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Les théories de type Lorenz-Mie sont des théories rigoureuses de la diffusion de la lumière par des particules de forme simple pouvant être décrites dans un système de coordonnées adapté à la forme de la particule : sphérique pour une sphère, sphéroïdal pour un sphéroïde, cylindrique pour un cylindre circulaire et elliptique pour un cylindre elliptique. Sur la base de la résolution des équations de Maxwell, elles fournissent des solutions mathématiques rigoureuses de la diffusion d’une onde plane par une particule. Cependant, elles ne sont valides que lorsque la dimension du faisceau d’éclairage est très grande devant la taille du diffuseur. En effet, un éclairage non-uniforme n’est pas pris en compte.
Il est pourtant nécessaire de prendre en compte des faisceaux d’onde non-plane de différentes formes, en particulier pour modéliser les techniques de diagnostic optique basées sur la diffusion de la lumière, permettant de mesurer les propriétés de particules individuelles ou de nuage de particules [1]. Ainsi, pour pouvoir décrire l’interaction d’un faisceau laser avec des particules, la théorie de LorenzMie généralisée (TLMG), qui tient compte de la forme du faisceau incident, a été développée [1-4]. Afin de valider les différents modèles développés (numériques ou approchés), les théories rigoureuses, telles que TLM et TLMG, sont souvent choisies comme références. C’est leur principal intérêt, car elles restent limitées aux particules de forme simple. Par ailleurs, les effets comme l’absorption, la diffraction, les interférences ne peuvent pas être étudiées séparément.
L’optique géométrique (OG) consiste à modéliser la propagation de la lumière à travers une particule par tracé de rayons. Elle est applicable aux grosses particules de forme complexe et permet d’isoler différents effets (ordre de diffusion, interférences, etc.) afin de comprendre leurs contributions à la diffusion. Elle est largement utilisée pour l’analyse et le calcul des problèmes optiques grâce à ses avantages : calcul rapide et compréhension directe. Elle n’est valable que pour des particules de taille beaucoup plus grande que la longueur d’onde du faisceau incident. Des effets comme l’absorption, la diffraction, la divergence/convergence du faisceau, la forme du faisceau incident et aussi tous les déphasages peuvent être pris en compte dans l’OG, en introduisant des modèles adéquats. L’OG peut alors prédire avec précision le diagramme de diffusion, même si elle n’atteint pas la précision des méthodes rigoureuses.
La diffraction est le comportement des ondes lorsqu’elles rencontrent un obstacle. Certaines approches ondulatoires sont à même de décrire le phénomène de diffraction comme le principe de Huygens-Fresnel. La diffraction par une sphère en champ lointain est simplifiée en considérant la diffraction de Fraunhofer et en remplaçant la sphère par un disque opaque circulaire.
Théories rigoureuses de diffusion de la lumière
Par la résolution des équations de Maxwell, le problème de diffusion de la lumière par une particule de forme simple (sphère, sphéroïde, cylindre circulaire ou elliptique…) peut être mathématiquement décrit par des fonctions spéciales. L’équation d’onde est résolue avec une méthode de séparation des variables. Les champs électromagnétiques sont écrits sous la forme de sommations infinies d’harmoniques sphériques (sphère), cylindriques (cylindre) ou sphéroïdales (sphéroïde). Les coefficients de ces dernières sont déduits par les conditions aux limites du problème. La taille de la particule doit rester limitée à cause de la difficulté que l’on peut avoir à évaluer numériquement ces fonctions spéciales, sauf dans les cas de la sphère et du cylindre circulaire.
Modèle d’optique géométrique pour une particule non sphérique
L’optique géométrique (OG) est une méthode approchée pour décrire la diffusion de la lumière par une grosse particule non sphérique. On va montrer qu’en prenant en compte correctement les interférences et la diffraction, elle peut permettre de prédire avec précision la diffusion par une particule de forme simple comme une sphère ou un cylindre circulaire. Dans ces deux cas simples, il est facile de valider les calculs puisque l’on dispose d’expressions analytiques pour le champ diffusé. Pour d’autres particules, il est difficile, voire impossible, d’obtenir des expressions analytiques. Lock a montré qu’il est possible de trouver des équations analytiques pour un sphéroïde, mais le calcul est limité à la réflexion et la réfraction d’ordre 1 [54-55]. Sur le même principe, Xu et al [20] ont étendu l’optique géométrique à la diffusion d’un faisceau gaussien par un sphéroïde sur l’axe à l’aide d’une méthode de tracé de rayons. Les résultats numériques semblent corrects. Cependant, dans ces calculs, la divergence ou la convergence transversale du faisceau ont été prises en compte de la même manière que le cas d’une sphère, ce que est problématique.
