Soutenance mémoire
Systèmes dynamiques
Définition (Système dynamique, [Wi89], p.175, [Wi91], p.261,). Un système dynamique est un triplet d’ensembles non vides Σ = (T, W, B) avec T ⊆ R l’axe des temps, W l’espace des signaux et B ⊆ WT le comportement du système dynamique où WT = {w : T −→ W | t 7−→ w(t)}. est l’ensemble des applications ou trajectoires ou signaux de T à valeur dans W.
Remarques. (1). L’axe des temps T peut-être égal à N, Z, R ou tout simplement un sous-ensemble de l’un d’entre eux. (2). L’ espace des signaux W est aussi appelé l’espace des variables manifestes. Notation. On note WT par F.
Définition (Comportement d’un système, [Wi91], p.261). On dit qu’un sousensemble B de F est bien un comportement d’un système s’il donne une formalisation des lois qui gouvernent le système Σ. Son élément est appelé variable manifeste. C’est pourquoi on l’appelle comportement manifeste pour éviter toute risque de confusion avec d’autres comportements. Le système Σ ainsi défini sera appelé système dynamique manifeste.
Définition (Variable manifeste, [Wi89], p.164, [Wi91], p.260). Une variable manifeste w ∈ F est une trajectoire de T dans W. Elle est aussi appelée une variable du signal ou de trajectoire, une variable externe ou une variable directement observée.
Notation. Dans toute la suite, un système dynamique manifeste est noté par Σ = (T, W, B). On l’appelle système dynamique ou tout simplement système s’il n’y a pas d’ambiguïté.
Définition (Modèle Mathématique, [Wi91], p.259). Soit Σ = (T,W, B) un système dynamique. Le couple d’ensembles non vides (F, B) est appelée un modèle mathématique. Dans ce modèle F est appelé l’univers .
Exemple ([Wi91], p.259). Pendant l’âge de glace, peu de temps après que Prometheus a volé le feu à des dieux (grecs), l’homme a déjà réalisé que l’H2O peut apparaitre comme l’eau, comme l’évaporation ou comme une glace mais cela dépend de la température. L’homme a déjà connu cela bien avant que cette situation soit capturée dans un modèle mathématique. La généralisation de ce modèle mathématique acceptée est donnée par : F = { glace, eau, évaporation } × [−273, +∞[, avec T ⊆ R et le comportement B du système est donné par B = {( glace , [−273, 0]) ∪ ( eau , [0, 100]) ∪ ( évaporation , [100, +∞[)} ⊂ F. A partir de cette généralisation, on peut définir Σ = (T,W, B) un système dynamique construit à partir du phénomène physique entre l’H2O et les températures.
Définition (Espace d’équations, [Wi91], p.260 ). Soient Σ = (T,W, B) un système dynamique et E un ensemble abstrait et f1, f2 : F −→ E des applications. L’ensemble E est appelé espace d’équations.
Définition (Comportement défini par un système d’ équation(s), [Wi91], p.260). Soit Σ = (T,W, B) un système dynamique . B = {w ∈ F | f1(w) = f2(w)} = Ker(f1 − f2) on dit que B = Ker(f1 − f2) est un comportement décrit par le système d’équation(s) défini par f1 − f2.
Terminologie. D’abord, si T = N ou Z ou un sous ensemble inclus dans l’un d’entre eux, on dit que le système dynamique est discret. Si T = R on a un système dynamique à temps continus. Dans toute la suite, on restreint notre étude dans le cas discret.
Systèmes dynamiques avec des variables latentes
Dans la section précédente, on a vu que le triplet d’ensembles non vide Σ = (T, W, B) est un système dynamique. Cependant, pour des raisons mathématiques, il nous faut introduire une autre variable, une variable de fonction auxiliaire ou interne, c’est la variable latente.
Définition (Variable latente, [PW98], p. xvi, 2). Une variable latente l ∈ L T est une application de T dans L. Elle est aussi appelée variable d’état ou variable auxiliaire ou variable interne ou encore variable indirectement observée à partir de variable manifeste.
