Système isolé et mesures parfaites : fonctions d’onde

Système isolé et mesures parfaites : fonctions d’onde

Nous parlons d’abord dans cette section d’un système quantique isolé, c’est-à-dire qui n’interagit pas avec l’extérieur  ; puis d’un système sur lequel toute mesure nouvellement appliquée est connue parfaitement par l’expérimentateur. Nous voyons notamment que ces deux types de systèmes peuvent être décrits par des fonctions d’onde.

Propriétés des systèmes physiques classiques

Lorsqu’il s’agit de modéliser des systèmes physiques à une échelle où l’on peut considérer que leur évolution est convenablement décrite par la physique classique, la représentation que nous choisissons pour décrire son état présente quelques caractéristiques générales, que nous détaillons ici pour mieux comprendre, par contraste, certaines spécificités des systèmes quantiques.

Nature d’un état classique

Un état classique est couramment décrit comme évoluant au sein d’un espace S isomorphe à Rq , ou dans un de ses sous-ensembles : S ⊂ Rq . A un instant donné t, cet état est noté x(t) ∈ S. Cet état peut par exemple décrire la position du centre de masse d’un objet dans l’espace, auquel cas S sera un sous-ensemble de R3 . De plus, supposons que nous disposons de deux systèmes classiques d’états respectifs x1(t) ∈ S1 et x2(t) ∈ S2 à l’origine isolés, et que nous voulons considérer au sein d’un même système (par exemple pour étudier ce qu’un couplage entre ces deux systèmes induirait). L’état de ce système composite z(t) s’écrit simplement comme un vecteur agrandi :

z(t) = (x1(t), x2(t)) ∈ S1 × S2 ⊂ R q1+q2 ,

où q1 et q2 sont les dimensions respectives des deux espaces d’état. On remarque qu’avec ces notations, le fait de vouloir attribuer à tout instant un état à l’un ou l’autre des systèmes considérés isolément garde un sens, puisqu’il suffira, pour l’obtenir, d’extraire soit les premières, soit les dernières dimensions de l’état z(t). Ainsi, deux systèmes classiques, même après une longue évolution commune où de nombreuses influences réciproques se sont entremêlées, restent toujours séparables.

Déterminisme de l’évolution 

Les équations d’évolution newtonienne ont une nature strictement déterministe. En effet, si on choisit deux instants successifs t1 et t2, on peut définir une application Ξt1,t2 telle que, si l’état du système au temps t1 est x(t1) = x1, l’état du système au temps t2 devient alors nécessairement : x(t2) = x2 = Ξt1,t2 (x1)

Mesures et altérations
A priori, un système classique peut être observé sans que cela n’altère en retour l’état de ce système. Bien sûr, cela ne veut pas dire que certains systèmes sont construits de telle sorte que leur observation soit intimement liée à l’existence d’une loi de commande, mais cela relève alors d’une contrainte extérieure qui n’est pas inhérente aux lois physiques classiques, mais qui résulte des possibilités matérielles restreintes de l’expérimentateur.

Incertitude sur l’état
Une éventuelle incertitude que l’expérimentateur aurait sur l’état réel x(t) du système à l’instant t peut se traduire par une certaine densité de probabilité pt (x) attribuée à chaque valeur possible x ∈ S de l’état. Lorsque la valeur de l’état est connue, cette distribution est simplement un Dirac centré sur celle-ci. Ce qui est remarquable dans les systèmes classiques, c’est que l’ensemble des valeurs possibles (les vecteurs x telles que pt (x) = 0 6 ) « n’interfèrent » pas entre elles. Toutes ces valeurs évoluent sans considération pour toutes les autres valeurs possibles de l’état.

Passage aux systèmes quantiques
Lorsque nous considérons des systèmes où les phénomènes de la mécanique quantique sont sensibles, les propriétés que nous venons d’énoncer ne s’appliquent plus. Les états quantiques ont une interprétation naturellement probabiliste. Ainsi, ils ne sont pas représentés de la même façon que les états de systèmes classiques. Leur évolution n’est pas toujours déterministe, puisque les mesures qu’on peut effectuer sur un système quantique renvoient la réalisation d’une variable aléatoire, et altèrent en retour l’état du système. Dans ce chapitre, nous commençons par détailler la représentation par fonction d’onde permettant de décrire l’état d’un  système quantique isolé, ce qui désigne ici un système qui n’interagit avec des systèmes extérieurs que lors de réductions du paquet d’ondes dont le résultat est parfaitement connu. L’étude des caractéristiques des systèmes quantiques ouverts, ou dont le résultat des mesures est imparfaitement connu est l’objet de la section suivante, avec l’opérateur densité comme représentation de l’état qui remplace et étend la notion de fonction d’onde.

