Thiorie de l’analyse lineaire et non lineaire des coques

L’élasticité classique est l’étude du comportement des solides déformables, élastiques, isotropes, en petites déformations, avec une loi de comportement linéaire. Lorsqu’on considère en plus, que les déplacements restent petits, on dit que nous travaillons dans le cadre du modèle élastique linéaire où l’hypothèse de linéarité est faite deux fois. Dans une première étape, les termes du second ordre du tenseur des déformations sont négligés, et les vecteurs de forces intérieures dues aux déformations sont alors proportionnels aux vecteurs de déplacements, on peut parler dans ce cas de linéarité géométrique. La deuxième hypothèse du modèle élastique linéaire consiste à supposer que le tenseur des contraintes est proportionnel à celui des déformations, on parle alors de linéarité matérielle. Toutes ces hypothèses ont pour conséquence de rendre linéaires les équations différentielles de l’élasticité. En effet, en pratique on limite souvent le domaine de fonctionnement des structures à des déplacements et déformations faibles (pour des raisons de résistance, esthétique, …) de sorte que des calculs linéaires suffisent à prédire leur comportement. Dans d’autres cas, en construction mécanique par exemple, on désire souvent qu’une pièce reprenne sa forme initiale lorsque le chargement a cessé. On doit donc rester dans le domaine élastique, et dans ce cas, l’élasticité classique est une théorie satisfaisante. On considère dans la pratique que cette approximation est valable tant que les déplacements restent inférieurs à 5% de la taille du solide à analyser, et les déformations sont petites lorsqu’elles sont inférieures à (10⁻²-10⁻³ ). Le couple d’hypothèses  » petits déplacements » et  » petites déformations » est souvent appelé hypothèses de petites perturbations HPP, et la vérification de la validité de ces deux conditions ne peut se faire qu’en analysant la solution complète du problème parce que les structures réelles ont un comportement en général non linéaire. Cependant, tout ce qui vient d’être énoncé ne doit pas amener à conclure qu’il faut éviter de construire des structures travaillant au delà de la limite élastique et hors du domaine linéaire. C’est l’ingénieur qui a la responsabilité de choisir la théorie à utiliser pour résoudre son problème et la responsabilité de vérifier a posteriori la solution trouvée. En effet, la théorie de l’élasticité classique malgré sa simplicité, ne peut satisfaire à tous les besoins pratiques car pour des raisons économique, industrielle, technique etc… tel que les procédés de formage, pliage, emboutissage, forgeage, etc…, il est essentiel de recourir à l’analyse non linéaire.

THEORIE LINEAIRE DES COQUES ELASTIQUE

GENERALITES

Dans de nombreux problèmes mécaniques où il existe une direction particulière privilégiée, on cherche souvent à simplifier le problème en un problème de contraintes planes. Il est intéressant de définir dans ce cas des modèles cinématiques particuliers, appelés coques. On peut toujours étudier le problème avec des éléments volumiques, mais cela nécessite un nombre de degrés de liberté très élevé, en effet pour un problème de plaque mince analysé par un élément volumique il faut au moins 15 ddl par nœud ramenés sur la surface moyenne [VIDRASCU 1984], alors que pour la théorie des coques minces seulement 6 ddl sont suffisants. Afin de simplifier les modèles tridimensionnels occupant dans l’espace un volume compris entre deux surfaces courbes telle que la distance entre ces deux surfaces, qui est épaisseur, soit petite par rapport aux autres dimensions, on réussit à réduire le modèle tridimensionnel en de nombreux modèles bidimensionnels, dont les différences proviennent principalement de la cinématique simplifiée utilisée dans l’épaisseur. Ces particularités rendent le projet d’une coque une tache difficile, Parce que les coques peuvent présenter des comportements structuraux inhabituels et délicats, ardus à analyser. Une première difficulté réside dans le choix d’une « bonne » théorie de coque capable de rendre compte à la fois du fonctionnement des coques profondes et coques surbaissé. La formulation des éléments basés sur une théorie de coque profonde est à la fois la plus juste, la plus délicate, et la plus difficile, même si les éléments correctement formulés convergent vers la solution exacte. Ils restent d’un point de vue pratique d’un emploi laborieux, et l’extension de tels éléments dans le domaine non linéaire semble très difficile [FREY & al 2000]. Au vue de ces difficultés, on a cherché des simplifications en construisant des éléments de coque surbaissée selon la théorie de « Marguerre » ou de « Donnelle ». Ces éléments de coques surbaissées construits sur la base d’une théorie exprimée en cordonnés cartésiennes convergent d’une manière plus au mois acceptable vers la solution exacte et ceci que la coque soit surbaissée ou non. Pour conclure, il faut dire que selon la bibliographie consultée, tous les spécialistes s’accordent pour dire que les éléments de coque aujourd’hui disponibles ne sont pas suffisamment fiables. Une cause essentielle de ce problème réside dans l’apparition du phénomène du verrouillage numérique .

