Théorème de Cauchy-Lipschitz

Théorème de Cauchy-Lipschitz

Exemple d’application 

Problème de l’oscillateur harmonique Présentation du problème : Considérons une masse ponctuelle m, astreinte à se déplacer le long d’un axe (Ox), attachée à un ressort (voir FIGURE 3.2). La masse ponctuelle est alors attirée vers l’origine par une force que l’on suppose égale à −k(x − l)~i où l est la longueur du ressort au repos, et k est le coefficient de raideur. On applique à cette masse ponctuelle une force extérieure horizontale u(t)~i. Les lois de la physique nous donnent l’équation du mouvement, m¨x(t) + k(x(t) − l) = u(t). (3.21) De plus on impose une contrainte à la force extérieure, |u(t)| _ 1.Cela signifie qu’on ne peut pas appliquer n’importe quelle force extérieure horizontale à la masse ponctuelle : le module de cette force est borné, ce qui traduit le fait que notre puissance d’action est limitée et rend ainsi compte des limitations techniques de l’expérience. Supposons que la position et la vitesse initiales de l’objet soient x(0) = x0, x˙ (0) = y0. Le problème est d’amener la masse ponctuelle à la position d’équilibre x = l en un temps minimal en contrôlant la force externe u(t) appliquée à cet objet, et en tenant compte de la contrainte |u(t)| _ 1. La fonction u(·) est le contrôle. Des conditions initiales étant données, le but est donc de trouver une fonction u(t) qui permet d’amener la masse ponctuelle à sa position d’équilibre en un temps minimal.

Résolution théorique du problème :

Appliquons la théorie précédente à l’exemple de l’oscillateur. Nous avons vu qu’il existe des contrôles permettant de relier X0 à 0 (Exemple 2.3). On cherche maintenant à le faire en temps minimal. D’après le théorème 3.7 on a u(t) = signe[B(t)>p(t)] où p(t) 2 R2 est solution du système adjoint p˙(t) = −A>(t)p(t). La trajectoire optimale de X0 à 0 doit donc suivre alternativement un arc de cercle centré en (−1, 0), et un arc de cercle centré en (1, 0). Quitte à changer t en −t, nous allons raisonner en temps inverse, et construire la trajectoire optimale menant de 0 à X0. Pour cela, nous allons considérer toutes les trajectoires optimales partant de 0, et nous sélectionnerons celle qui passe par X0. En faisant varier p(0), on fait varier la trajectoire optimale. En effet, d’après le théorème de Cauchy-Lipschitz, p(0) détermine p(t) pour tout t, ce qui définit un contrôle optimal u(t), et donc une trajectoire optimale. Prenons des exemples pour commencer à représenter l’allure des trajectoires optimales possibles.

• Pour tout autre choix de p(0) tel que p2(0) > 0, la trajectoire optimale correspondante part de l’origine en suivant ?+ jusqu’à ce que p2(t) = 0. Au-delà de ce point, p2(t) change de signe, donc le contrôle commute et prend la valeur −1, pendant une durée _ (i.e. jusqu’à ce que p2(t) change à nouveau de signe). La trajectoire optimale doit alors être solution de (3.24), en partant de ce point de commutation M, et doit donc suivre un arc de cercle centré en (−1, 0), pendant un temps _. C’est donc un demi-cercle, vu la paramétrisation des courbes de (3.24) (voir FIGURE 3.4). La trajectoire optimale rencontre un deuxième point de commutation N lorsque à nouveau p2(t) change de signe. On remarque queM et N sont symétriques par rapport au point (−1, 0) (en effet ce sont les extrémités d’un demi-cercle centré en ce point). Le point M appartenant au demi-cercle ?+, le point N appartient au demi-cercle image de ?+ par la symétrie par rapport au point (−1, 0) qui est aussi, comme on le voit facilement, le translaté à gauche de ?− par la translation de vecteur (−2, 0). • Poursuivons alors notre raisonnement. On se rend compte que les points de commutation de cette trajectoire optimale partant de 0 sont situés sur la courbe W construite de la manière suivante : W est l’union de tous les translatés à gauche de ?− par la translation précédente, et aussi de tous les translatés à droite de ?+ (voir FIGURE 3.5).

La méthode de la discrétisation totale

C’est la méthode la plus évidente lorsqu’on aborde un problème de contrôle optimal. En discrétisant l’état et le contrôle, on se ramène à un problème d’optimisation non linéaire en dimension finie de la forme : L’ensemble C représente les conditions initiales, finales du système, les contraintes sur la solution du système et les contraintes sur le contrôle. F est la fonction à optimiser. Dans le cas du problème en temps minimal, on cherche à minimisé le temps final alors on prend F(Z) = tf . De plus, dans notre cas où le temps final tf n’est pas connu, on rajoute une variable tf au vecteur Z et une équation supplémentaire tf _ 0 à l’ensemble de contraintes C. On se ramène à résoudre un problème d’optimisation non linéaire sous contraintes (4.1). Ce problème peut être résolu par exemple par la méthode de SQP ou par une méthode de pénalisation. En résumé, il existe une infinité de variantes pour les méthodes directes selon le choix de l’approximation du contrôle sur chaque subdivision du temps, le choix de la méthode d’intégration de l’équation différentielle, et le choix de la méthode de la discrétisation de l’équation différentielle.

