Théorie des situations didactiques (TSD) de Guy Brousseau

Le jeu utilisé : Match point

« Match Point » est à l’origine un jeu de société diffusé par un éditeur néerlandais. Ce jeu, qui met en oeuvre de multiples compétences, tant en calcul qu’en raisonnement, a été retravaillé en France par le groupe Jeux de l’Association des Professeurs de Mathématiques de l’Enseignement Public (APMEP) qui a proposé une brochure complète.
Les activités proposées sont abordables dès le cycle 2 mais permettent une réflexion intéressante au-delà du cycle 4. Dans le cadre familial ou de loisirs, ces activités sont aussi une source de défis à réaliser seul ou à plusieurs.

Présentation du jeu

Le jeu a été présenté par Stéphane Robert aux Journées Nationales de l’APMEP 2019 à Dijon de la manière suivante :
Pour construire une pièce du jeu, partons d’un carré et traçons ses médianes. Quatre carrés sont ainsi créés.

Situation étudiée : comment atteindre un score maximal ?

Le jeu Match Point permet-il d’offrir une situation adidactique ? Peut-on créer des situations analysables avec le cadre théorique de Brousseau présenté précédemment ?
Nous allons commencer par décrire la situation de jeu proposée à des élèves de 5e puis nous ferons l’analyse à priori de l’activité

Situation avec 3 pièces

Les élèves ont 10 minutes de temps de recherche pour trouver le score maximal avec 3 pièces.
Quand ils pensent avoir trouvé le score maximal, ils l’écrivent au tableau. En fonction du score obtenu, soit ils continuent de chercher soit ils estiment avoir trouvé le score maximal. Dans ce dernier cas, ils argumentent à l’écrit pour démontrer leur conviction.
Après ces 10 minutes de jeu en binôme et en interaction avec la classe, nous faisons un point en classe entière. Nous étudions les scores marqués au tableau et nous échangeons sur :
— Comment ces scores ont été trouvés ?
— Comment nous pouvons être sûrs que nous avons trouvé le maximum ?
— Les exemples sont-ils suffisants pour prouver une affirmation ?

Situation avec 5 pièces

Dans cette situation un rôle est défini pour chaque membre du binôme : l’un est placeur et l’autre guide.
Seul le placeur a le droit de manipuler les pièces. Le guide indique au placeur quelle pièce il veut prendre et comment la placer. Le placeur peut remettre en cause les choix du guide et lui demander de les justifier.
Nous cherchons à faire expliciter aux élèves leurs démarches et à leur faire formaliser leur pensée.
L’organisation de cette situation est proche de l’organisation de la situation avec 3 pièces :
— 15 minutes de temps de recherche en binôme.
— Retour écrit du placeur et du guide ; les questions posées sont décrites plus bas ;
— Échange en classe entière sur le score obtenu et les possibilités de vérifier.
Lors des échanges en classe entière, nous nous intéressons aux mêmes questions que l’échange précédent (de la situation à 3 pièces).

Ce que l’on cherche dans ces situations de jeu

Dans ces situations, nous cherchons principalement à :
— obtenir l’adhésion des élèves ;
— les faire entrer dans une phase de recherche et tâtonnement ;
— leur faire formuler des arguments visant à justifier leur résultat ;
— leur faire comprendre que les exemples ne suffisent pas à prouver.
Nous n’attendons pas de preuve complète de la part des élèves

Analyse à priori de la situation

La situation et le cadre didactique

Comme décrit plus haut, dans une situation adidactique telle que Brousseau la décrit, l’élève est dans une situation d’apprentissage dans laquelle le professeur a « l’intention d’enseigner un contenu mathématique tout en laissant à l’élève la marge de manoeuvre et d’initiative la plus grande possible ». L’objectif principal du professeur est d’établir les conditions « les plus favorables à la mise en action de l’élève » (Kuzniak, 2005). Nous cherchons à faire travailler les élèves sur le raisonnement. Certains apprentissages seront travaillés pendant la séance :
— L’apprentissage de la manipulation et du placement des pièces.
— L’apprentissage du calcul du maximum.
— L’apprentissage de recherche d’une stratégie, l’identification des différents éléments de la stratégie :
— Le choix des pièces.
— L’identification des valeurs non-marquées.
— L’identification des dispositions qui permettent de marquer le plus de points.
Les trois apprentissages suivants peuvent être institutionnalisés :
1. Un ou des exemples ne suffisent pas à prouver.
2. Traiter tous les cas permet d’être certain d’obtenir le maximum (raisonnement par exhaustivité des cas).
3. Chercher une méthode permettant de traiter tous les cas (raisonnement heuristique).
Parmi ces trois éléments, il a été choisi d’institutionnaliser le premier : un ou des exemples ne suffissent pas à prouver. Nous cherchons à obtenir un bilan d’institutionnalisation relativement simple et marquant afin que les élèves puissent le retenir et le réutiliser facilement.
Notre objectif est de faire travailler les élèves sur la recherche, le raisonnement, le calcul et la communication. Les élèves mettent en avant les arguments qu’ils peuvent avancer pour démontrer leur résultat.
Nous plongeons l’élève dans une situation d’apprentissage où, dans la phase de recherche, le professeur n’intervient pas. Nous allons décrire ci-dessous les éléments qui nous rapprochent d’une situation adidactique.

