Systèmes locaux rigides et transformation de Fourier

MODULES SUR LES ANNEAUX D’OPÉRATEURS DIFFÉRENTIELS

Le but de ce chapitre introductif est de rappeler, tantôt au niveau des germes tantôt au niveau de l’algèbre de Weyl, les notions d’holonomie, de localisation, de connexion méromorphe, de régularité / irrégularité, de transformation de Fourier, d’inversion, de dualité et la notion de irréductibilité, (laquelle va jouer un rôle important dans la préservation de l’indice de rigidité par transformation de Fourier notion qui sera présentée dans le chapitre 3). Le résultat important de ce chapitre est le Théorème 1.9.5 (décomposition de Turrittin à l’infini du transformé de Fourier d’un A1-module holonome régulier, y compris l’infini), lequel est un cas particulier d’un résultat déjà connu — le Théorème 1.9.1, mais ici on donne une démonstration directe, sans avoir besoin de ramifier, car la pente à l’infini du polygone de Newton est égale à 1. Dans ce chapitre on s’intéresse aux anneaux d’opérateurs différentiels à coefficients sur un des trois anneaux suivants : C[x1, . . . , xn] (polynômes à n variables), C{x} (séries convergentes), C[[x]] (séries formelles) et aux modules sur ces anneaux.

L’algèbre de Weyl

On va définir l’algèbre de Weyl comme un anneau d’opérateurs dans un C-espace vectoriel de dimension infinie. Pour cela, on commence par fixer quelques notations. Dans ce mémoire C[X] désigne l’anneau des polynômes C[x1, . . . , xn]. Son algèbre d’opérateurs linéaires est notée EndC(C[X]) et ses opérations sont l’addition et la composition des opérateurs. L’algèbre de Weyl sera définie comme une sous-algèbre de EndC(C[X]).
Définition 1.1.1 (Algèbre de Weyl). Soient xb1, . . . , xbn les opérateurs de C[X] définis par les formules xbi(f) .= xif, pour chaque f ∈ C[X] et ∂xi les opérateurs définis par ∂xi (f).= ∂f ∂xi , pour chaque f ∈ C[X]. On note An la sous-algèbre de EndC(C[X]) engendrée par les xbi et les ∂xi et on l’appelle l’algèbre de Weyl d’ordre n. Seulement dans la section 2.6 on aura besoin de travailler avec des algèbres de Weyl d’ordre plus grand que 1. Dorénavant, dans ce chapitre, on va étudier, avec plus de détail, l’algèbre de Weyl A1.
Proposition 1.1.2. Tout élément P ∈ A1 \ {0} peut être écrit, de façon unique, sous la forme Pd i=0 ai(x)∂ ix, où ai(x) ∈ C[x] et ad 6≡ 0. Démonstration. Cf. Proposition 1.2.3 [13] page 3.
Définition 1.1.3. Soit P =Pd i=0 ai(x)∂ ix un élément de A1. On appelle exposant de P, et on note exp(P), le couple (d.= deg∂xP, δ(P) .= deg ad(x)). Cet exposant est additif par rapport au produit : exp(P Q) = exp(P) + exp(Q) (somme en N 2 .) En effet, si Q = bm(x)∂mx + · · · + b0(x), on peut écrire P Q =ad(x)bm(x)∂d+mx + R, R = cn(x)∂nx + · · · + c0(x), où n < d + m. On en déduit de cela une « assertion de division » :
Théorème 1.1.4. Soient A, P ∈ A1 tels que exp(P) = (d, δ). Il existe un seul couple (Q, R) d’éléments de A1 tel que : 1. A = QP + R, 2. R=degXAl=dXδ−1k=0rklxk∂lx + S, où deg S < d et rkl ∈ C.
Démonstration. Existence) Soit (n, m) = exp(A). Dans ce cas on peut écrire · A = αxm∂nx + a(x)∂nx + A0, où α ∈ C∗, deg a(x) < m et deg A0 < n,· P = βxδ∂dx + b(x)∂dx + B0, où β ∈ C∗ , deg b(x) < δ et deg B0 < d. Si exp(P) + N 2 3 exp(A) alors : A1 = A −αβxm−δ∂n−dxP = cn(x)∂nx + · · · + c0(x), où cn(x), . . . , c0(x) ∈ C[x] et deg cn(x) < m ou cn(x) ≡ 0. En particulier on a exp(A1) + N 2 3 exp(A). Par récurrence on montre qu’il existe un seul couple (Q, R) qui vérifie les propriétés 1 et 2.

