Théorie du krigeage

Théorie du krigeage

Interpolation spatiale

Ce chapitre présente une revue des principales méthodes d’interpolation spatiale afln de comprendre leurs principes de base et de comparer le krigeage aux autres méthodes. Il ressort alors que malgré les nombreux points communs entre les méthodes, le krigeage se distingue par sa prise en compte de la structure de dépendance spatiale des données.

Déflnition et notation

L’interpolation spatiale est un traitement mathématique parfois utile lors de l’étude d’un phénomène naturel qui se déploie contin^ument sur le territoire. La région de l’es-pace géographique concernée par cette étude est ici appelée « champ » et notée D. Le phénomène naturel examin¶ est représent¶ par une certaine mesure localisée sur le ter-ritoire. Par exemple, pour étudier un gisement d’or, on peut utiliser la mesure de la densit¶ du minerai dans le sol. Tel que l’a initié Matheron (1962), une telle mesure est nommée « variable régionalisée » et elle est vue comme une fonction numérique déflnie sur le champ D. Elle sera notée fz(s); s 2 Dg oµu s = (x; y) représente un point du champ identifl¶ par ses coordonnées géographiques. La valeur de cette fonction en un point particulier si, notée z(si), porte le nom de « valeur régionalisée » (Wackernagel, 2003, p.41).
En pratique, on n’a pas une valeur régionalisée en tout point s du champ D. Par exemple, pour un gisement d’or, la densit¶ du minerai dans le sol n’est mesurée qu’en quelques sites oµu une carotte de sol est prélevée. Peu importe l’application en question, notons ces sites d’observation si avec i = 1; :::; n. L’interpolation spatiale répond au be- soin de conna^‡tre la valeur d’une variable régionalisée en un site s0 du champ D autre qu’un des sites d’observation. Elle se déflnit par la prévision de la valeur d’une variable régionalisée en un site oµu elle n’a pas et¶ mesurée µa partir des valeurs régionalisées observées z(s1) µa z(sn) (Arnaud et Emery, 2000, p.20 ; Cressie, 1993, p.105). La valeur prédite en s0 sera notée z^(s0). La déflnition enoncée ci-dessus est en fait celle de l’inter-polation spatiale « point µa point » : elle se base sur des données associées µa des points de l’espace géographique pour efiectuer une prévision elle aussi ponctuelle. Les autres types d’interpolation spatiale, tel que « point µa surface » ou « point µa ligne » (e.g. le tracé de courbes de niveaux), ne seront pas etudiés dans ce mémoire.
La variable régionalisée est l’outil de base en interpolation spatiale. Les méthodes d’interpolation s’appuyant uniquement sur cette entit¶ mathématique sont dites déter-ministes car aucune notion probabiliste n’intervient dans la déflnition de variable régi-onalisée. L’interpolation spatiale peut aussi s’efiectuer par une méthode stochastique. Dans ce cas, un deuxième niveau d’abstraction est efiectu¶ dans la modélisation du phénomène naturel. La variable régionalisée est vue comme une réalisation d’une fonc-tion aléatoire fZ(s); s 2 Dg, aussi appelée processus stochastique, et toute valeur régionalisée z(si) est considérée comme une réalisation d’une variable aléatoire Z(si).
La flgure 2.1 résume la notation présentée dans cette section. Elle représente du m^eme coup la modélisation d’un phénomène naturel selon les deux niveaux d’abstraction décrits précédemment.
Revue des méthodes d’interpolation spatiale
Dans cette section, les principales méthodes d’interpolation spatiale sont recensées. Le livre de Arnaud et Emery (2000) a et¶ le point de départ de cet inventaire. La ter-minologie proposée dans ce livre est employée ici. Trois grandes classes de méthodes déterministes ont et¶ dénombrées : les méthodes barycentriques, les méthodes d’inter-polation par partitionnement de l’espace et les splines. Du c^oté des méthodes stochas-tiques, les techniques de régression classique, de régression locale et de krigeage ont et¶ listées. Contrairement aux méthodes déterministes, les méthodes stochastiques in-corporent le concept de hasard. Elles proposent toutes un modèle probabiliste incluant un ou des termes d’erreurs aléatoires pour formaliser le comportement du phénomène naturel µa l’étude. Gr^ace µa cette modélisation, des erreurs de prévision peuvent ^etre cal-culées. Les paragraphes suivants proposent une brève introduction µa chacune de ces six classes de méthodes.

