Théorie des solides

Une méthode d’interaction en trois dimensions fluide-structure pour les valves cardiaques de modélisation :

Raoul van Loon et autre utilise la modélisation numérique du couplage fluide solide lorsque le solide est un corps mince. L’écoulement est décrit par les équations de Navier Stokes instationnaires, la déformation du solide l’étant par un modèle du type Néo-Hookien, et le couplage entre le fluide et la structure se fait par les multiplicateurs de Lagrange. Avec l’utilisation de l’approche lagrangienne et eulérienne pour les problèmes tridimensionnel, il a utilisé la loi de Hooke généralisée et l’application la méthode des éléments finis en maillage. Bien que les maillages fluide et solide ne soient pas en conformité, l’un par rapport à l’autre on peut coupler les régions respectives via un multiplicateur de Lagrange.

Par rapport à d’autres approches de ce type, on améliore la précision par l’utilisation d’une méthode de maillage adaptative, peu coûteuse, appliquée au maillage fluide au voisinage de l’interface avec le solide. Pour évaluer les possibilités de la méthode, on l’applique à la résolution de problèmes modèles, bi et tridimensionnels, tous étroitement liés à la simulation numérique du mouvement des valves cardiaques en régime dynamique. Le domaine fluide avec le domaine solide son intégrés dans un seul domaine est considéré comme solide. Afin de saisir l’interaction fluide-structure, ces deux domaines doivent être associés, par le couplage qui est obtenu en appliquant la condition qu’il n’y a pas de glissement au niveau de l’interface solide fluide. Afin de distinguer les deux domaines, les multiplicateurs de Lagrange et sont mis en place pour désigner le domaine correspondant à l’interaction fluide-structure et la surface de contact solide.

Méthodes numériques pour analyse modale de un faisceau de tubes avec interaction fluide-structure Jean-François SIGRIST et Daniel BROC [05] ont appliqué l’analyse sismique sur les faisceaux de tubes dans l’évaluation de la sécurité des installations nucléaires. Ces analyses nécessitent en particulier le calcul de la fréquence, la forme de mode et de la masse effective des modes propres du système. Comme les effets d’interaction peuvent influer considérablement sur le comportement dynamique de structures immergées, la modélisation numérique du faisceau de tubes doit prendre en compte l’interaction fluide structure.

Cette analyse basée sur le comportement massique du fluide dans des tubes où il y a la densité ou cumulation de la masse dans la structure, pour cela ils ont travaillé sur la méthode de la masse ajoutée. Les différentes méthodes numériques ont été exposées et comparés dans leur document, consacré à l’analyse dynamique d’un générateur de vapeur pour le système de propulsion sous-marin nucléaire, pour l’analyse modale du faisceau de tubes avec modélisation de l’interaction fluide structure. L’objectif principal de l’étude est de démontrer l’efficacité numérique d’une méthode d’homogénéisation (élément fini), qui a été développée et appliquée à la modélisation d’un réacteur nucléaire par [J.F. SIGRIST, D. BROC.2006], pour résoudre le problème de la densité de masse et de trouver les modes et les fréquences propres.

Analyse théorique, analyse numérique et contrôle de systèmes d’interaction fluide-structure et de systèmes de type ondes. Le travail de Takéo Takahashi [06] est décomposé en trois partie, la première sur les interactions fluide structure du point de vue analytique mathématique par les équations classiques de Navier-stokes et leur utilisation au domaine numérique avec la méthode A.L.E (Arbitrary Lagrangian eulerian) et lagrangienne pour la déformation structurel et pour utiliser l’interaction fluide-structure à l’écoulement incompressible non visqueux et par suite à l’écoulement compressible et visqueux, la deuxième partie cherche à contrôler le mouvement du fluide et la structure en vitesse et dans la troisième, il détermine la rigidité par l’approche fréquentielle dans différents systèmes ; fluide externe ou interne à la structure ou solide.

S. Mittal et T. E. Teaduyar [07] ont résolu des problèmes en 3D impliquant des interactions fluide-structure par l’étude de la dynamique d’une conduite flexible en porte à faux (figure. I.1.). Par suite, ils calculent l’écoulement qui passe par l’aile fixe rectangulaire avec le nombre de Reynolds 1000, 2500 et lo7ils révèlent des modèles d’écoulement intéressants. Pour des valeurs de Reynolds1000, 2500, c’est un calcul en éléments finis en 3D à écoulement incompressible instationnaires, impliquant des interactions fluide-structure, basé sur l’espace-temps ; déformation dans le domaine spatial/stabilisé espace-temps (DSD / SST) formulation des éléments finis. La résolution de Les équations Navier-Stokes, c’est le principe des travaux virtuels pour assurer la stabilité numérique des calculs, qui donne une série d’intégration et impliquant la formulation variationelle de Galerkin dans l’équation. Ces intégrales sont obtenues en appelant les Galerkin/moindres carrés (Galerkin/least squares GLS).

