Système MIMO et son modèle mathématique

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Détecteurs heuristiques

Détecteur par forçage à zéro (Le détecteur ZF)
C’est généralement N-P diﬃcile ((Non-deterministic Polynomial-time hard) [Hassibi 2005] de trouver la solution exacte au problème (1.16). Par conséquent, quelques approximations ont été utilisées. La méthode heuristique est une approxi-mation typique possédant une faible complexité, moyennant une dégradation des performances.
Le plus célèbre algorithme heuristique est la méthode de forçage à zéro (ZF, Zero For-cing en anglais). Elle considère le problème (1.16) comme un problème des moindres carrés en imposant une solution appartenant à la constellation utilisée, pour ZF, on suppose que s ∈ CNT , C représente l’ensemble des nombres complexes. CNT est l’espace vectoriel complexe de dimension NT . La détection ZF s’eﬀectue en moyen de l’équation suivante : x = H†y (1.17)où (•)† est la pseudo-inverse à gauche de (•). L’existence de H† est basée sur l’hypo-thèse que NR ≥ NT . Selon la détection ZF, les composantes de xb ne correspondent pas nécessairement à des points dans la constellation C respectivement. Il faut ar-rondir chaque composante de xb au point plus proche dans la constellation C. On appelle cette opération slice. x = slice(H†y) (1.18)
On appelle xbB « Babai estimation » [Groetschel 1993]. Ce détecteur permet d’élimi-ner complètement les interférences des autres antennes. Le moyen le plus simple pour calculer la pseudo inverse est la méthode de décomposition QR. On peut aussi obtenir la pseudo inverse à gauche par la décomposition SVD, qui est plus robuste. Dans les deux cas, la complexité de « Babai estimation » est de l’ordre de O(m3) (si NT = NR = m). Mais ZF n’a pas de bonnes performances, car il ignore l’eﬀet du bruit, donc, il ne peut pas contrôler l’influence du bruit. En plus, les performances de ZF sont limitées par l’existence de H†. En eﬀet H† n’existe pas lorsque NT est supérieur à NR. Le détecteur ZF n’est plus réalisable dans ce cas-là. On a donc besoin d’autres détecteurs robustes à la configuration d’antennes. En plus, ils doivent prendre en compte l’ensemble de l’eﬀet des interférences et du bruit.

Signaux non-circulaires et non-circularité

Un signal aléatoire x est circulaire au second ordre lorsqu’il remplit les condi-tions suivantes :

1. E[x(t)x(t + τ)T ] = 0 pour chaque couple (t,τ) ;

2. E[x(t)] = 0.

Toutes les caractéristiques statistiques du second ordre du signal circulaire x sont contenues dans sa matrice de covariance E[x(t)x(t+τ)H ]. Bien que la circularité soit une caractéristique assez courante des signaux à bande étroite, il existe néanmoins de nombreux signaux qui ne sont pas circulaires. Ces situations se produisent pour des signaux rectilinéaires. Par exemple, les interférences provenant des signaux AM, ASK ou BPSK dans un système CDMA, les interférences modulées en MSK, GMSK, OQAM sont également dans cette situation [P. 2006], [Gerstacker 2003]. Le signal est non circulaire au second ordre lorsque E[x(t)x(t+τ)T ] ≠ 0 pour au moins un couple de valeurs (t,τ) [Picinbono 1994]. Certains auteurs ont montré que les performances des méthodes d’estimation des directions d’arrivée des sources [Chargé 2001], de for-mation de voies [Chevalier 2007], [Chevalier 2009], [S.C.Douglas 2010], de détection [Gelli 2000], [Cacciapuoti 2008], [Olivier 2007], [Cacciapuoti 2009], [Buzzi 2009], ou de rehaussement de la parole [Benesty 2010] s’améliorent sensiblement par l’exploita-tion de la non circularité ou par le traitement linéaire au sens large [Picinbono 1995].

Critères pour la détection MIMO

Dans le modèle 1.1, le signal transmis est déformé par les évanouissements et les bruits avant d’atteindre le récepteur. Le plus souvent, le signal x est estimé selon l’un des critères suivant :

I : Minimisation de l’erreur quadratique moyenne E[∥xˆ − x∥2], où xˆ est le signal estimé ;

II : Maximisation du rapport signal à bruit plus interférences.

En eﬀet, ces deux critère sont équivalents dans le cas du bruit blanc et Gaussien : ils aboutissent au même récepteur MMSE (La démonstration est donnée dans l’annexe A.). Le récepteur MMSE étant optimal mathématiquement pour le critère I, il est impossible de trouver un meilleur récepteur dans l’espace de dimensions NR × NT . Par conséquent, on doit recourir à d’autres façons d’obtenir des améliorations. Dans la suite, nous étendons notre recherche à un espace de dimensions 2NR × NT en exploitant la non circularité du signal. L’augmentation des dimensions de l’espace peut fournir plus de degrés de libertés pour eﬀectuer l’optimisation au niveau du récepteur.

