensemble des échantillons pouvant servir à la prédiction d’un échantillon d’indice impair peut être étendu dans le cas bidimensionnel à tous les échantillons d’indice pair quelles que soient les lignes auxquelles ils appartiennent. En particulier, au lieu de prédire un échantillon impair uniquement à partir de son voisin de gauche et de son voisin de droite, la prédiction peut utiliser n’importe quels éléments de la colonne de gauche, et n’importe quels éléments de la colonne de droite. Pour généraliser, les éléments d’une colonne impaire peuvent être prédits à partir des éléments des colonnes paires.
8-connexe-(p, q)-redressement, ou Réveillès-(p, q)-redressement
Dans cette première variante [JRB07a, VBLVD06],l’image est partitionnée en lignes discrètes 8-connexes [Rev91]. L’orientation de ces lignes est définie par un vecteur (p, q) avec p et q deux entiers premiers entre eux, et les lignes elles-mêmes par :
0 ≤ −q · x + p · y + C < max(|p|, |q|) (2.19)
Formalisme général basé sur la parité
Décomposition polyphase
Dans les implantations qui ont été jusqu’ici présentées, la décomposition polyphase employée est basée sur un échantillonnage régulier. Selon une première direction, par exemple, un redressement basé colonne est appliqué, ce qui sous-entend un échantillonnage préalable des colonnes. Ensuite, selon la seconde direction, un redressement basé ligne est appliqué sur l’ensemble des colonnes paires d’une part et l’ensemble des colonnes impaires d’autre part. Ceci implique donc un échantillonnage préalable des lignes. Au final les échantillons d’une image sont donc, après décomposition, séparés en quatre sous-ensembles correspondant chacun à une sous-bande en fonction de la parité des échantillons au regard des deux filtrages successifs opérés. La sous-bande contenant l’information des basses fréquences selon les deux directions de filtrage contiendra les échantillons « pairs-pairs », c’est-à-dire provenant d’une colonne paire par rapport un premier filtrage basé colonne, et d’une ligne paire par rapport au second filtrage basé ligne. Celle contenant l’information des basses fréquences selon la première direction, et hautes fréquences selon la seconde contiendra les échantillons « pairs-impairs ». L’information des basses fréquences selon la première direction, et hautes fréquences selon la seconde contiendra les échantillons « impairs-pairs ». Enfin, les échantillons « impairsimpairs » représenteront l’information des hautes fréquences dans les deux directions de filtrage.
Cet « étiquetage » de la parité des échantillons dépend de l’ordre des deux types de redressement appliqué : les échantillons n’auront pas la même parité suivant qu’un redressement basé colonne ou basé ligne aura été appliqué en premier. Pour des raisons techniques qui n’apparaîtront clairement que plus tard, mais aussi pour avoir bien en tête les notions géométriques mises en œuvre dans le filtrage bidimensionnel opéré par redressement, les échantillons ne seront pas réellement séparés préalablement à chacun des deux schémas de redressement, mais uniquement une fois ces deux schémas opérés. La décomposition polyphase préalable à une technique de redressement est alors vue comme un simple étiquetage.
Ce point de vue permet d’englober dans ce formalisme les ondelettes orientées, basées sur un échantillonnage quinconce[Cha05, Gou02]. Ce qu’il convient de garder en tête lors de l’implantation d’un quelconque schéma de redressement est la contrainte de parité suivante :
– pour le filtrage selon la première direction :
– un élément « impair » ne peut être prédit qu’à partir d’éléments « pairs »;
– un élément « pair » ne peut être mis-à-jour qu’à partir d’éléments « impairs » ;
– pour le filtrage selon la seconde direction :
– un élément « pair-impair » ne peut être prédit qu’à partir d’éléments « pairspairs»;
– un élément « pair-pair » ne peut être prédit qu’à partir d’éléments « pairsimpairs»;
– un élément « impair-impair » ne peut être prédit qu’à partir d’éléments « impairspairs » ;
– un élément « impair-pair » ne peut être prédit qu’à partir d’éléments « impairsimpairs ».