Conclusion et perspectives

Dans ce travail, nous avons considéré une classe des systèmes de contrôle linéaire en dimension finie. Nous avons étudié la contrôlabilité et quelques testes de contrôlabilité dans le cas stationnaire et dynamique ; sans contraintes et avec contraintes. Ensuite, nous avons étudié le problème de contrôle optimal minimisant un coût quadratique qui a une grande importance dans les problèmes de stabilisation. Ainsi que le problème de contrôle en temps minimal, nous avons déterminé la forme du contrôle minimisant en utilisant le principe de maximum de Pontryagin et le principe de Bang- Bang. L’application de ses résultats est réalisé sur le problème d’oscillateur harmonique. Ensuite, nous avons étudié deux méthodes numériques pour résoudre numériquement le problème de control en temps minimal ; la méthode de la discrétisation totale et la méthode de tir simple. Numériquement, on peut trouver le temps minimal et le contrôle minimisant en utilisant les méthodes précédentes. Une application a été effectuée pour la résolution numérique du problème d’oscillateur harmonique. Enfin, nous avons étudié la stabilité des systèmes homogènes, ainsi que les types de stabilisation par feedback linéaire des systèmes contrôlés.

Dans un premier lieu, nous avons présenté les résultats de stabilisation dans le cas stationnaires ainsi que celle donnant la forme du feedback stabilisant, nous avons prouvé que la notion de stabilisation est fortement liée à la notion de contrôlabilité. Dans un second lieu, nous avons étudié la stabilisation des systèmes dynamiques et leur rapport avec la Grammienne de contrôlabilité et le contrôle optimale et l’équation de Riccati. Nous avons aussi simulé l’équation de Riccati par la méthode d’intégration directe dans le bute de donner la forme du contrôle minimisant un coût quadratique. Nombreuses sont les classes des systèmes contrôlés sur lesquelles nous pouvant étudier la contrôlabilité et la stabilisation, dans le présent travail on a étudié les systèmes linéaires en dimension finie. En analysant avec profondeur le contenu de ce traité des questions naturelles à regarder, sont directement menées à l’esprit : 1. Continuer à généraliser les testes et les méthodes de contrôlabilité pour les systèmes linéaires en dimension infini et les systèmes bilinéaires ainsi que les systèmes semi-linéaires. 2. L’étude de stabilisation des systèmes bilinéaires en dimension finie et infini.

Table des matières

Introduction générale
1 Généralités
1.1 Rappels d’algèbre linéaire
1.1.1 Exponentielle de matrice .
1.1.2 Réduction des endomorphismes
1.2 Rappels d’analyse convexe
1.2.1 Ensembles convexes
1.2.2 Hyperplan d’appui
1.3 Théorème de Cauchy-Lipschitz
1.3.1 Un énoncé général
1.3.2 Systèmes différentiels linéaires
1.4 Rappels d’analyse fonctionnelle
2 Contrôlabilité
2.1 Introduction
2.2 Notions de contrôlabilité
2.3 Topologie des ensembles accessibles et principe Bang-Bang .
2.4 Contrôlabilité des systèmes stationnaire
2.4.1 Cas sans contraintes sur le contrôle
2.4.1.1 Test de Kalman
2.4.1.2 Test de Hautus
2.4.1.3 Contrôlabilité et inégalité d’observabilité .
2.4.2 Cas avec contraintes sur le contrôle
2.4.2.1 Caractérisation de la nulle contrôlabilité local .
2.4.2.2 Caractérisation de la nulle contrôlabilité global
2.5 Contrôlabilité des systèmes dynamiques
2.5.1 Test sur la Grammienne de contrôlabilité
2.5.2 Test CHENG
2.5.3 L’approche « HUM »
2.6 Conclusion
3 Contrôle optimal
3.1 Introduction
3.2 Problème linéaire quadratique
3.3 Contrôle en temps minimal
3.3.1 Existence de contrôle en temps minimal
3.3.2 Unicité du contrôle en temps minimal
3.3.3 Condition nécessaire d’optimalité : Principe du maximum de Pontryagin
3.3.4 Forme du contrôle en temps minimal
3.3.5 Exemple d’application : Problème de l’oscillateur harmonique
3.4 Conclusion
4 Méthodes numériques en contrôle optimal
4.1 Introduction
4.2 La méthode de la discrétisation totale
4.3 La méthode de tir simple
4.4 Mise en oeuvre des méthodes numériques
4.5 Simulation des Méthodes
4.6 Résolution numérique du problème d’oscillateur harmonique
4.7 Conclusion
5 Stabilité et stabilisation
5.1 Introduction
5.2 Stabilité des systèmes linéaires
5.2.1 Stabilité des systèmes linéaires dynamiques
5.2.2 Stabilité des systèmes linéaires stationnaires
5.3 Stabilisation des systèmes stationnaire par feedback linéaire
5.3.1 Théorème de placement de pôles
5.3.2 Grammienne de contrôlabilité et Stabilisation
5.3.3 Stabilisation exponentielle par un feedback
5.4 Stabilisation des systèmes dynamique par feedback linéaire . .
5.4.1 Fonction valeur de Bellman et équation de Riccati
5.4.2 Résolution numérique de l’équation de Riccati par la méthode d’intégration directe
5.4.3 Grammienne de contrôlabilité, contrôle optimal et Stabilisation
5.5 Conclusion
Conclusion et perspectives
Annexe
Bibliographie

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