Les algorithmes proposés

Dans la discussion qui va suivre, nous partons des hypothèses suivantes :

1. Le signal transmis x est non circulaire ;

2. Les signaux transmis par des antennes diﬀérentes sont décorrélés, c’est-à-dire :

E[xxH ] = P INT , où P est la puissance de transmission pour chaque antenne ;

3. Le bruit w est blanc et Gaussien, E[wwH ] = σ2INT , σ2 est la variance de chaque composante, en fait, σ2 représente la puissance de bruit sur chaque antenne à la réception ;

4. Le signal x est indépendant du bruit w, E[wxH ] = 0 ;

5. Les canaux MIMO sont quasi-stationnaires, H(t) = H(t + τ) = H.

Inspirés par [Chevalier 2007] [Chargé 2001], nous pouvons construire la matrice ci- dessous afin d’exploiter la non circularité : y = y(t) = Hx(t) e y(t + τ)∗ H∗x∗(t + τ) +w(t)(2.1)

Dans l’équation (2.1), l’hypothèse 5 est utilisée : H(t) = H(t + τ) = H. Utilisant le principe de MMSE, on choisi un vecteur colonne ci qui minimise l’erreur quadratique moyenne E[|xbi − xi|2], où xi est le vrai signal, et xbi est le signal estimé, donné par : xbi = ciH ye (2.2)

où on note x = x(t), xi = xi(t), y = y(t), et w = w(t). Pour obtenir le vecteur ci, on minimise l’erreur quadratique moyenne : min J = E[ x x 2] (2.3) ci|bi −i|

J peut être développée de la façon suivante : J = cH E[yyH ]c i − cH E[yx∗] − E[x yH ]c + E[x x∗] (2.4) ieeie iieiii

Le minimum est obtenu lorsque le gradient s’annule : ∇cJi = ciH E[yeyeH ] − E[xiyeH ] = 0 (2.5)

Par conséquent, ci est donné par : c i = (E[yyH ])−1E[yx∗] (2.6)

On appelle cette méthode la MMSE étendue (Extended MMSE, EMMSE [Y.Ding 2011b]) pour la distinguer de la MMSE traditionnelle.

Cas d’un signal réel

Pour un signal réel, x = x∗, ainsi E[x(t)x(t + τ)T ] ≠ 0 lorsque τ = 0. Un signal réel est donc non circulaire au second ordre.

Détecteur ZF étendu (Extended ZF, EZF) pour un signal réel

Pour un signal réel, (par exemple, signal BPSK ou ASK), nous avons x = x∗.

L’équation (2.1) peut être représentée comme suit lorsque τ = 0 : ee(2.7) y = e eeHx + w la Le signal transmis x peut être estimé pa où, H = [HT HH ]T, w = [wT wH ]T . méthode ZF.xbEZF = CEZF ye (2.8) où, CEZF est la pseudo inverse à gauche de H, on note CEZF = H†, (•)† est la pseudo-inverse de ( ) . Parce que l’espace considéré dans l’équation (2.7) est étendu •ee aux dimensions 2NR × NT , on appelle cette méthode la ZF étendue (Extended ZF, EZF) pour la distinguer de la ZF traditionnelle.

Discussion sur l’optimalité

MMSE/ZF traditionnel est amélioré par l’exploitation de la non-circularité, mais le système (1.1) et le système (2.7) ont exactement la même solution optimale, ob-tenue par l’algorithme du maximum de vraisemblance. Cette conclusion est vérifiée par les formules suivantes :

xb = arg min ∥y − Hs∥2

⇔ xb = arg min 2 ∥y − Hs∥2

⇔ xb = arg min 2(y − Hs)H (y − Hs) (2.43) s

⇔ xb = arg min [(y − Hs)H (y − Hs) + (y − Hs)T (y − Hs)∗] s2 be mine ⇔ x = argy−Hs

où s est un vecteur candidat choisi arbitrairement dans l’ensemble de tous les vec-teurs candidats possibles. L’équation ci-dessus montre que l’exploitation de la non circularité ne change pas l’optimalité du problème. La solution ML est encore opti-male.

