Tests statistiques appliqués à la détection de modes d’oscillation individuels 

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Forme des fonction propres

Le but n’est pas ici de donner un développement complet des équations des oscillations, qui peut être trouvé dans de nombreux ouvrages (voir e.g. Unno et al. 1989, Christensen-Dalsgaard 2003) mais de faire ressortir les caractéristiques principales des modes d’oscillations. On insiste en particulier sur les aspects liés aux problèmes abordés dans ce travail. Les équations 2.1  2.5 sont fortement non linéaires en les différentes grandeurs qui décrivent le milieu. Toutefois, dans la plupart des stades évolutifs de l’étoile, celle-ci évolue selon le temps caractéristique des réactions nucléaires qui est généralement grand devant le temps d’établissement de l’équilibre thermodynamique et devant le temps qu’il faut pour assurer un équilibre énergétique. On peut alors considérer l’étoile comme étant à tout moment en équilibre hydrostatique et énergétique, ce qui simplifie grandement les choses.
En effet, on peut alors traiter les oscillations de l’étoile comme de petites perturbations de cet équilibre, autour duquel on linéarise le système d’équations 2.1 à 2.5. Ces équations sont complétées par des équations d’états thermodynamiques qui permettent de fermer le système. On obtient un système d’équations aux dérivées partielles homogènes et linéaires en les per-turbations, dont les coefficients dépendent seulement des quantités d’équilibre (ρ(r), p(r)…) et sont donc indépendantes du temps. On peut alors séparer la dépendance en temps et en les coordonnées spatiales pour les perturbations. On obtient par exemple pour le déplacement radial ξr ξr(t, r, θ, ϕ) = ξr(r, θ, ϕ)eiωt (2.6).
Il est à noter que ω est a priori complexe. On réécrit les équations en prenant en compte la dépendance temporelle des perturbations. Dans le système obtenu, les dérivations par rapport aux angles θ et ϕ ne sont pas couplées aux dérivations par rapport à la coordonnée radiale et apparaissent exclusivement sous la forme de l’opérateur ∇2⊥ aussi connu sous le nom d’opé-rateur de Legendre, et défini comme la partie horizontale de l’opérateur Laplacien, i.e. en coordonnées sphériques = (sin θ ) + r2 sin θ ∂θ ∂θ r2 sin2 θ ∂ϕ2 ∇⊥2 1∂ ∂ 1 ∂2 (2.7).

Approximation asymptotique

Pour déterminer les fréquences des modes propres d’une étoile, on a généralement re-cours à une résolution numérique des équations des oscillations. On peut aussi calculer ces fréquences analytiquement en utilisant une méthode asymptotique (voir Tassoul 1980, Unno et al. 1989). Les fréquences ainsi obtenues ne sont valables que pour des ordres radiaux élevés, mais l’obtention d’une expression analytique des fréquences permet de dégager les principales caractéristiques des modes de pression et de gravité. De plus, pour les oscillations de type solaire, c’est le temps caractéristique de la convection dans la zone super-adiabatique de l’en-veloppe qui sélectionne les modes excités. Or, celui-ci correspond généralement aux périodes de modes d’ordres radiaux relativement élevés (n > 10 pour les étoiles présentées dans ce travail de thèse). La méthode consiste à repartir du système d’équations adiabatiques dans l’approximation de Cowling (Eq. 2.11 et 2.12), de déterminer asymptotiquement la forme des fonctions propres entre deux points tournants consécutifs, et de raccorder ensuite ces tronçons.
Approximation asymptotique des modes p Pour les modes de pression, Tassoul (1980) obtient que la fréquence d’un mode d’ordre radial n (élevé) et de degré ℓ est approximée au second ordre par l’expression 2 4π2νn,ℓ νn,ℓ ≃ n′ + ℓ + ǫ + L2V1 + V2 Δν (2.18).