Exemple. [[PW98], p.5] Considérons la figure ci-dessous. avec I est l’intensité du courant dans la branche principale et U la tension aux bornes du générateur. Il nous faut introduire les variables auxiliaires (I1, I2, I3, I4, I5) et (U1, U2, U3, U4, U5) où I1, I2, I3, I4, I5 sont les intensités du courant dans les branches dérivées et U1, U2, U3, U4 et U5 les tensions aux bornes respectives des résistances R1, R2, R3, R4 et R5. On a : d’après
1) La loi des nœuds :
I = I1 + I2, I1 = I3 + I4, I2 + I3 = I5 et I4 + I5 = I. (I.4)
2) La loi de Kirchhoff :
U1+U2+U3 = 0, U3+U4+U5 = 0, U +U1+U4 = 0, U +U2+U5 = 0 et U1+U2+U4+U5 = 0. (I.5)
3) ∀i ∈ {1, 2, 3, 4, 5} Ui = RiIi. (I.6)
Dans cet exemple, l = (U1, U2, U3, U4, U5, I1, I2, I3, I4, I5) est une variable latente et w = (U, I) la variable manifeste.
Notation. Dans toute la suite, on note par L l’espace des variables latentes.
Définition (Système dynamique avec des variables latentes Σw,l, [Wi89], p.180, [Wi91], p.264, 265). Le quadruplet d’ensembles non vide Σw,l = (T,W, L, Bw,l) est appelé système dynamique avec des variables latentes où T est l’axe des temps, W est l’ensemble des variables manifestes, L l’ensemble des variables latentes et Bw,l ⊆ (W × L)T le comportement du système.
Remarques. 1) On peut écrire ce système sous forme de triplet d’ensemble comme suit Σw,l = (T,W × L, Bw,l).
2)De plus, (L×W) T = LT×WT En effet, premièrement montrons que (W×L)T ⊆ WT×LT Soit f ∈ (W × L)T.
f ∈ (W × L)
T ⇐⇒ f : T 7−→ W × L
t 7−→ f(t)
Or f(t) ∈ W × L signifie qu’on peut écrire f(t) comme suit f(t) = (w(t), l(t)) = (w, l (t) ∈ W × L ce qui implique que w(t) ∈ W et l(t) ∈ L Autrement dit w ∈ WT et l ∈ LT. Donc f = (w, l) ∈ WT × LT. D’où (W × L)T ⊆ WT × LT. Deuxièmement, montrons que WT × LT ⊆ (W × L)T. Soit (w, l) ∈ WT × LT. Or (w, l) ∈ WT × LT est équivalente à w ∈ WT et l ∈ LT. Par suite, w : T −→ Wt 7−→ w(t) et l : T −→ L t 7−→ l(t) Donc on peut construire une application à partir de w et l comme suit g = (w, l) : T −→ W × Lt 7−→ g(t) = (w(t), l(t)) Donc g ∈ (W × L)T. D’où WT × L T ⊆ (W × L)T.On conclut qu’on a l’égalité.
Définition (Comportement plein, [Wi89], p.180, [Wi91], p.264). On dit que Bw,l est comportement plein . Il est défini par Bw,l = {(w, l) ∈ WT × LT} ⊆ WT × LT.
Remarque. On peut définir le système dynamique manifeste Σ à partir de ce système dynamique avec des variables latentes Σw,l = (T,W, L, Bw,l). Il est défini par Σ = (T,W, B) avec le comportement manifeste B = {w ∈ WT | ∃l ∈ LT telle que (w, l) ∈ Bw,l}. La variable latente est une variable interne tandis que la variable manifeste est une variable externe. Le comportement plein est considéré comme un comportement interne tandis que le comportement manifeste est vu comme un comportement externe.
Théorème ([Wi91], p.265). Soit Σw,l = (T = Z,W = Rq, L = Rd, Bw,l) un système dynamique avec des variables latentes tel qu’il est linéaire, invariant par le temps et complet. Alors le système dynamique manifeste associé Σ = (T = Z,W = Rq, B) est aussi linéaire, invariant par le temps et complet.
