Théorie des champs électromagnétiques macroscopiques en milieux magnétiques continus

Théorie des champs électromagnétiques macroscopiques en milieux magnétiques continus

Par choix de variable thermodynamique pour représenter l’état magnétique d’un milieu ou pour des raisons pratiques d’implémentation numérique, le champ d’excitation magnétique ? et le champ d’induction magnétique ? sont souvent confondus dans la littérature [Roche_2000]. Le formalisme adopté dans ce manuscrit interprète le champ d’excitation ? comme variable d’état. Les champs d’induction ? et d’aimantation ? découlent de cette excitation par la prise en compte des propriétés magnétiques du milieu étudié. Cette section introduit ces différents champs, présente les équations de Maxwell régissant leur couplage électromagnétique, et expose les différents comportements magnétiques des milieux généralement rencontrés industriellement.

Les champs électromagnétiques macroscopiques

La théorie des champs électromagnétiques traite des interactions physiques élémentaires qui s’exercent sur des porteurs de charge électrique microscopiques constituant la matière (électrons, ions). Le champ d’excitation électrique ? provient du déplacement de ces porteurs de charges dans un milieu, comme du courant électrique circulant dans une bobine électrique. Le champ d’excitation magnétique ? est quant à lui associé à des mouvements spécifiques de rotation et de circulation des charges électriques dans un milieu. Les matériaux magnétiques sont constitués à l’état microscopique d’une distribution locale de moments magnétiques élémentaires, les moments angulaires orbitaux (rotation des électrons selon une orbite autour d’un noyau atomique) et les moments quantiques de spins des électrons (rotation des électrons sur eux-mêmes), qui tendent à s’aligner dans la direction d’une excitation ?. Certains milieux comme les matériaux ferromagnétiques présentent la caractéristique d’être localement organisés en régions spontanément aimantées, même en absence de champ magnétique extérieur, dont l’arrangement microscopique permet l’apparition d’une aimantation macroscopique rémanente. Cette caractéristique, exploitée notamment dans la conception d’aimants permanents [Moskowitz_1986], repose sur un équilibre énergétique spécifique qui s’exerce sur les moments magnétiques microscopiques des milieux et tend à les aligner selon certaines directions cristallographiques privilégiées, contribuant à l’apparition d’un moment magnétique à l’échelle macroscopique. Cette propriété est utilisée très tôt dans le principe de la boussole : le moment magnétique d’une aiguille ferromagnétique interagit avec le champ magnétique terrestre et s’aligne dans la direction du pôle nord.

Classification des comportements magnétiques des milieux

Structure microscopique aléatoire : moments atomiques isolés Les matériaux diamagnétiques possèdent une susceptibilité magnétique négative et très faible, de l’ordre de -10-5 . Ces matériaux ont la faculté de s’aimanter destructivement en réponse à une excitation magnétique extérieure : ils génèrent un champ d’aimantation, d’amplitude très faible, et dans le sens contraire du champ magnétique appliqué. La relation de linéarité est valable même pour de fortes excitations magnétiques, et l’aimantation du milieu disparaît lorsque l’excitation magnétique est supprimée. La plupart des matériaux non-métalliques sont diamagnétiques, comme le sont aussi certains métaux tels le cuivre et l’or.
Les matériaux paramagnétiques s’aimantent constructivement sous l’effet d’un champ magnétique extérieur, avec des susceptibilités de faibles valeurs positives, généralement entre 10-5 et 10-3. L’aimantation de ces milieux varie linéairement avec le champ magnétique extérieur ; elle sature pour de très fortes valeurs de champs (inatteignables industriellement à température ambiante), et elle disparaît lorsque l’excitation s’annule. Les moments atomiques des matériaux paramagnétiques sont répartis aléatoirement à l’état initial, sous la seule influence de l’énergie d’agitation thermique. L’application d’un champ magnétique perturbe l’équilibre énergétique initial et force l’alignement des moments atomiques selon la direction de l’excitation magnétique. Lorsque l’excitation est supprimée, ces moments magnétiques se désordonnent aléatoirement à nouveau sous l’effet de l’agitation thermique, et l’aimantation macroscopique du milieu disparaît. Ce phénomène d’aimantation est naturellement fortement dépendant de la température. La loi de Curie [Curie] décrit la variation de l’aimantation d’un milieu paramagnétique comme l’inverse de la température. Le sodium et l’aluminium sont des exemples de matériaux paramagnétiques fréquemment rencontrés.
Structure microscopique localement ordonnée : moments atomiques en domaines Les moments magnétiques atomiques de certains milieux sont localement ordonnés en domaines magnétiques uniformément aimantés selon des directions caractéristiques, y compris en l’absence d’un champ magnétique extérieur. Ces moments ne sont pas isolés des interactions d’échange des moments atomiques voisins, et leur équilibre repose sur un bilan énergétique complexe. Cet ordre microscopique se traduit à l’échelle macroscopique par des susceptibilités magnétiques élevées (phénomène coopératif), par des mécanismes d’aimantation non-linéaires en fonction d’une excitation extérieure magnétique ou de nature différente (thermique ou élastique par exemple), et par l’apparition d’une aimantation rémanente en absence de champ extérieur. Différents comportements magnétiques de matériaux localement ordonnés à l’état microscopique sont distingués, dont trois principaux : le ferromagnétisme, l’antiferromagnétisme, le ferrimagnétisme.