Conclusion sur les orientations de filtrage
Il ne suffit pas de parler de filtrage selon une orientation donnée pour caractériser un tel filtrage. Comme cela a été présenté plus haut, un filtrage orienté peut-être implanté de diverses manières pour une même orientation. Exemple évident : le Réveillès-(p, q)- redressement et le Mojette-(p, q)-redressement. Exemple plus complexe : deux schémas de θ-redressement, pour la même valeur de θ, mais l’un basé ligne, l’autre basé colonne . Une orientation de filtrage n’est donc pas seulement définie par un angle θ ou un vecteur (p, q), mais aussi par la façon dont, en pratique, le filtrage s’opère, soit par choix technique comme dans le premier exemple, soit par ce que permet ou ne permet pas la décomposition polyphase utilisée, comme dans le deuxième exemple. La valeur même des orientations de filtrage possibles est tributaire de l’implantation. Par exemple, sans utiliser d’interpolation, on ne peut pas mettre en place de Mojette-(0, 1)- redressement basé colonne ou d’ondelettes orientées de Chappelier à 45◦ [CG05] pour le premier niveau. Le filtrage orienté dépend donc et de l’orientation choisie, et (compte tenu de ce qui est possible de faire étant données les contraintes de parité) des choix d’implantation.
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Table des matières
Introduction générale
I Représentation multirésolution structurelle
Introduction
1 Représentations directionnelles : état de l’art
1.1 Transformations fixes
1.2 Transformations adaptatives
2 Transformation 2D en ondelettes orientées par redressement
2.1 Technique de redressement pour l’implantation de la transformée en ondelettes 1D
2.2 Adaptabilité du redressement dans l’implantation de la transformée en ondelettes 2D
2.2.1 Redressement basé ligne et redressement basé colonne
2.2.1.1 8-connexe-(p, q)-redressement
2.2.1.2 (p, q)-connexe-(p, q)-redressement
2.2.1.3 θ-redressement
2.2.2 Formalisme général basé sur la parité
2.2.2.1 Décomposition polyphase
2.2.2.2 Conclusion sur les orientations de filtrage
2.3 Étude comparative des diverses implantations du redressement orienté
2.3.1 Contenu rectiligne
2.3.2 Contenu circulaire
2.3.3 Contenu naturel
3 Estimation de l’orientation de filtrage et classification structurelle
3.1 Gestion des frontières de blocs pour le filtrage orienté
3.2 Estimation de l’orientation de filtrage d’une région de l’image
3.2.1 Estimation de l’orientation des contours extraits explicitement d’une image
3.2.2 Estimation implicite de l’orientation par minimisation d’une fonctionnelle
3.2.2.1 Minimisation d’une mesure de régularité liée à l’erreur de prédiction du θ-redressement
3.2.2.2 Estimation par modélisation stochastique de l’incertitude sur la mesure de l’orientation du gradient
Conclusion
II Quantification et codage
Introduction
4 Codage des informations d’orientation et de classification des régions
4.1 Codage arithmétique adaptatif des contours d’une image en fonction de la résolution inférieure
4.1.1 Codage arithmétique et modélisation markovienne de codes de Freeman différentiels
4.1.2 Entropies des probabilités conditionnelles pour un codage de contours d’images à différentes résolutions .
4.1.3 Codage arithmétique adaptatif de contours d’images à différentes résolutions
4.1.3.1 Quantification de C
4.1.3.2 Comparaison avec les méthodes de l’état de l’art
4.1.3.3 Initialisation du codeur arithmétique avec une loi a priori
4.2 Codage arithmétique adaptatif des arbres quaternaires définissant les orientations de filtrage et les classes de structure
4.3 Comparaison du coût de codage entre les deux méthodes
5 Quantification adaptée à la classification structurelle de l’information
5.1 Quantification et codage des éléments d’une représentation en ondelettes standard 2D
5.1.1 Quantification scalaire uniforme
5.1.2 Prise en compte des effets de masquage
5.2 Impact d’une modification de la quantification selon la classe de structure
5.2.1 Base de pas de quantification pour la transformée en ondelettes orientées
5.2.2 Histogrammes des coefficients d’ondelettes orientées
5.2.3 Pondération des pas de quantification en fonction de la classe structurelle
Conclusion
Conclusion générale