Profil des modes de type solaire dans le spectre

Les oscillations de type solaire sont excitées stochastiquement par les mouvements convec-tifs dans l’enveloppe extérieure et sont intrinsèquement amorties (Goldreich & Keeley 1977, Kumar et al. 1988). Les modes ont donc un temps de vie fini et, contrairement aux modes des pulsateurs classiques, ils ont un profil élargi dans le spectre de puissance. On cherche à établir la forme de ce profil. Batchelor (1953) propose pour cela de considérer que le déplacement x(t) répond à l’équation d’un oscillateur amorti forcé par une fonction f (t) aléatoire. On a alors dt2 dt d2x + 2η dx + ω02x = f (t) (3.1).
où η est le taux d’amortissement, ω0 la pulsation propre du mode et f (t) la fonction excitatrice. La transformée de Fourier de l’Eq. 3.1 s’écrit en fonction de la transformée de Fourier de x(t) notée X(ω) ≡ x(t)eiωt dt et de celle de la fonction excitatrice F (ω) ≡ f (t)eiωtdt. On a alors F (ω)ω2 − ω2 + 2iωη 0 X(ω) = (3.2).
L’amortissement est généralement faible comparé à la pulsation du mode. Par conséquent, dans l’intervalle de fréquence où la transformée de Fourier est non nulle, la pulsation ω est proche de la pulsation propre ω0. Dans ce cas, la transformée de Fourier de la fonction propre peut alors être approximée comme 2ω0(ω0 − ω + iη) X(ω) ≃ F (ω) (3.3).

Statistique du spectre d’oscillation

Comme les modes sont excités par un grand nombre d’éléments convectifs, on peut consi-dérer que la fonction de forçage est aléatoire et suit donc une distribution normale. De ce fait, la partie réelle et la partie imaginaire de la transformée de Fourier de la fonction de forçage F (ω) suivent aussi une distribution normale. Les valeurs pour différentes réalisations du spectre de puissance P (ν) = ℜe[X(ν)]2 + ℑm[X(ν)]2 suivent donc une statistique de χ2 à deux degrés autour du profil Lorentzien moyen obtenu dans la section précédente. Woodard (1984) a montré que les observations sismiques du Soleil sont compatibles avec cette distribu-tion. La Fig. 3.1 montre une simulation du spectre d’un mode d’oscillation. La connaissance de la statistique que suivent les bins du spectre est cruciale et servira par la suite à évaluer la significativité des modes dans le spectre (Chap. 4) et à déterminer leurs caractéristiques (Chap. 5).

Cas d’observations non continues

On a jusqu’ici considéré que la cible était observée de façon continue et pendant un temps infini. Bien entendu, la série temporelle est en réalité échantillonnée par le pas de temps δt entre deux mesures. Par le théorème de Shanon, on obtient que la fréquence maximale détectable dans ces conditions est de νmax = 1/(2δt). De plus, on observe pendant un temps fini ΔT . La résolution fréquentielle du spectre résultant correspond à l’inverse du temps d’observation. Les bins du spectre sont alors espacés de δν = 1/ΔT . On peut ici anticiper sur la suite de l’analyse et remarquer qu’il existera deux cas différents lors de l’étude d’un spectre d’oscillation :
• la résolution fréquentielle est petite devant la largeur du mode (δν ≪ ). Ceci revient à dire que la durée d’observation est grande devant la durée de vie du mode (ΔT ≫ τ ). Dans ce cas, le mode est résolu et il se répartit sur un grand nombre de bins dans le spectre de puissance. Le mode a dans ce cas, comme on vient de le montrer, un profil Lorentzien. On note que ce profil n’apparaît clairement que si le mode a été excité un grand nombre de fois au cours des observations (voir Anderson et al. 1990 pour plus détails sur ce point).
• la résolution fréquentielle est de l’ordre de grandeur ou plus grande que la largeur du mode (δν > ). Ceci signifie que l’on observe pendant un temps inférieur à la durée de vie du mode. Dans ce cas, toute l’énergie du mode se concentre sur un seul bin. On dit que le mode n’est pas résolu. Son comportement est alors semblable à celui d’un mode de durée de vie infinie et sa signature dans le spectre de puissance se rapproche d’un sinus cardinal quand δν ≫ .
On reviendra plus loin sur l’importance de cette distinction dans la détermination des carac-téristiques des modes.
La durée d’observation finie a donc pour conséquence d’imposer une résolution fréquen-tielle. D’autres effets perturbateurs sont à prévoir si les observations présentent des interrup-tions. C’est le cas pour les observations au sol en site unique qui doivent s’interrompre dans la journée. Le signal x(t) que l’on observe peut alors s’écrire comme le produit du signal x˜(t) que l’on aurait si l’objet était observé pendant un temps infini par une fonction masque qui correspond à la fenêtre d’observation w(t), i.e. x(t) = x˜(t) × w(t). Comme le passage dans le domaine de Fourier transforme un produit en convolution, la transformée de Fourier du signal observé est X(ν) = X(ν) ∗ W (ν), où X(ν) et W (ν) sont les transformées de Fourier de x˜ et w respectivement. Chaque pic dans le spectre de puissance apparaîtra donc convolué par la transformée de Fourier de la fenêtre, et on comprend la nécessité d’étudier W (ν) avant d’analyser les données.