Méthodes barycentriques

Les méthodes d’interpolation déterministes de type barycentrique (Arnaud et Emery, 2000, p.67), aussi appelées « moyennes mobiles » (Ripley, 1981, p.36) ou « approxima-tion de Kernel » (Myers, 1994), sont très intuitives. Elles prévoient la valeur d’une variable régionalisée en un point non echantillonn¶ s0 par une moyenne pondérée des valeurs régionalisées observées :
Les poids ‚i sont contraints de sommer µa la valeur 1 afln que la prévision ne présente pas de distorsion par rapport µa la valeur réelle. Ces poids sont fonction de la distance euclidienne jsi ¡ s0j entre le site d’observation si et le site de prévision s0 de fa»con µa ce que les sites les plus proches aient plus d’in°uence dans l’interpolation. Souvent, un poids nul est accordé aux observations les plus eloignées. Ainsi, seules les observations localisées dans un certain voisinage de s0, noté V (s0), sont prises en compte. La fa»con la plus simple de déterminer un voisinage est de prendre les n0 sites d’observation les plus proches ou les sites tombant µa l’intérieur d’un cercle centr¶ en s0 de rayon prédétermin¶. Le champ peut aussi ^etre divisé en quadrants ou en octants dont l’origine est s0. Le voisinage peut alors comprendre les n⁄0 sites d’observation le plus proche de s0 pour chaque secteur.
Un exemple populaire de méthode barycentrique est la méthode de l’inverse de la distance µa une certaine puissance d. Par cette méthode, la prévision en un point s0 prend la forme :
z^(s0) = 1=jsi ¡ s0jd s0 z(si) ; d > 0:
i2X0 P i V (s0) 1= si ¡ j d

Méthodes d’interpolation par partitionnement de l’es-pace

Les méthodes d’interpolation par partitionnement de l’espace (Arnaud et Emery, 2000, sections 2.1 et 2.2 ; Ripley, 1981, p.38) forment en fait un sous-ensemble des méthodes barycentriques. Ces méthodes se distinguent par l’utilisation d’un partition-nement du champ d’étude (Okabe et al., 1992) afln de déterminer les poids des obser-vations et le voisinage du point de prévision. Cette section présente donc d’abord des techniques de partitionnement de l’espace, puis des méthodes d’interpolation se basant sur ces techniques.
Il existe deux principaux types de partitionnement d’un champ D en régions dis-jointes µa partir des sites d’observation : par polygones et par triangles. Le partitionne-ment par polygones porte plusieurs noms. Les principaux sont : « polygones de Thies-sen » , « diagramme de Voronoi » , et « mosa˜‡que ou tesselation de Dirichlet ». Ce partitionnement est formé en déflnissant, pour chaque site d’observation si, un poly-gone d’in°uence de sorte que chaque point du polygone soit plus proche de si que de tout autre site d’observation. Ce partitionnement est illustré par les lignes pleines de la flgure 2.2. De son c^oté, le partitionnement par triangles, nommé triangulation, découpe le champ en triangles disjoints dont les sommets sont les sites d’observation. Difiérents critères existent pour sélectionner les sommets appartenant µa un m^eme triangle. Le plus connu de ces critères est celui de Delaunay . Il se base sur un partitionnement par polygones de Thiessen. Les sites d’observation ayant un c^oté de leurs polygones de Thiessen en commun sont reliés par une droite, formant ainsi la triangulation. La flgure 2.2 illustre en lignes pointillées la triangulation de Delaunay correspondant aux polygones de Thiessen des sept sites d’observation présentés en exemple.
Plusieurs méthodes d’interpolation se basent sur un partitionnement de l’espace. La plus simple de ces méthodes est celle du plus proche voisin. La valeur régionalisée mesurée en un site d’observation est attribuée µa tous les points localisés dans le po-lygone de ce site. Les polygones de Thiessen sont aussi µa la base de l’interpolation par voisinage naturel, une méthode due µa Sibson (1981). Par cette méthode, la prévision de la valeur régionalisée en s0 prend la forme d’une moyenne pondérée des valeurs régionalisées observées. La flgure 2.3 illustre comment le poids de chacune des observations est détermin¶. Préalablement, les polygones de Thiessen associés aux sites d’observation sont tracés (e.g. mosa˜‡que de droite de la flgure 2.3). Ensuite, les polygones de Thiessen sont reformés en ajoutant au champ le site s0 pour lequel une prévision est voulue (e.g. mosa˜‡que centrale de la flgure 2.3). Cette nouvelle mosa˜‡que est flnalement superposée aux polygones de Thiessen initiaux sans le site s0 (e.g. mosa˜‡que de gauche de la flgure 2.3). Le poids de l’observation en si est alors l’aire Ai de l’intersection entre le polygone de s0 et le polygone initial de si divisée par l’aire totale du polygone de s0. Dans l’exemple de la flgure 2.3, la prévision est donc z^(s0) = P7i=1 Aiz(si)= P7i=1 Ai avec A3; A4 = 0.
A partir d’une triangulation, une interpolation s’efiectue en ajustant une surface, souvent un polyn^ome, dans chaque triangle. Par exemple, en interpolation linéaire, des plans sont ajustés dans les triangles de Delaunay. La fa»con géométrique d’efiectuer cette interpolation est illustrée par la flgure 2.4. Il su–t de tracer le point de prévision s0 dans le champ et de le relier aux trois sommets du triangle µa l’intérieur duquel il est localisé. Ainsi, ce triangle est divisé en trois petits triangles. Seules les valeurs régionalisées des sites formant les sommets du grand triangle sont incluses dans l’inter-polation. De plus, le poids de chacune de ces valeurs est égal µa la portion de surface du grand triangle occupée par le petit triangle opposé au site. Par cette méthode, la prévision en s0 pour l’exemple de la flgure 2.4 est donc z^(s0) = A1z(s1)+A6z(s6)+A7z(s7) : A1+A6+A7