L’alternative à ce problème posé consiste à préférer les éléments à facettes planes qui ont l’avantage de la simplicité de la formulation. Les résultats des applications numériques montrent que les éléments à facettes planes peuvent donner d’excellents résultats [ZIENKIEWICZ 1977] ce qui les rends très populaires, efficaces, et très attrayants. Leur inconvénient principal reste cependant que l’analyse d’une coque avec de tels éléments introduit une approximation géométrique plus ou moins grossière. Ceci est en général corrigé par un maillage fin.

LA THEORIE DES COQUES

La théorie des coques est l’étude des solides déformables surfaciques. Elle est adaptée à l’étude des solides déformables dans la géométrie est assimilable à une surface avec une épaisseur. Cette géométrie va permettre d’établir une théorie simplifiée dans laquelle en dira qu’on connait es déplacements en connaissant seulement ceux de la surface moyenne. L’idée de base dans la théorie de ces modèles est d’utiliser des hypothèses et simplifications physiquement justifiables à travers l’épaisseur pour obtenir la déformation d’une structure mince tridimensionnelle à partir d’un problème formulé sur sa surface moyenne. On néglige, par exemple, l’influence de la composante normale des contraintes, et les effets des déformations à travers l’épaisseur. On utilise dans ce cas les hypothèses cinématiques de 1er ordre du type Kirchhoff-Love, ou le champ de déplacements est supposé varier linéairement suivant l’épaisseur [BERNADOU & BOISSERIE 1982], Destuynder 1990, Bernadou 1994. On utilise aussi celles du 2ème ordre de type Hencky-Reissner-Mindlin qui supposent que les composantes tangentielles du déplacement 3D sont linéaires dans l’epaisseur, tandis que la composante transversale est constante (Koiter 1965, Mindlin 1951, Novozhilov 1970, Reissner 1945). On peut aussi penser à des hypothèses cinématiques d’ordre plus élevé, qui abandonnant tout ou partie des hypothèses simplificatrices a travers l’épaisseur [KOZIEY & MIRZA 1997], elles sont des théories plus précises, couramment employés pour les problèmes de matériaux multicouches ou de plaques épaisses [CHAPELLE & al 2004]. Dans le domaine des coques, la première théorie recevable a été formulée par Love en 1888. Elle est construite sur le même modèle que la théorie des plaques de Kirchhoff, à savoir exprimer les équations en se référant à la surface moyenne tout en tirant parti, à l’aide d’hypothèses raisonnables, de la minceur de la structure. La courbure de la coque pose toutefois des problèmes nouveaux et délicats, par rapport au cas de la plaque. Suite à des nombreuses recherches, la validité de la théorie simple de Love n’a finalement été confirmée que beaucoup plus tard par Koiter en 1960-1966.

Le modèle de Koiter est un modèle bidimensionnel, fondé sur des hypothèses de nature géométrique et mécanique, a été proposé par W.T. Koiter en 1966. C’est à dire qu’un déplacement sur la coque peut être défini à partir d’un déplacement sur la surface moyenne. Cela découle des hypothèses que formule W. T. Koiter, [BERNADOU & CIARLET 1976] :
– Les normales à la surface moyenne non déformée sont encore normales à la surface moyenne après déformation.
– Au cours de la déformation, les contraintes sont approximativement planes et parallèles au plan tangent à la surface moyenne. Ainsi, le problème mécanique tridimensionnel sur la coque se réduit à un problème bidimensionnel sur la surface moyenne.