Application aux pulsateurs de type solaire étudiés

J’ai appliqué ce type de méthode sur les pulsateurs de type solaire analysés lors de mon travail de thèse. Pour les objets observés avec CoRoT, les modes sont résolus et on a préféré travailler sur le spectre binné ou lissé. Le pulsateur HD 203608 a été observé au sol pendant cinq nuits (avec le spectrographe harps) et les modes ne sont donc pas résolus. On a donc travaillé sur le spectre brut pour cet objet (voir Chap. 8). Pour appliquer les méthodes que l’on vient de décrire à l’évaluation de la significativité des pics dans le spectre d’une étoile, on procède de la façon suivante :
1. On commence par estimer le niveau de bruit moyen (bruit blanc + composante de fond stellaire, voir 5.2.1). On normalise ensuite le spectre par le niveau de bruit obtenu.
2. On établit ensuite l’intervalle de fréquence où l’on attend des modes d’oscillations. On l’obtient à partir de l’estimation des paramètres fondamentaux de l’étoile, et aux lois d’échelle proposées par Kjeldsen & Bedding (1995).
3. Si les modes sont résolus, on binne ou on lisse le spectre. On choisit la taille du médaillon de l’ordre de la largeur des modes (une première estimation de la largeur peut être obtenue visuellement si certains modes se distinguent clairement du bruit, ou en se référant à d’autres objets de paramètres fondamentaux proches).
4. On se donne une probabilité de fausse alarme p.
5. Si les modes sont non résolus (resp. résolus), le seuil xp correspondant à p est recherché comme la solution de l’Eq. 4.21 (resp. l’Eq. 4.30). Si on travaille sur le spectre lissé, le seuil est calculé par une méthode de Monte Carlo décrite dans la Sect. 4.1.2.1.

approche fréquentiste : le test H0

Illustration avec HD 49385 On compare ici le résultat des trois approches que l’on vient de décrire (spectre brut, spectre binné, spectre lissé) appliquées au pulsateur HD 49385. L’étoile a été observée avec le satellite CoRoT pendant 137 jours. On a donc une résolution fréquentielle d’environ 0.08 Hz petite devant la largeur des modes qui sont a priori résolus. Pour les spectres binné et lissé, on choisit un médaillon de taille 1 Hz (estimation première de la largeur des modes). Les résultats sont présentés sur la Fig. 4.5 en utilisant la représentation sous forme de diagramme échelle introduite dans le Chap. 2. On observe que trois pics désignés comme π2, π3 et π4 (ces pics sont discutés dans Deheuvels et al. 2010a, voir Chap. 7) sont repérés comme étant significatifs avec une valeur-p inférieure à 5% sur le spectre lissé alors qu’ils ne le sont pas sur le spectre brut. Dans le cas du spectre binné, on voit sur la Fig. 4.5 que les pics trouvés significatifs dépendent du choix que l’on a fait pour la position du bin que l’on conserve dans le médaillon. En effet, pour une valeur de k dans l’Eq. 4.29, les trois pics sont détectés, alors qu’ils n’apparaissent pas pour une autre valeur de k. Ceci est à rapprocher des oscillations observées dans la probabilité de détection pour le spectre binné sur la Fig. 4.3. On insiste sur le fait que les différents cas présentés sur la Fig. 4.5 ont pour seul but d’illustrer l’impact du choix d’une approche. Dans la pratique, on choisit une approche (et une seule) au préalable ainsi qu’une valeur de k si on travaille sur le spectre binné. En effet, si plusieurs méthodes sont appliquées,