Table des matières

1 Introduction 
1.1 Objectifs du mémoire
1.2 Structure du mémoire
2 Interpolation spatiale
2.1 Dé¯nition et notation
2.2 Revue des méthodes d’interpolation spatiale
2.2.1 Méthodes barycentriques
2.2.2 Méthodes d’interpolation par partitionnement de l’espace
2.2.3 Splines
2.2.4 Régression classique
2.2.5 Régression locale
2.2.6 Krigeage
2.2.7 Autres méthodes
2.3 Conclusion du chapitre
3 Analyse variographique 
3.1 Hypothèse de stationnarité
3.2 Décomposition de la variation spatiale
3.3 Propriétés du semi-variogramme
3.4 Estimation du semi-variogramme
3.5 Modélisation du semi-variogramme
3.6 Conclusion du chapitre
4 Théorie du krigeage
4.1 Démarche générale de résolution des équations du krigeage
4.2 Krigeage simple
4.3 Krigeage ordinaire
4.4 Krigeage avec modèle de tendance
4.4.1 Lien entre le krigeage avec modèle de tendance et le krigeage sur les résidus d’une régression
4.4.2 Problème de l’analyse variographique en krigeage avec modèle de tendance
4.5 Discussions
4.5.1 Normalité des données
4.5.2 Transformation de données
4.5.3 Géostatistique multivariable
4.5.4 Autres types de krigeage
4.6 Conclusion du chapitre
5 Mise en oeuvre du krigeage 
5.1 Méthodologie géostatistique
5.1.1 Analyse exploratoire
5.1.2 Formulation du modèle
5.1.3 Krigeage
5.2 Logiciels informatiques
5.3 Application de l’interpolation spatiale : présentation des données
5.3.1 Stations météorologiques
5.3.2 Modèle atmosphérique GEM
5.4 Illustration de la méthodologie géostatistique
5.4.1 Analyse exploratoire
5.4.2 Formulation du modèle
5.4.3 Krigeage
5.5 Conclusion du chapitre
6 Interpolation statistique multivariable de données de précipitations dans un cadre de modélisation hydrologique 
6.1 Introduction de l’article
6.2 Méthodes statistiques d’interpolation spatiale
6.2.1 Régression locale
6.2.2 Krigeage
6.3 Données de test et site d’étude
6.4 Méthodologie
6.5 Résultats
6.6 Conclusion de l’article
7 Conclusion
7.1 Littérature en interpolation de données de précipitations
7.2 Synthèse du mémoire
7.3 Travaux futurs
Bibliographie 
A Complément d’analyse des résultats du chapitre 6
B Programme S-Plus

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