Description des propriétés magnétiques macroscopiques des milieux ferromagnétiques

Les matériaux ferromagnétiques sont décomposés en domaines élémentaires, appelés les domaines de Weiss (détaillés dans la section suivante), qui présentent un moment magnétique résultant uniforme (les moments magnétiques atomiques de chaque domaine sont alignés dans la même direction) appelé aimantation spontanée. Sollicités par une excitation magnétique, les milieux ferromagnétiques impliquent de très fortes susceptibilités magnétiques, pouvant atteindre dans certains matériaux ; on parle de mécanismes coopératifs. De plus, l’aimantation macroscopique de ces milieux présente un comportement non-linéaire et hystérétique en fonction de l’intensité du champ magnétique extérieur.

Comportements non-linéaires, cycles d’hystérésis et susceptibilités magnétiques caractéristiques

À l’état désaimanté (magnétiquement ou thermiquement), les moments magnétiques résultant de  chaque domaine d’un milieu ferromagnétique polycristallin se répartissent aléatoirement, annulant le champ d’aimantation macroscopique. L’application d’un champ magnétique perturbe cet état initial et engendre un champ d’aimantation macroscopique. L’aimantation du milieu décrit alors la courbe de première aimantation : comportement linéaire pour de faibles intensités de champ magnétique (domaine de Rayleigh), puis forte augmentation quasi-linéaire de l’aimantation jusqu’à atteindre une valeur d’aimantation à saturation MS.
Lorsque que le champ magnétique extérieur décroît jusqu’à zéro à partir d’une valeur maximale Hm (appelée champ d’excursion maximale), l’aimantation du milieu ne suit plus la courbe de première aimantation mais décrit la branche descendante du cycle d’hystérésis. À champ magnétique nul, une aimantation macroscopique non nulle, appelée aimantation rémanente MR, subsiste. Pour annihiler l’aimantation rémanente du matériau, il est nécessaire d’exciter le matériau dans la direction opposée à la direction initiale d’excitation à l’intensité du champ coercitif HC : l’aimantation du milieu décrit la courbe de désaimantation (ou de démagnétisation). En cyclant la sollicitation magnétique du milieu entre des intensités de champ −Hm et Hm (à de faibles fréquences de l’ordre du hertz), l’aimantation macroscopique du milieu ferromagnétique décrit ainsi une boucle caractéristique : le cycle majeur d’hystérésis. Si un champ magnétique alternatif d’intensité bien inférieure à celle du champ magnétique d’excursion est superposé à un champ magnétique continu, l’aimantation du milieu décrit alors un cycle mineur d’hystérésis. Les formes des cycles d’hystérésis majeur et mineur peuvent varier fortement d’un milieu ferromagnétique à un autre. La courbe anhystérétique est une courbe caractéristique du comportement ferromagnétique qui se construit point par point. L’abscisse de chaque valeur d’aimantation anhystérétique correspond à l’intensité du champ magnétique imposé auquel est superposé un champ alternatif évanescent de valeur moyenne nulle et d’amplitude initiale plus élevée que le champ d’excursion maximale. De cette façon, cette courbe quantifie les mécanismes d’aimantation réversibles (sans perte d’hystérésis) du matériau.