APPROCHE PAR COQUE PROFONDE (à forte courbure)

La formulation d’éléments basés sur la théorie de coque profonde est à la fois la plus juste et la plus délicate. Des théories basées sur une approche par coque profonde ont été proposes par plusieurs auteurs [NAGHDI 1963], [KOITER & al 1972], et Argyris. La conformité des éléments basés sur cette approche exige une continuité des rayons de courbures C2 (la continuité exacte aux frontière exige que la rotation de la normale soit continue), ainsi l’utilisation des cordonnées curvilignes rend leur application en éléments finis très difficile à mettre au point. L’amélioration possible de cette approche consiste à utiliser un système d’axes corotationnel afin de représenter le mouvement de corps rigide. On à recours aussi à une interpolation de même ordre pour la flexion et la membrane de façon à remédier au problème du blocage de membrane, mais ceci conduit à des éléments très performants mais très lourds a manipuler.

Table des matières

INTRODUCTION GENERALE
– PARTIE A : THIORIE DE L’ANALYSE LINEAIRE ET NON LINEAIRE DES COQUES
– Introduction
– CHAPITRE I : THEORIE LINEAIRE DES COQUES ELASTIQUE
– Généralités
– I- 1. La Théorie des Coques
– I-1-1. Hypothèses de Love- Kirchhoff
– I-1-2. Le Champ de Déplacements de Love- Kirchhoff
– I-1-3. Le Tenseur de Déformations de Love- Kirchhoff
– I- 2. Théories des Coques en Analyse Linéaire
– I-2-1. Approche par coque profonde
– I-2-2. Approche par coque surbaissée
– I-2-3. Approche par coque plane
– I- 3. Théorie des Coques et Etats de Contrainte
– I-3-1. Etat Flexionnel
– I-3-1-1. Equations générales de la plaque mince en Théorie de Kirchhoff
– I-3-1-1-1. Relations Cinématiques
– I-3-1-1-2. Relations Géométriques
– I-3-1-1-3. Relations Constitutives
– I-3-1-1-4. Equations d’Equilibre de l’Elément
– I-3-1-1-5. Relations Statiques
– I-3-1-1-6. Energie de Déformation
– I-3-1-2. Equations générales de la plaque épaisse en Théorie de Reissner-Mindlin
– I-3-1-2-1. Relations Cinématiques
– I-3-1-2-2. Relations Géométriques
– I-3-1-2-3. Energie de déformation
– I-3-1-2-4. Relations Statiques
– I-3-2. Etat Membranaire
– I-3-2-1. Equations générales de l’élément de paroi
– I-3-2-1-1. Cinématiques
– I-3-2-1-2. Relations géométriques
– I-3-2-1-3. Relations constitutives
– I-3-2-1-4. Relations Statiques
– I-3-2-1-5. Energie de déformation
– I- 4. L’élément coque plane produit de la superposition (plaque-membrane)
– CHAPITRE II : ANALYSE NON LINEAIRE GEOMETRIQUE DES COQUES
– Généralités
– II- 1. Aspect Cinématique
– II-1-1. Descriptions Du Mouvement
– II-1-1-a. Description Lagrangienne
– II-1-1-b. Description Eulérienne
– II-1-1-c. Choix de description
– II-1-2. La Description Lagrangienne
– II-1-2-a. Différentes configuration d’un corps en mouvement
– II-1-2-b. Description Lagrangienne Corotationnelle
– II-1-2-c. Les grandes rotations
– II- 2. Aspect Géométrique
– II-2-1. Variation du déplacement
– II-2-2. Notion et Mesure des déformations
– II-2-2-a. tenseur linéaire de Cauchy
– II-2-2-b. tenseur quadratique de Green-Lagrange
– II-2-3. Propriétés des tenseurs de déformation
– II-2-4. Variation de déformation
– II- 3. Aspect Mécanique
– II-3-1. Notion et mesure des Contraintes
– II-3-1-a. Tenseur de Cauchy
