Techniques de maillage pour des geometries complexes

Le code FORGE2® a été développé dans le but de modéliser le forgeage de pièces à chaud (version viscoplastique) et à froid (version élastoplastique). La complexité de la modélisation du forgeage (lois de comportement complexes, grandes déformations, remaillage automatique, résolution non-linéaire, …) a conduit le CEMEF à développer de nombreuses techniques numériques fiables et performantes. Certaines de ces techniques nous paraissent très intéressantes pour modéliser des applications mécaniques différentes de celles rencontrées en mise en forme des matériaux.

La modélisation de la propagation de fissures que nous proposons dans les chapitres suivants nécessite notamment des techniques de maillage et de remaillage complexes. Les techniques introduites dans le code FORGE2 multimatériaux afin de pouvoir gérer plusieurs sous-domaines et donc plusieurs contours de maillage, sont d’une grande souplesse et s’avèrent très intéressantes pour la modélisation de la propagation de fissures. Dans ce chapitre nous nous proposons, de présenter le code FORGE2 Multimatériaux, et plus particulièrement ses caractéristiques multi domaines et multi-matériaux.

Les équations de la mécanique pour un matériau élastoviscoplastique 

Le code FORGE2 Multimatériaux possède une version viscoplastique [Magny 1996]. Dans le cadre de notre étude, nous avons développé une version élasto-viscoplastique que nous présentons dans les paragraphes suivants. La résolution d’un problème mécanique par éléments finis s’appuie sur différentes équations : les équations d’équilibre qui constituent la base du problème et la loi de comportement définissant le matériau étudié. Nous présenterons également l’écriture en déviateur que nous utilisons pour décomposer les contraintes et les déformations en une partie sphérique et déviatorique. La formulation faible (ou intégrale) du problème, obtenue grâce au Principe des Puissances Virtuelles (PPV), exprime la condition nécessaire pour minimiser l’énergie (équations d’Euler). Le problème, ainsi défini sous forme intégrale, est ensuite discrétisé et résolu par la méthode des éléments finis. Les équations qui vont suivre étant pour la plupart bien connues, nous ne rentrerons pas dans les détails, mais pour plus de précision le lecteur pourra se référer à [Bellet 1994], [Chenot 1994] et [Montmitonnet 1994].

Les équations d’équilibre

L’équilibre en rotation et en translation d’un petit volume élémentaire permet de montrer la symétrie du tenseur des contraintes σ, et de formuler les équations d’équilibre. En négligeant les forces volumiques appliquées au système (inertie, gravité), ces équations s’écrivent :

div(σ ) = 0 sur Ω , où σ est le tenseur des contraintes de Cauchy, et Ω représente le solide étudié.

La loi de comportement 

La loi élasto-viscoplastique retenue ici s’appuie en fait sur une loi élastoplastique à laquelle on rajoute une sensibilité de la contrainte d’écoulement à la vitesse basée sur la loi de Norton-Hoff. Cette version élastoplastique est basée sur la loi de Prandtl-Reuss avec le critère de plasticité de Von Mises et un écrouissage isotrope.

Formulation incrémentale du problème

Formulation incrémentale

Nous avons vu qu’en élastoplasticité, le système d’équations en déviateur reliait la dérivée temporelle du tenseur des contraintes σ (ou s en écriture déviatorique) et le tenseur des vitesses de déformations plastiques ε  à la vitesse de déformation totale ε (ou e ) par des équations différentielles du premier ordre, non linéaires et à coefficients non constants. Par conséquent, le champ des contraintes ne peut être connu à l’instant t, que si il est connu pour tout temps τ, τ<t. De plus, nous avons vu que nous avions deux jeux d’équations différentielles correspondant l’un à l’état élastique, et l’autre à l’état plastique. La transition élastique-plastique n’apparaît pas au même instant pour chaque point du solide. Il est donc là encore nécessaire de suivre l’évolution des contraintes en chaque point du solide pour déterminer l’instant pour lequel le critère de plasticité est atteint.