Preuve. Montrons que Σ = (T = Z, W = R q, B) est aussi linéaire, invariant par le temps et complet. Premièrement, montrons qu’il est linéaire. D’abord, on sait que W = Rq est un espace vectoriel sur R. On sait que si W est un espace vectoriel sur R alors WT = (Rq) Z est aussi un espace vectoriel sur R. Il suffit donc de montrer que B est un sous-espace vectoriel de WT = (Rq)Z. Soient w1, w2 ∈ B et α, β ∈ R. Montrons que αw1 + βw2 ∈ B. Par définition de B on a : w1 ∈ B ⇐⇒ ∃l1 ∈ LT telle que (w1, l1) ∈ Bw,l, w2 ∈ B ⇐⇒ ∃l2 ∈ LT telle que (w2, l2) ∈ Bw,l. On sait que le système Σw,l est linéaire alors α(w1, l1) + β(w2, l2) ∈ Bw,l ∈ Bw,l
⇐⇒(αw1, αl1) + (βw2, βl2) ∈ Bw,l
⇐⇒(αw1 + βw2, αl1 + βl2) ∈ Bw,l
=⇒αw1 + βw2 ∈ B
D’où la linéarité. Deuxièmement, montrons qu’il est invariant par le temps. Soient w ∈ B et t ∈ T = Z. Montrons que σtw ∈ B. Par définition du système manifeste on a l’existence d’une variable latente l ∈ LT telle que (w, l) ∈ Bw,l. Puisque Bw,l est invariant par le temps, ona σt(w, l) ∈ Bw,l. Or σt(w, l) = (σtw, σtl) ∈ Bw,l. Donc σtw ∈ B. D’où l’invariance par le temps. Troisièmement, montrons qu’il est complet. Soit w ∈ WT . Soit w|[t0,t1] ∈ B|[t0,t1] où t0, t1 ∈ T = Z.w[t0,t1] ∈ B[t0,t1] ⇐⇒ ∃l ∈ LT telle que (w, l) ∈ WT × LT et (w, l)|[t0,t1] ∈ Bw,l|[t0,t1]. D’après l’hypothèse, Σw,l est complet donc (w, l) ∈ Bw,l. Ce qui implique que w ∈ B. D’où la complétude.
Exemple. Considérons l’exemple (3.2), le comportement plein est donné par Bw,l = {(w, l) = ((U, I),(U1, U2, U3, U4, U5, I1, I2, I3, I4, I5) ∈ R 12 | (I.4), (I.5) et (I.6) sont vérifiées.}.
Conclusion
Un système autonome est un système dont la matrice de sa représentation autorégressive est de rang plein par rapport à sa colonne. L’ensemble T ⊆ F[x] est un ensemble multiplicativement fermé d’opérateur du décalage. Il est saturé dans l’étude de T-autonomie. Un système T-autonome est un système à la fois autonome et T-petit. Si la notion de T-autonomie dépend de l’autonomie et de l’ensemble T, le système Entrée T-observateur dépend de la représentation Entrée-Sortie et de la T-autonomie du système erreur associé au système Entrée T-observateur et au système observé. Dans la théorie des systèmes Entrées T-observateurs, on veut retrouver l’entrée du premier système B1 à partir de la sortie du deuxième système B2. Une perspective du travail possible est d’effectuer des calculs sur ordinateur. Oberst et Blumthaler ont déterminé à partir du système erreur associé des deux systèmes Entrèes-Sorties donnés, lequel des deux systèmes donnés est un Entrée T-observateur s’il existe. Leurs théories et celui de Willems et Valcher sont complémentaires car la nouvelle théorie d’Ingrid Blumthaler et Ulrich Oberst est applicable à l’ancienne théorie de Maria Elena Valcher et Jan C. Willems et vis versa.
|
Table des matières
I Systèmes Dynamiques
1 Systèmes dynamiques
2 Propriétés Fondamentales
3 Systèmes dynamiques avec des variables latentes
II Systèmes Autonomes et T-autonomes
1 Représentations des systèmes dynamiques
2 Systèmes Autonomes
3 Systèmes T-autonomes
III Systèmes Entrées T-Observateurs
1 Systèmes T-Observables
2 Systèmes Entrées T-Observateurs
3 Conditions d’Existence et Algorithme
Bibliographie
Télécharger le rapport complet