Limites du test H0

Le test H0 tire parti de la connaissance que l’on a de la statistique du bruit. Il permet de n’avoir en apparence aucune hypothèse à faire sur le signal que l’on recherche. Cependant, il a été montré que les résultats de ce test doivent être prises avec précautions.
Plusieurs études ont pointé du doigt les erreurs d’interprétation auxquelles le test H0 peut mener. En effet, on a tendance à considérer une faible valeur-p comme une indication solide que l’hypothèse H0 est fausse. En réalité, il existe des cas où ce n’est pas vrai. De nombreux auteurs parmi les statisticiens (e.g. Berger & Sellke 1987, Sellke et al. 2001) se sont penché sur le problème et ont tiré le signal d’alarme. Cet avertissement a ensuite été relayé dans les nombreux domaines où ce type de raisonnement est utilisé. On se propose d’expliquer cette mauvaise interprétation possible dans l’étude d’un spectre d’oscillation, et dans quelle mesure les valeurs-p peuvent être utilisées pour rejeter l’hypothèse H0.
Le problème que pose le test H0 peut être décrit très simplement. En recherchant une région où la valeur-p est faible, on s’assure que sur un grand nombre de réalisations de bruit pur, peu d’entre elles se trouveraient dans cette région. Mais on ne sait alors rien sur la proportion de réalisations de signal qui se trouveraient dans cette région. Le mieux pour se rendre compte des problèmes qui peuvent découler de cette ignorance est de prendre un exemple simple. Supposons que l’on a obtenu une réalisation d’un bin individuel du spectre de puissance et que l’on cherche à déterminer s’il est plus probable qu’il s’agisse de bruit (H0) ou de signal (H1). Pour simplifier, on se met dans le cas particulier où on connaîtrait au préalable la hauteur du mode que l’on recherche (par exemple h = 2). Si l’on reprend les définitions des hypothèses données par les Eq. 4.2 et 4.3, cela revient à trancher entre c = 1 (H0) et c = 1 + h = 3 (H1). Supposons que la valeur observée pour ce bin est de sobs = 3.0. On obtient la valeur-p correspondante avec l’Eq. 4.15, qui vaut ici p = 5%, a priori faible et qui pourrait pousser l’observateur à rejeter l’hypothèse H0. On peut alors effectuer une expérience très simple pour juger s’il aurait raison ou tort de le faire. On génère un grand nombre de réalisations aléatoires en suivant soit la statistique du bruit, soit la statistique du signal. On suppose ici que la probabilité d’avoir du signal est de 50% ; à chaque itération, on décide donc « à pile ou face », en quelque sorte, de générer du bruit ou du signal, et on garde en mémoire de quelle hypothèse chaque itération dépend. Il est alors possible d’évaluer, pour toutes les réalisations obtenues au voisinage de sobs, la probabilité qu’elles aient été générées par du bruit, c’est-à-dire sous l’hypothèse H0. Les résultats de cette expérience sont donnés dans le Tableau 4.1 pour un total de 106 itérations. On observe que environ 29% des réalisations qui tombent dans le voisinage de sobs sont en réalité générées pas du bruit. Un observateur qui conclurait, au vu de la faible valeur-p des observations (5%), qu’il a affaire à du signal, aurait en fait presque 3 chances sur 10 de se tromper ! On comprend alors bien le problème posé par le test H0. En conservant seulement les observations qui présentent une faible valeur-p, on s’assure que celles-ci sont peu compatibles avec la statistique du bruit. Mais il se peut très bien que ces observations soient tout aussi incompatibles avec la statistique du signal attendu. Dans ce cas, ces réalisations sont rares, mais quand on en obtient, elles ont tout autant de chance d’avoir été créées par du bruit que par du signal. On va voir dans ce qui suit qu’on peut retrouver par le calcul le résultat de cette expérience préliminaire simple.

Approche bayésienne

Le test H0 repose sur le calcul de la probabilité P (s | H0). Cette probabilité est appelée probabilité a priori, dans le sens où elle ne dépend pas des observations. En réalité, ce qui intéresse l’observateur est la probabilité que l’on ait affaire à du bruit sachant qu’il a observé une certaine réalisation s de la variable S, c’est-à-dire la probabilité dite a posteriori P (H0 | s). En utilisant la propriété que pour deux assertions A et B, on a P (A | B)P (B) = P (A ∪ B), on obtient P (H0 | s) = fS (s | H0) P (H0) (4.34).