MAILLEUR ET REMAILLEUR AUTOMATIQUE

Dans la méthode des éléments finis, l’étape du maillage est primordiale. Elle peut directement conditionner la précision des résultats obtenus. C’est pourquoi le choix du mailleur est très important. Les qualités d’un mailleur sont principalement :

• la robustesse : quelle que soit la géométrie proposée, il doit être capable de construire, si possible automatiquement, un maillage correspondant ;
• la précision : le maillage doit coller le plus possible au contour de la géométrie, de façon à avoir le minimum de perte de volume ;
• la régularité : la qualité des éléments du maillage doit être bonne et suffisamment régulière, afin de minimiser l’approximation réalisée par la méthode des éléments finis ;
• la souplesse : on doit pouvoir mailler plus finement certaines zones de la pièce où les phénomènes que l’on désire étudier sont plus fins ;
• la rapidité : la rapidité d’un mailleur à créer un maillage est un paramètre important, qui prend encore plus de poids lorsque l’on désire développer un remailleur automatique.
• la capacité à évoluer : il doit être suffisamment « modulable » pour pouvoir générer de nouveaux types d’éléments, ou lui imposer une structure particulière.

Ce dernier point est essentiel pour le maillage de pièces multi-domaines et non connexes. Comme nous le verrons par la suite, c’est également un aspect important pour mailler finement la région entourant la pointe de fissure en mécanique de la rupture. Pour toutes ces raisons, le mailleur utilisé dans FORGE2 Multimatériaux est basé sur la triangulation de Delaunay. Plusieurs outils spécifiques y ont été ajoutés de façon à pouvoir adapter le code au cas de multimatériaux.

Le mailleur multi-domaines 

Pour développer le mailleur multi-domaines, nous nous sommes basé sur le mailleur mono-domaine de FORGE2®, et nous avons augmenté le nombre de contours ainsi que les caractéristiques des différents contours. Le mailleur multi-domaines est donc basé sur une description détaillée des contours servant à définir la pièce à mailler. Une fois la géométrie du contour définie par l’utilisateur, le maillage est réalisé en trois étapes principales. La première consiste à discrétiser la frontière de la pièce. Cette discrétisation produit un nuage de points qui constituera la base de la seconde étape : la triangulation de Delaunay. La dernière étape consiste à régulariser le maillage. Durant la description de ces trois étapes, nous mettrons en valeur les développements spécifiques nécessaires à la création de maillages multi-domaines [Bouchard et al. 2000a].

Description détaillée des contours

Pour réaliser un tel maillage, il est nécessaire de définir une structure de données avancée pour la gestion des différents contours. Les contours sont déclarés comme ouverts ou fermés, et orientés ou non orientés. Un contour ouvert correspond généralement à une interface entre deux matériaux. Un contour fermé peut définir soit une pièce, soit une cavité dans une pièce suivant l’orientation qui lui est attribuée. Un contour orienté permet de situer la matière par rapport au contour que l’on définit. Lorsque l’on parcourt le contour dans le sens trigonométrique, la matière se trouve à l’intérieur de ce dernier. Elle se trouve à l’extérieur de celui-ci lorsque son orientation est inverse au sens trigonométrique. Enfin un contour non orienté est utilisé lorsque la matière se trouve de part et d’autre du contour. Une fois ces contours définis, une recherche automatique des points d’intersection est effectuée de façon à déterminer le nombre de sous-domaines présents dans le maillage. Cela permettra notamment par la suite d’assigner des rhéologies différentes à chaque sous-domaine.

Discrétisation de la frontière 

Une fois le contour de la pièce connu, la discrétisation de la frontière est effectuée en deux étapes : la surdiscrétisation, puis la discrétisation de la frontière. Elle nécessite de plus la connaissance de 5 paramètres définis par l’utilisateur, et qui détermineront la finesse de cette discrétisation.

• La surdiscrétisation de la frontière : il s’agit d’une première discrétisation de la frontière dont les points, appelés points de surdiscrétisation, sont espacés d’une distance constante définie par l’utilisateur. Cette distance est généralement choisie petite, de façon à perdre le moins d’information lors de la surdiscrétisation du contour continu initial (Figure I.8.a).
• La discrétisation de la frontière : cette discrétisation réelle de la frontière consiste à éliminer les points inutiles de la frontière surdiscrétisée. On définit par « points inutiles » les points que l’on peut enlever à la frontière surdiscrétisée, tout en vérifiant 5 critères (précision, courbure, nombre de points maximum, taille maximale et homogénéité) définis en Annexe A.1. A l’aide de ces différents paramètres, le mailleur crée une discrétisation de la frontière (Figure I.8.b). Cette discrétisation, dont la finesse dépend en grande partie du bon choix des paramètres précédents, forme un nuage de points qui sert de structure de base à la triangulation de Delaunay.