– II-3-1-b. Tenseur de Piola-Kirchhoff
– II- 4. L’approche Incrémentale
– II- 5. Expression Incrémentale Du Principe Des Déplacements Virtuels
– II-5-1. Expression incrémentale du P.D.V. en D.L.T
– II-5-2. Expression incrémentale du P.D.V. en D.L.A
– CHAPITRE III : ANALYSE NON LINEAIRE MATERIELLE DES COQUES
– Généralités
– III- 1. Lois de Comportement Elasto-Plastiques
– III-1-1. Loi de comportement
– III-1-2. Essai de traction
– III-1-3. Limite d’Elasticité ou seuil d’Ecoulement
– III-1-4. Loi Comportement élasto-plastique
– III- 2. Les Critères Isotropes de Limite Elastique
– III-2-1. Critère Isotrope de Tresca
– III-2-2. Critère Isotrope de Von-Mises
– III- 3. Phénomène d’Ecrouissage
– III-3-1. Ecrouissage Isotrope
– III-3-2. Ecrouissage Cinématique
– III-3-3. Ecrouissage Mixte
– III- 4. Lois d’écoulement plastique
– III-4-1. Principe du travail maximal
– III-4-2. Règle de normalité
– III- 5. Loi de Comportement Elast-oplastique Incrémental
– III-5-2. Comportement élasto-plastique
– III-5-3. Règle d’écrouissage
– PARTIE B : CONSTRUCTION D’UN ELEMENT DE COQUE QUADRILATERE POUR L’ANALYSE NON LINEAIRE GEOMETRIQUE ET MATERIELLE DES COQUES
– Introduction
– CHAPITRE IV : DEVELOPPEMENT D’UN ELEMENT FINIS COQUE QUADRILATERE AVEC LE DEGRE DE LIBERTE ROTATIONNEL « Drilling Rotation  » POUR L’ANALYSE LINEAIRE ELASTIQUE
– Généralistes
– IV- 1. Cinématique d’une Coque a Facette Plane
– IV- 2. Approximation de la membrane avec « Drilling Rotation »
– IV-2-1. Utilité du « ddl » Rotationel dit « Drilling Rotation »
– IV-2-2. Rotation des Sommets « Vertex Rotation »
– IV-2-3. Vraie Rotation ou « Drilling Rotation »
– IV-2-4. La Formulation Variationnelle
– IV-2-5. Elément de membrane avec « Drilling Rotation »
-IV- 3. Approximation de la flexion
– IV-3-1. Approximation des coques mince par « Discret Kirchhoff Théorie »
– IV-3-2. Elément « DKQ » de plaque mince
– IV-3-3. Approximation des coques épaisses
– IV-3-4. L’élément Q4γ (élément à 4 nœuds avec CT constant par côté)
– CHAPITRE V : DEVELOPPEMENT DE L’ELEMENT POUR L’ANALYSE NON LINEAIRE GEOMETRIQUE ET MATERIEL
– Généralistes
– V- 1. Analyse Non Linéaire Géométrique
– V-1-1. Discrétisation par éléments finis
– V-1-2. Expression discrétisée de l’équilibre en D.L.A
– V-1-2-a. Matrice de rigidité des petits déplacements en D.L.A
– V-1-2-b. Matrice de rigidité géométrique (des contraintes initiales) en D.L.A
– V-1-2-c. Actions extérieures en D.L.A
– V-1-2-d. Actions internes en D.L.A
– V-1-2-e. Matrice de rigidité tangente en D.L.A
– V-1-2-f. Forces résiduelles de déséquilibre en D.L.A
– V-1-3. Expression discrétisée de l’équilibre en D.L.T
– V-1-4. Comparaison de la D.L.A avec la D.L.T
– V-1-5. Matrice des contraintes initiales
– V-1-6. Système d’axes corotationnel
– V-1-7. Calcul des déplacements dans le repère Corotatiennel
– V-2. Analyse Non Linéaire Matériel
– V-2-1. Critère d’écoulement en variables généralisées
– V-2-1-1. Critère d’Ilyushin
– V-2-2. Intégration de loi de comportement élasto-plastique
– V-2-2-1. Prédiction des déplacements Correction des contraintes
– V-2-2-2. Rabattement sur la surface d’écoulement
– V-2-3. Matrice des contraintes initiales élasto-plastique
CONCLUSION GENERALE

Lire le rapport complet