Utilisation du diagramme échelle

Le développement des fréquences des modes dans le cadre de l’approximation asympto-tique a permis de montrer que les modes d’oscillations de type solaire sont caractérisés par un certain nombre d’équidistances (voir Chap. 2). On en tire un schéma typique des modes de type solaire qui, s’il apparaît clairement dans la représentation en diagramme échelle du spectre, facilite l’identification du degré des modes. On décrit brièvement ce schéma.
D’après le Tableau 2.1, on s’attend à ce que les crêtes des modes radiaux et des modes ℓ = 1 soient espacées approximativement d’une demi-grande séparation. D’autre part, on doit avoir νn,0 − νn−1,2 ≃ 6D0. On rappelle que la quantité D0 varie comme D0∝− dc dr Or la vitesse du son est généralement une fonction décroissante du rayon, de sorte que l’on a D0 > 0. Il en résulte que si l’approximation asymptotique est légitime, la crête des modes de degré ℓ = 2 se trouve sur la gauche de celle des modes radiaux dans le diagramme échelle et les deux crêtes sont espacées de 6D0. Comme on a généralement D0 ≪ Δν, les deux crêtes sont voisines. De même, on doit avoir νn,1 − νn−1,3 ≃ 10D0 et on s’attend donc à ce que la crête des modes de degré ℓ = 3 soit voisine de celle des modes ℓ = 1 et située sur sa gauche.
À ce stade, il est toujours possible de confondre la paire des modes de degrés pairs avec celle des modes de degrés impairs. Cependant, on verra dans la Sect. 5.2.5 que les modes de degrés ℓ = 1, 2 et 3 ont des amplitudes qui correspondent respectivement à 1.5, 0.5 et 0.05 fois celle des modes radiaux. Les modes ℓ = 3 ont donc une amplitude 10 fois plus petite que les modes ℓ = 2 et même s’ils sont visibles, ils ne peuvent pas être confondus avec des modes ℓ = 2. Si la crête des modes ℓ = 2 se distingue clairement de celle des modes radiaux, l’identification ne pose normalement pas de problème. C’est le cas par exemple pour le pulsateur HD 52265 dont le diagramme échelle est représenté sur la Fig. 5.1.
Cependant, l’analyse des premiers pulsateurs de type solaire observés avec le satellite Co-RoT a montré que si l’identification des modes à partir du diagramme échelle est immédiate pour certaines cibles, ce n’est toutefois pas la norme. Plusieurs facteurs peuvent mener à des spectres ambigus et ardus à interpréter. On décrit les principaux obstacles à l’identification visuelle rencontrés lors de ce travail de thèse.

