Théorème de Sklar et copules

Fonctions de répartitions bivariées

Soit (X, Y), un couple de variables aléatoires; on dit également que (X, Y) est un vecteur aléatoire à deux dimensions. La fonction de répartition associée à ce couple est définie pour tout (x, y) E JR2 par.

Théorème de Sklar et copules

Définition d’une copule

La notion de copule a été motivée par les travaux de [2] et introduite formellement par [11] . Les copules sont aussi appelées fonctions de dépendance par [1]. Le résultat suivant, qui est justement dû à [11], constitue le fondement de la théorie des copules. Théorème 1.1. Soit HJ une fonction de répartition bivariée dont les marges F et C sont continues. Alors il existe une unique fonction C : [0, 1]2 ~ [0,1] appelée copule telle que pour tout (x, y) E IR2 J

Définition d’une copule

La notion de copule a été motivée par les travaux de [2] et introduite formellement par [11] . Les copules sont aussi appelées fonctions de dépendance par [1]. Le résultat suivant, qui est justement dû à [11], constitue le fondement de la théorie des copules.

Théorème 1.1. Soit HJ une fonction de répartition bivariée dont les marges F et C sont continues. Alors il existe une unique fonction C : [0, 1]2 ~ [0,1] appelée copule telle que pour tout (x, y) E IR2. Ce résultat est très important puisqu’il est possible de séparer, pour chaque loi bivariée, l’effet des marges, représenté par F et C, et l’effet de la dépendance, représentépar C. Ainsi, d’un coté nous avons les marges F et C, c’est-à-dire les lois unidimensionnelles, et de l’autre, la copule qui permet de relier ces marges. À l’inverse, une fonction C : [0, 1]2 ~ [0,1] sera une copule si elle satisfait les conditions suivantes:

Ce résultat est très important puisqu’il est possible de séparer, pour chaque loi bivariée, l’effet des marges, représenté par F et C, et l’effet de la dépendance, représenté par C. Ainsi, d’un coté nous avons les marges F et C, c’est-à-dire les lois unidimensionnelles, et de l’autre, la copule qui permet de relier ces marges. À l’inverse, une fonction C : [0, 1]2 ~ [0,1] sera une copule si elle satisfait les conditions suivantes:
(i) Pour tout u E [0,1], C(u, 0) = C(O, u) = a et C(u, 1) = C(I, u) = u

Extraction de la copule d’une loi bivariée

Soit une loi bivariée H de marges continues F et G. On a vu que le Théorème de [11] assure qu’il existe une unique copule C telle que H(x, y) = C{F(x), G(y)}. Ainsi, à partir d’une fonction de répartition conjointe H , on peut extraire son unique copule C. En effet, en posant simplement u = F(x) et v = G(y), l’Équation (1.1) devient.

Dépendance codale

Les indices de dépendance de queue sont des mesures de la dépendance asymptotique; celles-ci s’avèrent très utiles, notamment dans le contexte des valeurs extrêmes bivariées. Pour les définir, soit le couple (X, Y) de fonctions de répartition marginales F et G. L’indice de dépendance de queue inférieur de (X, Y) est défini par.

Cet indice mesure la propension qu’ont les variables X et Y à prendre simultanément des valeurs très petites. À l’inverse, la propension qu’ont les variables X et Y à prendre simultanément des valeurs très grandes se mesure à l’aide de l’indice de dépendance de queue supérieur, à savoir.

Copules Archimédiennes

Dans cette section, nous allons introduire une classe importante de copules, à savoir la famille des copules Archimédiennes. Celles-ci sont très utilisées en pratique. Définition 2.1. Soit une fonction cP : [0 , 1] —-+ [0,00] décroissante et convexe telle que Chapitre 2. Modèles de copules à d = 2 et d > 2 dimensions 15 </>(1) = O. Alors la copule Archimédienne de générateur </> est définie par.

Copules à valeurs extrêmes

Soit X l, » » X n , où X i = (XiI, «  » Xid ) , un échantillon de vecteurs aléatoires ddimensionnels indépendants et identiquement distribuées de fonction de répartition F, de lois marginales FI, … , Fn et de copule C. De là, on définit Mn comme le vecteur aléatoire dont les composantes sont les maxima observés pour chacune des d-composantes, c’est-à-dire que.

Copules Archimax

La classe de copules Archimax construite à partir d’une fonction décroissante convexe continue q; : [O,lJ -+ [0,00], q;(1) = a, appelé générateur et une fonction convexe A : [O,lJ -+ [0,1], max(t, 1 – t) :S A(t) :S 1 pour tout t E [0,1], appelée fonction de dépendance. Ensuite, la copule Archimax est une copules à la fois valeur extrême et Archimédienne. Soit q;, un générateur, et A, une fonction de dépendance. Une copule Archimax est définie par.

Généralisation des copules Normale et Student

Un vecteur aléatoire X = (Xl , . .. ,Xd ) suit une distribution elliptique de moyenne p, E }Rd et de matrice de variance-covariance ~ s’il admet la représentation X = p, + RAU, où A E }Rdxd satisfait AAT = ~, R est une variable aléatoire positive indépendante du vecteur U = Ul , … , Ud distribué uniformément sur la sphère dans }Rd de rayon unitaire. La copule elliptique associée correspond à la loi conjointe de.

La pseudo-vraisemblance complète pour les copules

Considèrons une variable aléatoire X définie sur un espace probabiliste (D, T, P) ainsi qu’un vecteur de réalisations Xl, … ) Xn indépendantes.

Table des matières

Remerciements 
Table des matières
1 Théorie des copules
1.1 Sur les lois multivariées en général
1.1.1 Fonctions de répartitions univariées
1.1.2 Fonctions de répartitions bivariées
1.1.3 Vecteurs aléatoires d-dimensionnels
1.2 Théorème de Sklar et copules
1.2.1 Définition d’une copule
1.2.2 Extraction de la copule d’une loi bivariée
1.2.3 Copules de survie
1.2.4 Extension multidimensionnelle
1.3 Mesures de concordance
1.4 Dépendance codale
2 Modèles de copules à d = 2 et d > 2 dimensions
2.1 Trois copules particulières
2.1.1 Copule d’indépendance
2.1.2 Bornes de Fréchet- Hoeffding
2.2 Copules Archimédiennes
2.3 Copules à valeurs extrêmes
2.4 Copules Archimax
2.5 Copules elliptiques
2.5.1 Copule Normale
2.5.2 Copule de Student
2.5.3 Généralisation des copules Normale et Student
2.6 Copules asymétriques de Khoudradji
2.6.1 Cas bidimensionnel
2.6.2 Cas tridimensionnel
2.7 Copules de Farlie- Gumbel- Morgenstern
3 Estimation des paramètres d’une copule 
3.1 Rappel sur l’estimation par maximum de vraisemblance
3.2 La pseudo-vraisemblance complète pour les copules
3.3 Les vraisemblances composites et par paires
3.4 Une nouvelle méthode de pseudo-vraisemblance par paires pour les copules multidimensionnelles
3.4.1 Idée générale
3.4.2 Cas particulier des copules Khi-deux
3.4.3 Cas particulier des copules de Clay ton
3.4.4 Cas particulier des copules de Frank
3.4.5 Cas particulier des copules de Khoudraji
Conclusion
Bibliographie

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