Situation d’action et interaction avec le milieu

Chaque binôme dispose d’un jeu qu’il manipule avec lequel il cherche le meilleur score pour le nombre de cartes données.
Quand un binôme pense avoir trouvé le meilleur score, il vient noter son score au tableau en face des prénoms du binôme. Ainsi, les élèves ont accès aux scores trouvés par l’ensemble de la classe.
En fonction des actions des élèves, le milieu renvoie aux élèves l’information du score qu’il est possible de trouver.

Situation de formulation

Dans la mise en place de la situation avec 5 pièces, les rôles donnés à chaque membre du binôme guident la communication. Le guide doit argumenter ses choix et le placeur doit prendre du recul sur les actions commandées par le guide. De par cette situation de formulation, nous cherchons à favoriser la verbalisation des décisions prises par le guide et la compréhension de ces décisions par le placeur.

Situation de preuve

Lors du retour écrit fait par les binômes, il leur est demandé des arguments visant à démontrer que le score trouvé est maximal. Cette étape peut-être considérée comme une situation de preuve au sens de Brousseau.

Institutionnalisation

Lors de la classe entière nous cherchons à tendre vers une institutionnalisation. Nous cherchons à formaliser « plusieurs exemples ne constituent pas une preuve ».
Nous cherchons également à mettre en avant les arguments mathématiques avancés par les élèves.

Critère de jeu

Cette situation répond complètement à trois critères de jeu définis par Brougère qui sont : le second degré, la règle et la frivolité.
Le critère de la décision peut-être séparé en deux :
— liberté de s’engager ou non dans le jeu,
— décision sur les coups à jouer.
Lors d’une situation en classe, les élèves ne sont pas libres de s’engager dans le jeu puisque c’est ce qui est demandé. Par contre, le deuxième « sous-critère », concernant la décision sur les coups à jouer est applicable dans notre cas.
Le cinquième critère est l’incertitude. Dans notre cas, ce critère est discutable. Nous allons décrire par la suite l’analyse à priori de l’activité qui nous mène au résultat maximal.

Les principales variables didactiques

Les principales variables didactiques de la situation sont :
— le matériel à disposition : les pièces du jeu ;
— le nombre de pièces utilisables pour atteindre le score maximal ;
— la communication au sein du groupe et avec la classe (affichage des scores au tableau) ;
— la restitution écrite après la situation ;
— le temps laissé au groupe pour réaliser la tâche.
Ces variables didactiques sont légèrement modifiées entre les deux situations proposées aux élèves :
— Le nombre de pièces varie de 3 à 5 ;
— Le temps de recherche est augmenté de 5 minutes entre la première situation et la deuxième.
— La communication entre les élèves qui est libre à la première situation est guidée pour la deuxième situation avec les rôles de placeur et de guide.
— La restitution écrite est légèrement différente.

Résolution de l’activité avec 3 pièces

Choix des pièces

Dans un premier temps, pour avoir le score maximal, nous cherchons à assembler les pièces ayant les valeurs les plus grandes donc les pièces qui n’ont pas de 1.

Preuve de l’obtention du maximum avec 5 pièces

Pour cette situation, nous avons décidé de rédiger une preuve mathématiquement recevable et complète. Cette preuve nous servira pour analyser les traces écrites des élèves. De plus, cette preuve combinée à l’analyse des traces écrites des élèves pourra nous ouvrir des portes sur « comment mener l’activité une nouvelle fois, avec une autre classe ».
Nous allons commencer par compter le maximum théorique de points présents sur 5 pièces. Pour ce faire, nous choisissons 5 pièces parmi les 6 pièces ne portant pas de 1 (la famille de pièces rouges).
Comme nous le verrons par la suite, il n’est pas possible d’atteindre ces 70 points : quelle que soit la disposition choisie, des valeurs seront forcément tournées vers l’extérieur et ne seront en contact avec aucune pièce. Ainsi elles seront inutiles et ne permettront pas de marquer des points. 70 est donc un majorant mais pas un maximum atteignable.
Nous allons passer en revue toutes les dispositions possibles afin de trouver le maximum atteignable.
Nous rappelons que, par construction, chaque pièce contient 4 valeurs différentes.