Dans un système SISO (Single Input Single Output) comportant une antenne à l’émission et une antenne au récepteur, si le canal est non-sélectif en fréquence, les détecteurs ML, ZF et MMSE font très peu de diﬀérence en termes de taux d’er-reur binaire (Bit Error Rate, BER). ZF et MMSE peuvent être réduits en détecteur ML [A. 2003]. Pour un système SIMO (single input multiple output) comportant une antenne à l’émission et plusieurs antennes à la réception, la combinaison à gain maximum (maximum ratio combing MRC) [A. 2003] possède des performances optimales. D’ailleurs, le récepteur NCIR-MLSE [P. 2006] peut aussi atteindre les performances optimales dans le contexte d’interférences rectilinéaire. Cependant, la situation MIMO est totalement diﬀérente même si le signal transmis est rectilinéaire. Le modèle du système (1.1) peut s’écrire sous la forme SIMO suivante : y = hixi + vi (2.44)

RFSD-ZF simplifié (SRFSD-ZF)

On constate qu’il faut calculer la pseudo-inverse à gauche (NT −p)CNpT fois pour eﬀectuer le RFSD-ZF. Afin de réduire la complexité, nous cherchons à minimiser la borne supérieure de ∑NT −p ∥crs∥2. Pour cela, nous considérons le vecteur de s=1 référence au niveau NT − p, ∥αrNT −p∥2. Il s’exprime comme [Y.Ding 2011c] : αr2 = tr[(Hr)†((Hr)†)H](4.5) ∥ NT −p∥NT −pNT −p r 2 NT p 2 , c’est-à-dire :

Lemme 1 : ∥αNT −p∥est la borne supérieure de ∑s=1−∥crs∥ NT −p ∑s2tr[(Hr)†((Hr)†)H](4.6) Démonstration : Supposons que Or est un ordre de détection arbitraire, Or(s) représente l’index de la composante détectée selon l’ordre Or au ni-veau s, s = NT , NT − 1, • • • , 1. Nous avons donc Hrs(:, Or(i)) = 0 pour i = NT , NT − 1, • • • , s + 1. Les deux problèmes d’optimisation suivantes sont considérés :

Problème I : Chercher un vecteur NR × 1 : vs−1, (2 ≤ s ≤ NT minimise le critère suivant pour un q donné, 1 ≤ q ≤ s − 1. min J1 = vsH−1vs−1 Hr −− ks1 s.t. 1. f or all k = q, 1≤≤− ̸ −− vs 1Hs 1(:, Or(k)) = 0 2. vsH 1Hsr 1(:, Or(q)) = 1 − p) qui (4.7)

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Table des matières

Notations
Introduction générale
1 Détection pour un système MIMO
1.1 Système MIMO et son modèle mathématique
1.2 Capacité d’un système MIMO
1.3 Problèmes à résoudre dans le système MIMO
1.4 Détecteurs heuristiques
1.5 La méthode exacte
1.6 Conclusion
2 Détecteur pour signaux non-circulaires
2.1 Signaux non-circulaires et non-circularité
2.2 Critères pour la détection MIMO
2.3 Les algorithmes proposés
2.3.1 Cas d’un signal réel
2.3.2 Détecteur ZF étendu (Extended ZF, EZF) pour un signal réel
2.3.3 Détecteur EMMSE pour le signal réel
2.4 Annulations successives ordonnées d’interférences (OSIC)
2.5 Analyse de performance
2.6 Discussion sur l’optimalité
2.7 Complexité de calcul
2.8 Résultats de simulation
2.9 Extension au signal QPSK
2.10 Conclusion
3 Détecteur pour signaux circulaires
3.1 Limitation d’EMMSE et motivation
3.2 Algorithme proposé : détecteur basé sur le traitement linéaire au sens large
3.2.1 L’évaluation de ∆I
3.2.2 Signaux M-QAM
3.2.3 Signal QPSK (4-QAM)
3.2.4 Calcul du vecteur candidat
3.3 L’analyse analytique de performance
3.4 Complexité du calcul
3.5 Résultats de simulation
3.6 Conclusion
4 Ordonnancement robuste pour le décodage sphérique à complexitéfixée
4.1 Motivation
4.2 FSD robuste (Robust Fixed-complexity Sphere Decoder, RFSD)
4.2.1 RFSD sans information à priori du bruit (RFSD-ZF)
4.2.2 RFSD-ZF simplifié (SRFSD-ZF)
4.2.3 RFSD lorsque l’information sur le bruit est connue (RFSDMMSE)
4.2.4 RFSD-MMSE simplifié (SRFSD-MMSE)
4.3 Résultats de simulation
4.4 Conclusion
5 Détecteur exploitant conjointement des propriétés du signal et du canal
5.1 Motivation
5.2 Stratégie d’expansion proposée
5.3 PE basée sur le traitement linéaire au sens large
5.4 Calcul de vecteurs candidats et analyse des performances
5.5 Analyse de complexité
5.6 Réalisation et Simulations
5.7 Conclusion
Conclusion générale et travaux futurs
A Démonstration pour l’équivalence entre minimisation de ∥ˆx − x∥ et maximisation le SINR
Bibliogra