Table des matières

1 Contexte 
1.1 Pulsateurs de type solaire et sismologie
1.1.1 Le cas du Soleil
1.1.2 Du Soleil aux étoiles
1.1.3 L’ère spatiale
1.2 Axes de travail et organisation de la thèse
2 Quelques aspects de la théorie des oscillations non radiales 
2.1 Équations de l’hydrodynamique
2.2 Forme des fonction propres
2.3 Piégeage des modes
2.4 Approximation asymptotique
I Analyse des spectres d’oscillation de type solaire 
3 Caractéristiques du spectre d’oscillation 
3.1 Profil des modes de type solaire dans le spectre
3.2 Statistique du spectre d’oscillation
3.3 Cas d’observations non continues
4 Tests statistiques appliqués à la détection de modes d’oscillation individuels 
4.1 Approche fréquentiste : le test H0
4.1.1 Modes non résolus
4.1.2 Modes résolus
4.1.3 Application aux pulsateurs de type solaire étudiés
4.1.4 Limites du test H0
4.2 Approche bayésienne
4.2.1 Modes non résolus
4.2.2 Modes résolus
4.2.3 Application aux pulsateurs de type solaire étudiés
5 Extraction des paramètres des modes de type solaire 
5.1 Identification préalable du degré des modes
5.1.1 Utilisation du diagramme échelle
5.1.2 Autres approches envisagées
5.2 Modèle de spectre d’oscillation
5.2.1 Composante de fond stellaire
5.2.2 Splitting rotationnel
5.2.3 Angle d’inclinaison
5.2.4 Largeurs des modes
5.2.5 Hauteurs des modes
5.3 Ajustement du modèle de spectre aux observations
6 Analyse du pulsateur HD 181420 observé avec CoRoT 
6.1 HD 181420, une étoile de séquence principale plus chaude que le Soleil
6.2 Présentation des résultats
7 Analyse du pulsateur HD 49385 observé avec CoRoT 
7.1 HD 49385, une étoile de type G évoluée
7.2 Présentation des résultats
8 Analyse du pulsateur HD 203608 observé avec HARPS 
8.1 HD 203608, une étoile vieille de faible masse
8.2 Présentation des résultats
9 Cas des pulsateurs à faible rapport signal-à-bruit 
9.1 Méthode d’autocorrélation du spectre de puissance
9.2 Méthode d’autocorrélation de la série temporelle
9.3 Application aux pulsateurs de type solaire observés avec CoRoT : HD 181906, HD 175726 et HD 46375
9.4 Détection d’oscillations de type solaire dans une étoile massive
II Modélisation et interprétation sismique 
10 Modèles stellaires et problématique liée à la description des coeurs convectifs 
10.1 Structure et évolution stellaire : le code CESAM2k
10.1.1 Équations de l’évolution stellaire
10.1.2 Transport de l’énergie dans l’étoile
10.1.3 Résolution des équations
10.2 Quelques aspects théoriques des coeurs convectifs
10.2.1 Existence et évolution du coeur convectif
10.2.2 Interface entre le coeur convectif et la zone radiative
10.2.3 Effets de la diffusion microscopique
11 Calcul des oscillations et pertinence des indices sismiques 
11.1 Résolution des équations des oscillations : le code LOSC
11.2 Utilisation des fréquences propres pour contraindre les modèles
11.3 Signature sismique des coeurs convectifs
11.3.1 Effets de variations rapides de la vitesse du son
11.3.2 Modes mixtes en croisement évité
12 Recherche d’un modèle optimal
12.1 Critère de comparaison entre modèles et observations
12.2 Méthodes d’optimisation
12.2.1 Calcul du gradient et de la matrice Hessienne
12.2.2 Grille de modèles
12.2.3 Méthode de Levenberg-Marquardt
12.2.4 Cas d’observables corrélées
13 Estimation des paramètres stellaires de HD46375 157
13.1 HD 46375, un Soleil jeune à planète
13.2 Modélisation de l’étoile
14 Mise en évidence d’un mélange à la frontière du coeur convectif dans HD 49933 167
14.1 Choix de contraintes observationnelles
14.1.1 Paramètres fondamentaux
14.1.2 Contraintes sismiques
14.1.3 Critère de comparaison entre modèles et observations
14.2 Modélisation pour l’identification Id1
14.2.1 Contraintes sismiques pour l’identification Id1
14.2.2 Recherche d’un modèle optimal
14.3 Modélisation pour l’identification Id2
14.3.1 Contraintes sismiques pour l’identification Id2
14.3.2 Recherche d’un modèle optimal
14.4 Conclusion et perspectives
15 Survie du coeur convectif initial dans le pulsateur de faible masse HD 203608 
15.1 Apports de l’analyse de l’étoile
15.2 Le coeur de l’étoile est mal décrit par les modèles standards
15.3 L’étoile HD 203608 a-t-elle un coeur convectif ?
15.4 Survie du coeur
15.5 Conclusion et perspectives
16 Contraintes sur le gradient de composition chimique au coeur de HD 49385 189
16.1 Apports de l’analyse
16.2 Statut évolutif de HD 49385
16.2.1 Modèles de séquence principale
16.2.2 Modèles post séquence principale
16.3 Contraintes sur le coeur apportées par le croisement évité
16.3.1 Fréquence à laquelle se produit le croisement évité
16.3.2 Courbure de la crête des modes ℓ = 1
16.4 Perspectives
17 Conclusions et perspectives 
17.1 Synthèse .
17.2 Perspectives
17.2.1 Prochaines cibles CoRoT
17.2.2 Automatisation de l’extraction des paramètres des modes de type solaire
17.2.3 Modélisation des pulsateurs présentant des croisements évités
17.2.4 Les grands projets d’observation sol
17.2.5 Les missions spatiales futures
Bibliographie 

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