Théorèmes des isomorphismes

Théorèmes des isomorphismes

EXEMPLE D’ANEUX QUOTIENT

Exemple1
–Soient K un corps et a et b deux élément de K.Alorsona: 1. L’anneau K[X]/(X−a)est isomorpheàK;
2. L’anneau K[X,Y]/(Y−b)est isomorphe à K[X]; 3. L’anneau K[X,Y]/(X−a,Y−b)est isomorpheàK. Démonstration.

 – 1. Soit ϕ:K[X]→K l’homomorphisme d’anneaux défini par : ϕ(P)=P(a). Il est sur jectif et son noyau contient l’idéal(X−a). D’autre part, Si P∈kerϕ, i.e P(a)=0, le théorème de factorisation implique que P est de la forme : P(X)=Q(X)(X−a), autrement dit P ∈(X−a). Ainsi ϕ est un isomorphisme.  2. On définit ψ:K[X,Y]K[X] par P(X,Y)7→P(X,b). Il est surjectif, son noyau contient l’idéal(Y−b). Enfin si P(X,b) = 0, prouvons que P(X,Y) est un multiple de Y−b. On peut en fait invoquer le théorème de factorisation dans l’anneau des polynômes en une variable à coefficients dans l’anneau intègre K[X]. Mais on peut le démontrer directement on écrit: P(X,Y)= m X k=0 Pk(Y)Xk, Pk ∈K[Y]. Alors, P(X,b) =Pm k=0 Pk(b)Xk = 0, si bien Pk est multiple de Y−b, et donc P est multiple deY−b. 3. On introduit η : K[X,Y] → K donné par η(P) = P(a,b). C’est le composé ϕ◦ψ.
Son noyau contient l’idéal (X−a,Y−b). Réciproquement, soit P∈K[X,Y] tel que P(a,b)=0.La division euclidienne de P par Y−b dans K[X,Y] nous permet d’écrire: P(X,Y)=(Y−b)Q(X,Y)+R(X,Y) avec R(X,Y) est un polynôme en Y strictement inférieur à 1. Donc un polynôme R(X) en X seulement. Alors P(a,b) = R(a) = 0, ce qui implique que R(X) s’écrit (X−a)S(X).Finale menton a bien P(X,Y)∈(X−a,Y−b).
Exemple2. –Soit n un entier≥1.On notes :Z→Z/nZla sur jection canonique. 1. Étant donné un entier m, Alors s(m) est inversible dans l’anneau Z/nZ si et seulement sin et m sont premiers entre eux. 2. L’anneau Z/nZ est intègre si et seulement si n est premier. 3. Sin est premier l’anneau Z/nZ est un corps. Démonstration. – 1.

Soit a∈Z.Dire que s(m)est inversible signifie qu’il existe m0∈Z tel que s(m)s(m0)= s(1).Cela implique qu’il existe k∈Z tel que mm0=1+kn,d’où une relation de Bézoutentrem et n qui sont donc premiers entre eux. Réciproquement,sim et n sont premiers entre eux,ils existe n tu et v de Z tels que um+vn=1,d’où s(u)s(m)=s(1): s(m)est inversible dans Z/nZ,d’inverse s(u). 2. Supposons que n est premier et montrons que Z/nZ est intègre. Soient a et b tels que s(a)s(b)=s(0). Cela signifie que ab est un multiple de n, donc, n étant premier,que n divise a ou que n divise b.Ainsi s(a)=s(0)ou s(b)=s(0). Dans l’autre sens, si n n’est pas premier, on peut écrire n=n1n2 pour des entiers n1,n2 tels que 1<n1 <n et 1<n2 <n. En particulier s(n1) et s(n2) sont non nuls dans Z/nZ.Or s(n1)s(n2) = s(n1n2) = s(n)=s(0). Ainsi Z/nZ n’est pas intègre. 3. Supposons que n est premier et montrons que Z/nZ est un corps. Si m est un élément de Z tel que s(m)6=0 dans Z/nZ,cela signifie que n ne divise pas m,donc n et m sont premiers entre eux. D’après 1. s(m) est inversible. Par suite Z/nZ est un corps.

Table des matières

Dédicaces
Remerciements
Introduction
1 Anneau quotient
1.1 Construction
1.2 Théorèmes des isomorphismes
1.3 Exemples d’anneau quotient
2 Localisation
2.1 Partie multiplicative
2.2 Construction
2.3 Correspondance entre les idéaux de A et S−1A
2.4 Exemples de partie multiplicative
Bibliographie

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