Table des matières

INTRODUCTION
I. TECHNIQUES DE MAILLAGE POUR DES GEOMETRIES COMPLEXES
I.1. Introduction
I.2. Résolution mécanique
I.2.1. Les équations de la mécanique pour un matériau élasto-viscoplastique
I.2.2. Formulation incrémentale du problème
I.2.3. La discrétisation spatiale du problème
I.2.4. La résolution du système
I.3. Mailleur et remailleur automatique
I.3.1. Le mailleur multi-domaines
I.3.2. Le remailleur automatique
I.4. Gestion du contact pour des multimatériaux
I.4.1. L’élaboration de composites
I.4.2. Stratégie de gestion des contours
I.4.3. Application
I.5. Méthodes de résolution pour des multimatériaux
I.5.1. Etude d’un assemblage collé
I.5.2. Etude de conditionnement
I.5.3. La méthode du gradient conjugué préconditionné
I.6. Bilan
II. ANALYSE MECANIQUE D’UNE PIECE FISSUREE
II.1. Motivations
II.2. Etude Bibliographique
II.2.1. Historique
II.2.2. Hypothèses et cadre de l’étude
II.2.3. Approche locale
II.2.4. Approche globale ou énergétique
II.2.5. Bilan
II.3. Développement d’outils numériques pour la modélisation d’une fissure
II.3.1. Maillage concentrique
II.3.2. Eléments singuliers
II.3.3. Bilan
II.4. Calcul du taux de restitution d’énergie
II.4.1. Implémentation de la méthode Gθ
II.4.2. Comparaison de différentes méthodes
II.4.3. Influence du maillage pour la méthode Gθ
II.4.4. Bilan
II.5. Application à l’adhérence d’un assemblage collé
II.5.1. Description de l’essai
II.5.2. Résultats
II.5.3. Bilan
II.6. Conclusion
III. MODELISATION DE LA PROPAGATION QUASI-STATIQUE DE FISSURES
III.1. Etude bibliographique
III.1.1. Critères d’amorçage
III.1.2. Critères de bifurcation
III.1.3. Critères de stabilité
III.1.4. Méthodes numériques utilisées
III.2. Amorçage d’une fissure
III.2.1. Les outils numériques nécessaires à la localisation et à l’amorçage d’une fissure
III.2.2. Amorçage en contrainte critique
III.2.3. Amorçage en endommagement critique
III.2.4. Application au compactage de coques
III.3. Propagation d’une fissure
III.3.1. Critère de la contrainte normale maximale
III.3.2. Critère de la densité d’énergie de déformation minimale
III.3.3. Critère du taux de restitution d’énergie maximal
III.3.4. Comparaison
III.3.5. Bilan
III.4. Applications et développements spécifiques
III.4.1. Plaque trouée pré-fissurée
III.4.2. Poutres en flexion et formation de débris
III.4.3. Procédés à fort cisaillement et contact matière-matière
III.4.4. Propagation dans les structures multimatériaux
III.5. Conclusion
IV. INFLUENCE DE L’OXYDATION DE GAINES EN ZIRCALOY 4 SUR LEURS PROPRIETES MECANIQUES
IV.1. Contexte de l’étude
IV.1.1. L’essai spécifique de compactage
IV.1.2. Le zircaloy 4 irradié
IV.1.3. Recherche du matériau simulant
IV.1.4. Bilan et matériau simulant retenu
IV.2. Modélisation numérique du compactage
IV.2.1. Validation de la loi de comportement : dépliage d’un demi-tube
IV.2.2. Prise en compte du multi-domaines : compactage de trois tubes superposés
IV.2.3. Prise en compte de la fissuration : compactage d’un tube
IV.2.4. Etudes de sensibilité
IV.2.5. Bilan
IV.3. Etude et discussion sur l’influence d’une couche d’oxyde
IV.3.1. Oxydation du zircaloy 4
IV.3.2. Etude expérimentale de l’oxydation de tubes en zircaloy 4 écroui
IV.3.3. Modélisation numérique du compactage d’un tube oxydé
IV.4. Bilan
CONCLUSION

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