Milieux ferromagnétiques doux et durs

Les différents paramètres décrivant les courbes hystérétiques et anhystérétiques sont des caractéristiques ferromagnétiques propres à chaque matériau, et peuvent varier fortement d’un matériau à un autre. Les principaux éléments ferromagnétiques sont le fer, le nickel et le cobalt. Ce sont les trois seuls éléments purs et ferromagnétiques dont l’usage est industriel. Certaines terres rares à basses températures sont aussi ferromagnétiques. De plus, les alliages de fer, nickel et cobalt peuvent être ferromagnétiques ou non, avec par exemple certains alliages fer-nickel qui ne sont pas ferromagnétiques. Autre élément de curiosité, des alliages de métaux non ferromagnétiques peuvent être ferromagnétiques comme certains alliages cuivre-manganèse-aluminium. Les matériaux ferromagnétiques sont généralement classés en deux principaux sous-groupes selon la forme de leur cycle majeur d’hystérésis  :
Les matériaux doux, comme le fer ou les alliages fer-nickel et fer-cobalt, sont caractérisés par un cycle d’hystérésis étroit avec de faibles intensités de champ coercitif et une forte perméabilité. Ils sont généralement caractérisés par leur courbe anhystérétique. Ces matériaux sont très faciles à aimanter et à désaimanter, et ils présentent peu de pertes énergétiques par dissipation lors d’un cycle d’excitation magnétique (grâce à la faible surface du cycle d’hystérésis). Ces caractéristiques rendent ces matériaux très utiles en fonctionnement alternatif : ils sont utilisés dans la conception de machines électriques ou d’électroaimants ;
Les matériaux durs, comme la magnétite, les alliages AlNiCo, ou le NdFeB, ont un cycle d’hystérésis très large. L’aimantation rémanente de ces matériaux est importante (de l’ordre du tesla) et l’intensité du champ coercitif de ces milieux est très élevée, ce qui rend ces matériaux très difficiles à désaimanter. Ces caractéristiques spécifiques sont naturellement adaptées pour la conception industrielle d’aimants permanents.

Description des mécanismes microscopiques à l’origine des propriétés magnétiques non-linéaires

La structure microscopique ordonnée en domaines magnétiques est à l’origine des propriétés ferromagnétiques des milieux. L’analyse des mécanismes microscopiques s’exerçant sur cette distribution de domaines lors d’une excitation magnétique permet d’expliquer les phénomènes non-linéaires d’aimantation rencontrés dans ces milieux, et de comprendre l’influence de la microstructure, et des paramètres physiques qui l’impactent, sur la qualité d’aimantation d’un milieu ferromagnétique.

Structure microscopique organisée en domaines magnétiques de Weiss

L’existence d’une aimantation spontanée en l’absence d’excitation magnétique extérieure témoigne du fait que la distribution de moments magnétiques atomiques n’a rien d’aléatoire dans un matériau ferromagnétique mais présente un ordre microscopique caractéristique. En effet, au repos, en plus de sa structure élastique métallographique traditionnelle (grains, phases…), un matériau ferromagnétique massif se divise spontanément en un grand nombre de petites régions appelées domaines élémentaires de Weiss ou domaines magnétiques . Cette structure, à une échelle intermédiaire entre l’échelle atomique et l’échelle macroscopique, a été introduite par Pierre Weiss [Weiss_1907] dans les années 1900 pour expliquer comment une substance localement aimantée à saturation apparaît désaimantée macroscopiquement. Elle n’a été observée expérimentalement que beaucoup plus tard grâce aux méthodes de microscopie à effet Kerr (magnéto-optique) ou à ‘forces magnétiques’ (MFM pour ‘Magnetic Force Microscopy’). À l’intérieur de chaque domaine de Weiss, les moments magnétiques atomiques sont parallèles et pointent dans la même direction, chaque domaine étant aimanté à saturation MS . Cette structure caractéristique en domaines de Weiss constitue un état d’équilibre métastable [D’Aquino_2004] des moments atomiques soumis à l’interaction mutuelle des moments atomiques voisins (énergie d’échange). Une particularité des matériaux ferromagnétiques tient également à la présence apparente d’axes d’aimantation privilégiés, ou axes de facile aimantation. En effet , les orientations de l’aimantation spontanée des domaines magnétiques ne prennent pas des directions aléatoires dans chaque grain élastique mais privilégient certains axes cristallographiques. Ces axes sont définis en fonction de la symétrie de la maille cristalline de chaque grain du matériau : on parle d’anisotropie magnéto-cristalline. Dans le cas idéal d’un monocristal ferromagnétique, l’anisotropie magnéto-cristalline se traduit macroscopiquement par une anisotropie magnétique, qui se forme généralement selon les axes cristallographiques du cristal de référence. Dans le cas de matériaux ferromagnétiques polycristallins, la répartition aléatoire des différentes symétries cristallines, et donc de l’aimantation spontanée de chaque domaine, restaure généralement l’isotropie magnétique à l’échelle macroscopique [Weiss_1907].

