Transfert de rayonnement hors–ETL

Transfert de rayonnement hors–ETL 

La résolution d’un problème de transfert de rayonnement hors-ETL dans une atmosphère donnée, généralement un plasma, est basée sur la résolution auto cohérente de l’équation de transfert radiatif pour N transitions (entre les différents niveaux d’énergie de l’atome considéré), soient N équations qui permettent de déterminer le champ de rayonnement existant dans cette atmosphère, et les équations de l’équilibre statistique, qui lient le champ de rayonnement aux états d’excitation et d’ionisation des atomes et/ou ions composant ce plasma. On va donc définir dans les pages qui suivent l’équation de transfert radiatif et les équations de l’équilibre statistique.

Le transfert radiatif

Pour toute cette section, le lecteur assoiffé de connaissances pourra se désaltérer auprès de sources de référence tels que Chandrasekhar [31], Mihalas [98], Rybicki & Lightman [123], Rutten [120].

Quelques définitions

Considérons le flux énergétique : c’est une mesure de l’énergie transportée par tous les rayons lumineux qui traversent une surface donnée. Soit une surface dS normale à la ligne de visée et tous les rayons lumineux traversant dS dont la direction est contenue dans un angle solide dΩ. On peut écrire l’énergie traversant dS pendant la durée dt et dans la bande de fréquence dν selon

dE = Iν dS dt dΩ dν , (1.1)

où l’on définit Iν comme l’intensité spécifique, exprimée en erg s−1 cm−2 Hz−1 sr−1. Cette quantité est indépendante de la distance entre la source et l’observateur s’il n’y a ni absorbants ni autres sources d’énergie le long de la ligne de visée (Rybicki & Lightman .

Equation de transfert et solution formelle

Lorsque un rayon lumineux traverse de la matière, de l’énergie peut lui être ajoutée ou soustraite par interaction avec cette matière via des processus d’émission, d’absorption ou de diffusion. L’intensité spécifique ne sera donc, en règle générale, pas constante. Dans le cas de l’émission, on définit l’émissivité monochromatique ην comme l’énergie émise par unité de temps, par unité de volume, par unité d’angle solide et dans la bande de fréquence dν

dE = ην dV dt dΩ dν , (1.4)

où ην s’exprime en erg cm−3 s−1 Hz−1 sr−1. Pour un élément géométrique de longueur ds le long du rayon lumineux, l’intensité ajoutée au faisceau par émission sera

dIν = ηνds . (1.5)

Dans le cas de l’absorption (ou extinction), on définit le coefficient d’absorption χν (cm−1) par l’équation suivante, représentant la perte d’énergie dans un faisceau parcourant la distance ds dans l’atmosphère,

dIν = − χνIν ds . (1.6)

Cette loi phénoménologique peut être comprise à l’aide d’un modèle microscopique dans lequel des particules de densité n (cm−3), présentant une section efficace σν (cm2), sont distribuées de manière aléatoire. Si l’on considère l’effet de ces absorbants sur le faisceau à travers dS dans l’angle solide dΩ, l’énergie prélevée au faisceau est

dIν dS dΩ dt dν = Iν (nσν dS ds) dΩ dt dν , (1.7)

d’où

dIν = − nσν Iν ds , (1.8)

qui est bien l’Eq. (1.6) avec

χν = nσν , (1.9)

que l’on écrit souvent sous la forme

χν = ρκν , (1.10)

Chevauchement de raies et continus

Dans le cas où la densité électronique n’est pas connue a priori, on doit traiter l’équilibre d’ionisation, en plus des EES. Pour ce faire, on doit prendre en compte les transitions « lié-libre » : le niveau d’énergie supérieure u d’une transition peut correspondre au premier niveau d’ionisation de l’atome ou de l’ion considéré. De plus, certaines raies proches peuvent se chevaucher, soit en étant issues d’atomes ou d’ions différents (ce sont les « blends »), soit en étant issues du même atome ou ion (dans le cas de la structure fine ou hyperfine atomique par exemple). Il peut y avoir également chevauchement lorsque certaines raies sont excitées par un continu, éventuellement issu d’un autre atome ; par exemple le continu de Lyman de l’hydrogène et les raies UV de l’hélium se chevauchent.