Quelques principes généraux

Nombres de points marqués

Les points se marquent par doublé, par triplé, ou par quadruplé. Par définition du jeu, nous ne pouvons pas marquer de point avec une seule valeur : deux valeurs doivent se toucher nécessairement pour être marquées. Dans les configurations suivantes, nous utiliserons deux doublés pour faire un quadruplé et un doublé et un triplé pour faire un quintuplé.

Pentaminos

Un pentamino (ou pentomino) est une figure géométrique constituée de 5 carrés accolés. Il existe douze formes de pentamino. Chaque pentamino porte un nom de lettre qui lui ressemble approximativement (figure 5.5) :

Conclusion de la preuve

La présentation des 12 cas nous permet d’établir que le maximum atteignable avec 5 pièces est 57. Ce maximum a été obtenu avec la disposition en « P » et la disposition en « L ». Pour certaines dispositions, nous avons calculé un majorant sans calculer le maximum. Il n’est pas exclu que ce maximum soit atteint avec une autre disposition.
Nous notons l’étonnante différence entre les configurations « V » et « L » : ces deux configurations semblent très proches et finalement l’une permet d’atteindre le maximum et pas l’autre.

Ce que l’on attend des élèves

Nous attendons de la part des élèves une première phase de recherche. Cette phase de recherche peut se faire soit par tâtonnement soit en faisant un premier état des lieux avant de chercher : choix des pièces ayant le plus de points. L’attente à minima des élèves est de trouver le score maximal avec 3 pièces.

Difficultés envisagées

Les élèves peuvent être confrontés aux difficultés suivantes :
— comprendre le jeu ;
— savoir comment compter les points ;
— trouver la disposition adéquate

Table des matières
I Cadre théorique et problématique 
1 Cadre théorique
1.1 Théorie des situations didactiques (TSD) de Guy Brousseau
1.1.1 Situation
1.1.2 Situation didactique
1.1.3 Situation adidactique
1.1.4 Type de situation adidactique
1.1.5 Contrat didactique
1.1.6 La dévolution
1.1.7 Institutionnalisation
1.1.8 L’utilisation de la TSD dans ce mémoire
1.2 Le jeu
1.2.1 Les critères de jeu de Brougère
1.2.2 Les jeux sérieux
1.3 Raisonner
1.3.1 Définition
1.3.2 Les attentes curriculaires
2 Problématique
II Corpus, méthodologie, analyse à priori et recueil de données 
3 Le jeu utilisé : Match point
3.1 Présentation du jeu
4 Situation étudiée : comment atteindre un score maximal ?
4.1 Description générale de la situation
4.1.1 Situation avec 3 pièces
4.1.2 Situation avec 5 pièces
4.2 Ce que l’on cherche dans ces situations de jeu
5 Analyse à priori de la situation
5.1 La situation et le cadre didactique
5.1.1 Situation d’inspiration adidactique
5.1.2 Situation d’action et interaction avec le milieu
5.1.3 Situation de formulation
5.1.4 Situation de preuve
5.1.5 Institutionnalisation
5.1.6 Critère de jeu
5.1.7 Les principales variables didactiques
5.2 Résolution de l’activité avec 3 pièces
5.2.1 Choix des pièces
5.2.2 Calcul du score maximal
5.2.3 Choix de la disposition
5.3 Preuve de l’obtention du maximum avec 5 pièces
5.3.1 Quelques principes généraux
5.3.2 Pentaminos
5.3.3 Disposition en « I »
5.3.4 Disposition en « L »
5.3.5 Disposition en « P »
5.3.6 Disposition en « V »
5.3.7 Disposition en « F », en « N », en « T », en « U », en « W », en « X », en « Y » et en « Z »
5.3.8 Conclusion de la preuve
5.4 Ce que l’on attend des élèves
5.5 Difficultés envisagées
6 Recueil de données
6.1 Recueil écrit
6.1.1 Questions posées sur la situation avec 3 pièces
6.1.2 Questions posées sur la situation avec 5 pièces
6.1.3 Questions posées à la fin de la séance
III Résultats, analyse et perspectives 
7 Données recueillies
7.1 Recueil oral de données
7.1.1 Retranscription de l’enregistrement audio d’un binôme et phase de jeu
7.2 Questions posées à l’écrit .
7.2.1 Question sur le raisonnement
7.2.2 Question sur le ressenti
7.3 Recueil vidéo de données
7.3.1 Retranscription de l’enregistrement vidéo de la conclusion en classe entière
8 Interprétation de la situation, des résultats et mise en perspective
8.1 Interprétation
8.1.1 La TSD
8.1.2 Le jeu
8.1.3 Le raisonnement
8.2 Synthèse
8.3 Ouverture sur le caractère « groupé »
Bibliographie 
A Un exemple d’activité de la brochure de Match Point 

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