Réarrangements des domaines de Weiss et parois de Bloch sous l’effet d’une excitation magnétique

Lorsqu’un matériau ferromagnétique est soumis à une excitation magnétique extérieure, les moments magnétiques atomiques s’alignent selon la direction de l’excitation pour minimiser l’énergie potentielle magnétique apportée au milieu. Au début de la sollicitation magnétique, les domaines magnétiques pour lesquels l’aimantation spontanée est orientée dans la même direction que le champ magnétique appliqué sont dans un état énergétique stable. En augmentant l’intensité de l’excitation, les domaines énergétiquement favorables s’agrandissent, la propagation des parois de Bloch s’opérant par des renversements de proche en proche des moments atomiques des domaines magnétiques adjacents, énergétiquement défavorables. Les processus microscopiques d’aimantation d’un milieu ferromagnétique correspondent ainsi à des mouvements caractéristiques de propagation des parois de Bloch et de rotation de l’aimantation spontanée des domaines de Weiss. Cette réorganisation de la structure microscopique est à l’origine des phénomènes magnétiques macroscopiques non-linéaires des milieux ferromagnétiques. Ces mécanismes de réarrangement microscopique sont détaillés dans une configuration magnétique simplifiée pour expliquer les non-linéarités observées sur la courbe de première aimantation d’un matériau ferromagnétique en fonction de l’intensité de l’excitation magnétique.

Description des propriétés magnéto-élastiques macroscopiques des milieux ferromagnétiques

Les milieux ferromagnétiques sont le siège de phénomènes locaux de couplage magnéto-élastique, qui se traduisent à l’échelle macroscopique par une dépendance mutuelle des propriétés magnétiques et mécaniques du matériau. L’analyse de ce couplage fait naturellement intervenir la notion de déformation de magnétostriction et l’influence des contraintes mécaniques sur l’aimantation de ces milieux.

Les phénomènes de couplage magnéto-élastique des milieux

Un milieu ferromagnétique présente les spécificités de se déformer en réponse à une sollicitation magnétique (champ magnétique) et, de façon réciproque, de modifier sa qualité d’aimantation en réponse à une sollicitation mécanique (contraintes mécaniques). La preuve expérimentale de ces effets de couplage est originalement fournie par Joule [Joule_1847]. Il montre que la longueur d’un barreau de fer change sous l’effet d’un champ magnétique. Il constate également que la variation de volume associée à cette déformation est très faible, ce qui indique qu’un allongement du barreau dans la direction de l’excitation s’accompagne nécessairement d’une contraction dans les deux directions orthogonales.
De plus, Joule montre que la déformation engendrée par l’aimantation du barreau, mesurée par la variation relative de longueur Δl/l par rapport à l’état désaimanté, peut fortement varier en amplitude et même de signe si ce dernier est mécaniquement contraint.

Origine du couplage magnéto-élastique et anisotropie magnéto-cristalline

En refroidissant une substance ferromagnétique en dessous de sa température de Curie, le milieu passe d’un état microscopique désordonné à un état microscopique ordonné, en l’absence d’excitation magnétique extérieure. Son arrangement microstructurel original en domaines magnétiques engendre une déformation de magnétostriction, qui est qualifiée de magnétostriction spontanée, qui s’accompagne généralement d’une variation de volume. Lorsqu’un milieu ferromagnétique est ensuite soumis à une sollicitation magnétique, son ordre microscopique se réarrange afin de constamment minimiser l’énergie des moments magnétiques élémentaires qui le composent. Ce réarrangement (déplacements des parois de Bloch et des rotations des domaines de Weiss) s’accompagne d’une déformation isochore (volume constant) de magnétostriction, qu’on qualifie dans ce cas de magnétostriction induite. Dans une application industrielle de CND par EMAT, les milieux ferromagnétiques sont généralement inspectés en dessous de leur température de Curie, et seule la magnétostriction induite est traitée dans cette étude. L’origine microscopique des phénomènes de magnétostriction repose sur un couplage local entre les moments magnétiques élémentaires et la structure cristalline du milieu. Soumis à une excitation magnétique, les moments magnétiques orbitaux et de spins des électrons tendent à s’aligner dans la direction d’excitation. Cependant, le moment orbital est fortement couplé à la structure cristallographique du milieu. Ainsi, l’alignement du moment magnétique orbital est fortement contraint, et engendre la déformation de l’ensemble du cristal par magnétostriction. On peut ainsi dire que la déformation de magnétostriction est d’origine inélastique (‘eigenstrain’ en anglais) car elle ne découle pas de forces mécaniques extérieures mais d’interactions microscopiques internes entre spins, moments orbitaux, et structure cristalline. Ce couplage fondamental spin-orbite-cristal est également à l’origine de l’anisotropie magnéto-cristalline (présence d’axes de facile aimantation) des milieux ferromagnétiques. Les deux phénomènes (magnétostriction et anisotropie magnéto-cristalline) sont en effet intimement liés [Clark_1980], et c’est la raison pour laquelle les déformations de magnétostriction sont généralement associées aux déplacements des parois de Bloch à 90° (autres que 180° plus précisément) et aux rotations de l’aimantation spontanée d’un domaine selon la direction imposée par l’excitation extérieure, mécanismes qui forcent les moments élémentaires à sortir des axes d’aimantation privilégiés régis par la structure cristalline du milieu.