Localisation et connexions méromorphes

Dans cette section on introduit les notions de localisation et de connexion méromorphe et on montre l’équivalence de ces deux notions dans le cadre des D (resp. Db)- modules holonomes. On montre aussi que les A1 (resp. D ou Db)-modules holonomes localisés sont isomorphes à A1/I (resp. D/I ou Db/I), où I est un idéal principal non nul de A1 (resp. D ou Db).

Décomposition de Turrittin

Le but de cette section est de présenter les propriétés vérifiées par la décomposition de Turrittin centrée à l’infini du formalisé du transformé de Fourier d’un A1-module holonome régulier y compris l’infini. On commence par rappeler le théorème de structure des connexions formelles ; tout d’abord, une connexion L de rang un s’écrit, dans une base e sous la forme ∂e = −αe¯ , α¯ ∈ C[[x]][x−1]; et on a un isomorphisme L 0 ‘ L ⊗ M, M est régulier si et seulement si α¯0 − α¯ a un pôle simple. Pour chaque classe α de C[[x]][x−1] modulo pôles simples, on choisit un représentant α¯ = ¯αdx, et on appelle Lω la connexion correspondant à α¯ (le passage aux formes est destiné à rendre les formules invariants par changement de coordonnées et ramification). On note encore IC[[t]] l’ensemble des C[[x]][x−1]dx (mod pôle simple).

L’image inverse

Afin de présenter la notion de changement d’anneaux, on commence avec une construction général pour des anneaux et des modules. Soient donc R, S des anneaux et φ : R → S un homomorphisme d’anneaux. Si M est un R-module à gauche alors on peut utiliser φ pour induire en S ⊗R M une structure de S-module à gauche appelé le changement d’anneaux de base. Le point fondamentale est que S admet la structure de R-module à droite définie de la façon suivante : s ∗ r.= sφ(r), pour chaque r ∈ R et s ∈ S. Grâce à cette structure on peut considérer S comme un S − R -bimodule et donc on peut prendre le produit tensoriel S ⊗R M, lequel est un S-module à gauche.

Notion d’indice de rigidité

En 1857, en traduisant dans une langage moderne, Riemann a montré que l’équation hypergéométrique peut être reconstruite, à isomorphisme près, à partir de la connaissance de ses monodromies aux points 0, 1 et ∞. Dans une langage moderne, on dit que l’équation hypergéométrique est rigide et que son système local est physiquement rigide.

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Table des matières

Introduction
1. Modules sur les anneaux d’opérateurs différentiels
1.1. Anneaux d’opérateurs différentiels
1.2. Idéaux à gauche d’opérateurs différentiels
1.3. Modules holonomes
1.4. Localisation et connexions méromorphes
1.5. Irréductibilité
1.6. Modules tordus
1.7. Dualité
1.8. Régularité et irrégularité
1.9. Décomposition de Turrittin
2. Le faisceau DX et ses modules
2.1. Le faisceau DX
2.2. Transformation droite-gauche
2.3. DX-modules sur une surface de Riemann
2.4. Couples d’espaces vectoriels
2.5. La V -filtration
2.6. Opérations sur les An(DX)-modules
2.7. Extension minimale
3. Rigidité
3.1. Notion d’indice de rigidité
3.2. Préservation de l’indice de rigidité
Bibliographie