Les méthodes du transfert numérique 

Les méthodes les plus utilisées, jusque dans les années 90 environ, pour résoudre de manière auto-cohérente les EES et l’équation du transfert radiatif (ETR) sont le fait de Auer & Mihalas [7], Auer & Heasley [6] : ces méthodes de linéarisation complète forment et résolvent des équations aux différences sur l’ensemble de l’atmosphère étudiée, en négligeant les termes de degré deux et supérieur dans les équations aux perturbations.

Sous l’impulsion de Scharmer & Carlsson [127] et Olson et al. [101], les possibilités offertes par les schémas itératifs de type Jacobi, combinées à la méthode des caractéristiques courtes (voir Auer & Paletou [8], Olson & Kunasz [102], Kunasz & Auer [72]), avec la possibilité de passer du 1D au 2D-3D, ont rendu les méthodes itératives plus “populaires ». Leur principe est simple : partant de conditions initiales sur les populations des niveaux de l’atome considéré, on peut déterminer les fonctions sources par l’Eq. (1.20) puis le champ de rayonnement en intégrant pour chaque transition i ↔ j l’Eq. (1.17) et enfin déterminer une nouvelle estimation des populations via les EES c’est-à-dire les Eqs. (1.23) ou Eqs. (1.34). On recommence ensuite le processus jusqu’à ce qu’un « bon » critère de convergence soit atteint.

Pour expliquer le principe de ces méthodes itératives, je me placerai dans le cas de l’atome à deux niveaux d’énergie pour une atmosphère 1D plan parallèle. Puis je montrerai comment elles se généralisent au cas de l’atome à plusieurs niveaux.

Principe de base des méthodes itératives

Les méthodes présentées par la suite vont différer en fonction de la manière de calculer l’opérateur Λ. La méthode la plus simple est la méthode mathématique de Picard, appelée Λ-itération (LI) en transfert numérique. Elle consiste à inverser l’opérateur complet Λ pour résoudre l’ETR. Mais elle présente peu d’intérêt en raison de sa pseudo-convergence (discussion dans Mihalas [98] §6). On trouve ensuite la méthode mathématique de Jacobi qui donne les méthodes de type ALI (Accelerated Λ-Itération) avec opérateur diagonal en transfert numérique. Elles utilisent un opérateur approché local Λ∗ qui est la diagonale exacte de l’opérateur Λ, afin d’éviter l’inversion de matrice. Enfin les méthodes de type GS (Gauss-Seidel) et SOR (Successive Over-Relaxation) utilisent un opérateur approché non local Λ∗ qui est une matrice triangulaire supérieure ou inférieure. Tout l’intérêt de cette méthode réside dans le fait que l’on n’a pas besoin de calculer entièrement ni d’inverser cet opérateur approché pour résoudre l’ETR.

Table des matières

Introduction
1 Transfert de rayonnement hors–ETL
1.1 Le transfert radiatif
1.1.1 Quelques définitions
1.1.2 Equation de transfert et solution formelle
1.2 L’atome à plusieurs niveaux
1.2.1 Raies sans chevauchement avec continu
1.2.1.1 Cas général
1.2.1.2 Cas particulier de l’atome à deux niveaux
1.2.2 Chevauchement de raies et continus
2 Les méthodes du transfert numérique
2.1 Principe de base des méthodes itératives
2.1.1 Technique de l’opérateur approché
2.1.2 Mise en œuvre de la méthode des caractéristiques courtes
2.1.2.1 Schéma itératif ALI
2.1.2.2 Schémas itératifs de Gauss-Seidel et SOR
2.2 Le transfert 1D multi-niveaux
2.2.1 Le schéma itératif MALI (Multilevel Λ-Iteration)
2.2.2 Le schéma itératif GSM/SOR (Gauss-Seidel Multi-niveaux)
3 Méthode multi-grille
3.1 Principe de base
3.2 Le cas linéaire
3.3 Le cas non-linéaire
3.4 Mise en œuvre
4 Un nouveau code radiatif 2D
4.1 La méthode des caractéristiques courtes en 2D
4.2 Méthode de GSM/SOR en 2D
4.3 Validation et résultats
4.3.1 Validation par rapport à une solution analytique
4.3.2 Résultats
5 Une très brève histoire de la physique solaire
5.1 L’atmosphère solaire : une intense activité
5.1.1 La photosphère
5.1.2 La chromosphère
5.1.3 La couronne
5.2 … d’origine magnétique
5.3 Les protubérances solaires
5.4 Modélisation
Conclusion

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