Table des matières

INTRODUCTION
Le CND par EMAT en milieux ferromagnétiques
Contexte de la thèse
Étude bibliographique
Bilan bibliographique
Problématiques détaillées de la thèse
Présentation des travaux effectués
CHAPITRE 1 :Revue des propriétés magnétiques et magnéto-élastiques des matériaux ferromagnétiques 
1.1. Théorie des champs électromagnétiques macroscopiques en milieux magnétiques continus
1.1.1. Les champs électromagnétiques macroscopiques
1.1.2. Équations de Maxwell en milieux continus
1.1.3. Classification des comportements magnétiques des milieux
1.2. Description des propriétés magnétiques macroscopiques des milieux ferromagnétiques
1.2.1. Comportements non-linéaires, cycles d’hystérésis et susceptibilités magnétiques
caractéristiques
1.2.2. Milieux ferromagnétiques doux et durs
1.2.3. Susceptibilités intrinsèque et apparente : champ démagnétisant
1.2.4. Facteurs physiques affectant la qualité d’aimantation macroscopique
1.3. Description des mécanismes microscopiques à l’origine des propriétés magnétiques non-linéaires 
1.3.1. Structure microscopique organisée en domaines magnétiques de Weiss
1.3.2. Réarrangements des domaines de Weiss et parois de Bloch sous l’effet d’une excitation
magnétique
1.3.3. Composition chimique et déplacements irréversibles des parois de Bloch
1.3.4. Influence de la fréquence d’excitation
1.3.5. Anisotropie magnéto-cristalline
1.4. Description des propriétés magnéto-élastiques macroscopiques des milieux ferromagnétiques
1.4.1. Les phénomènes de couplage magnéto-élastique des milieux
1.4.2. Description des déformations macroscopiques de magnétostriction
1.4.3. Origine du couplage magnéto-élastique et anisotropie magnéto-cristalline
1.4.4. Influence des contraintes mécaniques sur les courbes macroscopiques d’aimantation et
de magnétostriction
Conclusions du chapitre
CHAPITRE 2  :Modélisation des lois anhystérétiques d’aimantation et de magnétostriction des milieux ferromagnétiques
2.1. Modèles micromagnétiques et interactions magnéto-élastiques 
2.1.1. Énergie d’échange Wex
2.1.2. Énergie d’anisotropie magnéto-cristalline Wan
2.1.3. Énergie de Zeeman Wz
2.1.4. Énergie magnétostatique Wma
2.1.5. Énergie élastique Wσ
2.1.6. Champ effectif Heff traduisant l’équilibre quasi-statique
2.2. Approche phénoménologique de Sablik–Jiles–Atherton de modélisation du comportement magnéto-élastique anhystérétique 
2.2.1. Introduction historique aux approches phénoménologiques de modélisation du comportement magnétique des milieux
2.2.2. Principe du modèle SJA du comportement magnéto-élastique anhystérétique
2.2.3. Paramètres du modèle JA à contrainte mécanique nulle
2.2.4. Définition de la loi anhystérétique de magnétostriction λ ms (H,σ)
2.2.5. Simulation de courbes magnéto-élastiques anhystérétiques avec le modèle SJA
2.2.6. Limites de l’approche phénoménologique du modèle SJA.
2.3. Approches multi-échelles de Daniel et al. de modélisation du comportement magnéto-élastique anhystérétique 
2.3.1. Principe du MME complet du comportement magnéto-élastique réversible
2.3.2. MME simplifié du comportement magnéto-élastique réversible
2.3.3. Utilisation du MME simplifié à partir de mesures expérimentales
2.3.4. Prise en compte de l’effet ?E dans le MME simplifié
2.3.5. Comparaisons entre le MME simplifié de Daniel et le modèle SJA
2.3.6. Prédiction de l’effet des contraintes mécaniques multi-axiales sur les propriétés magnéto-élastiques
Conclusion du chapitre
CHAPITRE 3 :Modélisation des sources électromagnéto-élastiques de rayonnement ultrasonore en milieux ferromagnétiques