Interprétations des résultats

D’après les tableaux IV.2 et IV.3, nous remarquons une parfaite concordance avec les résultats expérimentaux [30] et ceux donnés par la référence [31]. Le graphe des figures IV. 5 et IV. 6, nous montre que la convergence est rapide, à partir de vingt éléments nous obtenons des résultats satisfaisants. Nous avons aussi l’influence des différents paramètres de la structure et ses caractères géométriques et physiques, nous pouvons conclure: L’augmentation du diamètre de la conduite fait augmenter la fréquence de la structure, en l’absence du fluide, pour toutes les conditions aux limites et pour les modes de vibration circonférentiels ou axiaux, figures IV. 7 jusqu’à IV. 30 ; il augmente la rigidité de la structure. La présence du fluide par contre fait généralement diminuer la fréquence de la structure complète, car elle agit comme une masse ajoutée. Dans certains modes élevés flexionnels ou axiaux, la fréquence reste pratiquement constante ou diminue : nous avons l’influence de l’augmentation du diamètre (il augmente la rigidité) et l’influence de la présence du fluide (elle augmente la masse) qui agissent simultanément. Figures IV. 31 jusqu’à IV.

Dans les figures IV. 66 jusqu’à IV. 119, nous remarquons que l’épaisseur de la conduite fait diminuer la fréquence de la structure complète, dans le cas de présence du fluide ou non, la masse de la structure augmente. L’augmentation de la masse volumique fait diminuer la fréquence de la structure complète pour les modes axiaux élevés et cette influence diminue pour les modes axiaux faibles. L’augmentation des modes circonférentiels par contre fait augmenter la fréquence de la structure ; figures IV. 120 jusqu’à IV. 130. La figure IV. 131 présente l’influence du rapport épaisseur /diamètre sur la fréquence propre. Elle diminue rapidement jusqu’à la valeur e/d = 0.01, et à partir de cette valeur la variation est plus lente ; la rigidité de la conduite est presque constante à partir de cette valeur. L’augmentation du coefficient de poisson entraine une diminution de la fréquence propre du système couplé, figure IV. 133, il entraine une diminution de la rigidité de la conduite. Les conditions aux limites eux aussi ont une influence sur la structure, l’encastrement par exemple augmente la rigidité de la structure.

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Table des matières

Introduction générale
Chapitre I : Bibliographique
Introduction
I.1.Simulation numérique du comportement écoulement transitoire dans les faisceaux de tubes utilisant une méthode de pénalisation volume
I.2.Une méthode d’interaction en trois dimensions fluide-structure pour les valves cardiaques de modélisation
I.3.L’interaction fluide-structure dans les tuyaux à paroi épaisse
I.4.Une procédure adaptabilité du maillage pour CFD et les interactions fluide-structure
I.5.Méthodes numériques pour analyse modale de un faisceau de tubes avec interaction fluide-structure
I.6.Analyse théorique, analyse numérique et contrôle de systèmes d’interaction fluide-structure et de systèmes de type ondes
I.7.Simulation par éléments finis 3D de l’écoulement incompressible à l’interaction fluide-structure
I.8.Caractéristique dynamique d’une coque cylindrique par considération de l’interaction fluide-structure.
I.9.Analyse modale d’une structure industrielle avec prise en compte du couplage fluide/structure
I.10.Étude de l’interaction fluide/structure d’un élastique Membrane dans un micro-canal
II. Couplage entre fluide et la structure.
II.1.La méthode par pénalisation
II.1.1.Méthode SPH
II.1.2.Méthode SPH avec FEM
II.1.3.Méthode FEM avec FEM
II.1.4.Méthode des multiplicateurs de Lagrange.
II.2.Fréquence propre.
Chapitre II : Théorie sur le Domaine du Fluide Structure & Couplage Théorie des solides
I.1.Tube soumis à une pression
I.2.Relations déplacements avec déformations et contraintes
I.2.1.Déplacement
I.2.2.Déformation.
I.2.3.Contraintes
II. Théorie des fluides
II.1.Hypothèses.
II.2.Equation de continuité
II.3.Conservation de la quantité de mouvement.
II.4.Relations des vitesses, déformations et contraintes
II.4.1.Vitesses en Coordonnées Cylindriques
II.4.2.Déformations
II.4.3.Contraintes
III.Couplage entre fluide et la structure.
III.1.Méthode FEM avec FEM.
Chapitre III : Discrétisation sur Interaction Fluide-Structure
Introduction
II. Discrétisation en élément finis
II.1.Principe de l’énergie minimale
II.2.Principe de travail virtuel
II.2.1.Discrétisation l’équation du fluide et solide.
III. Choix de l’élément Fini
IV. Passage à l’élément de référence
V. Partie du fluide.
VI. Ecriture variationnelle faible dans le cas de fluides incompressibles
VII. Discrétisation par éléments finis.
VIII. Passage d’application sur le domaine structure
IX. Couplage fluide et structure
IX.1. Principe de couplage de pénalité
X. Les équations du mouvement
Chapitre IV : Résolution & Programmation MATLAB
Introduction
II. Programme
III. Intégration
IV. Matrices de rigidité et masse élémentaire
V. Assemblages des matrices élémentaires
VI. Résolution
VII. Organigramme
VIII. Validation
VIII.1 La convergence fluide-structure
VIII.2 Influence des différents paramètres
IX. Interprétation des résultats
Conclusion Générale
Référence.