Cas d’une onde plane sur l’axe
Maintenant, on s’intéresse à la diffusion par un sphéroïde, car c’est le cas le plus simple d’une particule non sphérique. Les diagrammes de diffusion d’une gouttelette sphéroïdale de même rayon transversal b =50 µm et de différents rayons de révolution, pour les deux états de polarisation . On peut dire que les distributions d’intensité diffusée dépendent beaucoup du rapport d’aspect du sphéroïde. Plus précisément, les positions des arcs-en-ciel sont très sensibles à la forme de la particule. Pour la sphère de rayon a = 50 µm, les positions des arcs-en-ciel de premier et de second ordre se situent près de 138° et 130° respectivement. Pour le sphéroïde de rayon de révolution a = 55µm, les positions des arcs-en-ciel des deux premiers ordres se trouvent près de 148° et 128°. Pour le sphéroïde de rayon de révolution a = 100 µm, ils sont près de 120° et 171° respectivement. Pour la gouttelette sphéroïdale de rayon de révolution a = 45µm, les positions des arcs-en-ciel de premier et de second ordre se trouvent quasiment au même endroit, près de 129°, alors que l’arc-en-ciel de quatrième ordre est observé près de 176°. Pour la gouttelette sphéroïdale de rayon de révolution a = 25 µm, les deux premiers d’arc-en-ciel sont visibles près de 99° et 160° et on peut aussi observer l’arc-enciel de troisième ordre près de 70°.
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Table des matières
Introduction générale
Chapitre 1 : Rappel des théories existantes
1.1 Introduction
1.2 Théories rigoureuses de diffusion de la lumière
1.2.1 Théorie de Lorenz-Mie
1.2.2 Théorie de Lorenz-Mie généralisée
1.3 Optique géométrique
1.3.1 Cas d’une onde incidente plane
1.3.2 Cas d’un faisceau gaussien circulaire
1.4 Diffraction
1.5 Conclusion
Chapitre 2 : Modèle d’optique géométrique pour une particule non sphérique
2.1 Introduction
2.2 Influence de différents effets ondulatoires en optique géométrique
2.2.1 Divergence d’onde
2.2.2 Déphasage dû au trajet optique
2.2.3 Déphasage dû aux lignes focales
2.2.4 Diffraction
2.3 Optique géométrique étendue pour un sphéroïde : cas d’un éclairage incliné par rapport à l’axe
2.3.1 Tracé de rayons d’un rayon pour déduire son angle de diffusion
2.3.2 Amplitude du champ diffusé
2.3.3 Phase d’un rayon
2.3.4 Diffraction
2.3.5 Champ total diffusé par un sphéroïde
2.4 Problèmes liés au calcul de la divergence et du déphasage dû aux lignes focales
2.4.1 Première définition de la divergence
2.4.2 Deuxième définition de la divergence
2.4.3 Troisième définition de la divergence
2.5 Conclusion
Chapitre 3 : Tracé de rayons vectoriels complexes
3.1 Introduction
3.2 Présentation du modèle
3.2.1 Direction de propagation d’un rayon
3.2.2 Equation des fronts d’onde
3.2.3 Amplitude complexe d’un rayon
3.3 Validation du modèle pour une sphère
3.4 Application du modèle à la diffusion par un sphéroïde
3.4.1 Cas d’une onde plane sur l’axe
3.4.2 Cas d’une onde plane inclinée
3.4.3 Cas d’un éclairage sur l’axe par un faisceau gaussien circulaire
3.5 Conclusion
Chapitre 4 : Tracé de rayons par technique de Monte Carlo
4.1 Introduction
4.2 Description générale du modèle original de MCTR
4.2.1 La définition de l’objet
4.2.2 Intersection d’un rayon avec la surface
4.2.3 La détection
4.2.4 Algorithme
4.3 Validation du modèle de MCTR pour une sphère en 2D sans effets ondulatoires
4.4 Modèle de MCTRO et ajout d’effets ondulatoires pour une sphère en 2D
4.4.1 Absorption
4.4.2 Forme du faisceau incident (gaussien circulaire)
4.4.3 Polarisation
4.4.4 Interférences entre les photons
4.5 Comparaison avec la théorie rigoureuse
4.6 Diffusion d’un sphéroïde : comparaison avec le modèle TRVC
4.7 Validation du modèle en 3D
4.7.1 Stratégie de parallélisation du programme
4.7.2 Validation du modèle
4.8 Conclusion
Chapitre 5 : Modèle de l’incertitude d’Heisenberg pour la diffraction
Conclusion générale