3.1. Modèle de sources électromagnétiques de transduction ultrasonore
3.1.1. Revue des modèles de sources électromagnétiques de la littérature
3.1.2. Définition énergétique du tenseur des contraintes électromagnétiques de Maxwell en milieux ferromagnétiques
3.2. Modèle de densité de sources magnétostrictives
3.2.1. Tenseur des déformations macroscopiques de magnétostriction ɛms
3.2.2. Modèle de densité volumique de force équivalente de magnétostriction fms
3.2.3. Modèle de densité volumique de forces piézomagnétiques équivalentes
3.3. Méthode de transformation des sources volumiques de transduction ultrasonore en contraintes surfaciques équivalentes
3.3.1. Origines, motivations, et principes de la méthode
3.3.2. Contraintes surfaciques équivalentes à l’ordre deux en milieux élastiques de géométries complexes
3.3.3. Application théorique de la méthode des contraintes surfaciques équivalentes développées à l’ordre deux
Conclusion du chapitre
CHAPITRE 4 :Simulation des mécanismes de transduction ultrasonore induits par EMAT en milieux ferromagnétiques
4.1. Présentation du logiciel CIVA pour la simulation de CND par EMAT
4.1.1. Le module de simulation CIVA CF
4.1.2. Le module de calcul CIVA US
4.1.3. Hypothèse de couplage magnéto-élastique faible
4.2. Simulation des sources et de leur rayonnement ultrasonore induits par une configuration EMAT donnée en milieux magnétiques linéaires 
4.2.1. Description de la configuration d’inspection étudiée
4.2.2. Simulation des sources électromagnéto-élastiques de transduction ultrasonore induites
par EMAT en milieux magnétiques linéaires
4.2.3. Simulation du rayonnement ultrasonore transmis par EMAT en milieux magnétiques
linéaires
4.3. Efficacité de transduction ultrasonore d’un EMAT selon ses paramètres d’excitation et les propriétés du milieu inspecté
4.3.1. Influence des paramètres d’excitation de l’EMAT sur les sources de transduction ultrasonore
4.3.2. Influence des propriétés magnétiques et magnéto-élastiques du milieu sur les sources de transduction ultrasonore induites par EMAT
Conclusion du chapitre
CHAPITRE 5  :Caractérisation expérimentale du comportement ultrasonore d’un EMAT en milieu ferromagnétique
5.1. Caractérisation des paramètres de conception et d’excitation de l’EMAT étudié
5.1.1. Paramètres de conception de l’EMAT didactique étudié
5.1.2. Mesure du courant impulsionnel injecté dans la bobine de l’EMAT
5.2. Mesure du champ magnétique dynamique rayonné par la bobine de l’EMAT et comparaison aux prédictions numériques de CIVA CF 
5.3. Mesures du champ ultrasonore transmis par EMAT en milieu ferromagnétique
5.3.1. Montage expérimental pour la mesure du champ ultrasonore en transmission par un traducteur piézoélectrique focalisé en immersion
5.3.2. Étude de l’influence du signal électrique d’excitation sur le rayonnement ultrasonore transmis par EMAT
5.3.3. Comparaisons simulation-expérience : A-scan et C-scan en fond de pièce
Conclusion du chapitre
CONCLUSIONS ET PERSPECTIVES
Conclusions
Perspectives
ANNEXES
A. Formulaire de notations et analyse tensorielle différentielle
B. Étude comparative des différents modèles de sources électromagnétiques de la littérature
C. Modèle de contraintes surfaciques équivalentes en milieux élastiques isotropes de géométrie complexe: Publication Wave Motion
D. Extension de la méthode pour traiter le cas des milieux élastiques anisotropes et hétérogènes.
E. Modèle inertiel de sources magnétostrictives de Nagy et Ribichini
RÉFÉRENCES

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