Systèmes quantiques isolés

Pour une très bonne introduction à la notion d’état quantique, voir [CTDL77]. La nature d’un état quantique est intimement liée à celle de probabilité. La notion de probabilité est à la base de la représentation d’un état quantique, à cela près que nous nous attachons, dans ce cas, à des amplitudes de probabilité ; celles-ci font apparaître une phase dans le plan complexe qui permet de traduire dans l’état quantique le caractère ondulatoire des particules étudiées au sein des systèmes quantiques. L’état d’un système quantique isolé, appelé fonction d’onde, est donc un vecteur d’un espace de Hilbert complexe noté H, muni du produit scalaire Euclidien. Chaque dimension de cet espace correspond à un état physique possible du système quantique, et la composante qui lui est associée dans la fonction d’onde détermine l’amplitude de probabilité correspondant à cet état possible. L’espace de Hilbert H peut donc être, selon la nature des états physiques considérés comme possibles, de dimension finie ou infinie – nous travaillons ici avec un espace de Hilbert de dimension finie NH. Cette fonction d’onde est souvent notée |ψi, ou |ψ(t)i lorsque la dépendance en temps doit être soulignée : nous adoptons le point de vue de Schrödinger, et c’est l’état et non les observables qui dépendent du temps. La notation |ψi représente un vecteur colonne, et hψ| le vecteur ligne qui en est l’adjoint. Le produit scalaire entre deux états |ψi et |φi est donc hψ|φi. La norme d’une fonction d’onde est toujours égale à 1. Nous prenons trois exemples pour illustrer la façon avec laquelle est construite cette fonction d’onde  , puis nous donnons l’équation de Schrödinger qui permet de représenter l’évolution, déterministe, des systèmes isolés.

Table des matières

1 Introduction
2 Structure des modèles
2.1 Système isolé et mesures parfaites : fonctions d’onde
2.1.1 Propriétés des systèmes physiques classiques
2.1.2 Systèmes quantiques isolés
2.1.3 Systèmes ouverts à mesures parfaites
2.1.4 Ouverture
2.2 Systèmes ouverts à mesures imparfaites : matrices densité
2.2.1 Motivations
2.2.2 Notion d’opérateur densité
2.2.3 Adaptation des équations d’évolution aux matrices densité
2.2.4 Mesures non lues et mesures imparfaites
2.3 Trajectoire quantique et estimation de paramètres
2.3.1 Cadre général de la thèse
2.3.2 Filtre réel et filtres approchés
3 Tomographie d’état
3.1 Introduction
3.2 Préliminaires mathématiques
3.2.1 Notations utilisées
3.2.2 Probabilité des trajectoires de mesure
3.2.3 États adjoints
3.3 Estimation par Maximum de Vraisemblance
3.3.1 Contexte de l’optimisation
3.3.2 Comportement asymptotique et variance d’estimation
3.4 Passage à l’estimation bayésienne
3.4.1 Principe de l’estimation bayésienne
3.4.2 Comparaison avec le Maximum de Vraisemblance
3.5 Validations expérimentales
3.5.1 Cas d’un champ de photons : mesures discrètes
3.5.2 Cas d’un qubit : mesures diffusives
4 Estimation de paramètres et filtres particulaires
4.1 Introduction
4.2 Robustesse des filtres particulaires
4.2.1 Filtres particulaires
4.2.2 Description du système par filtre étendu
4.2.3 Robustesse de l’estimation par Maximum de Vraisemblance
4.3 Généralisation de la notion de robustesse
4.3.1 Extension à un espace de valeurs de paramètre possibles
4.3.2 Extension aux trajectoires de mesure successives
4.4 Filtre particulaire à temps continu et discrétisation
4.4.1 Filtre particulaire continu
4.4.2 Filtre particulaire discrétisé
4.5 Validations expérimentales
4.5.1 Estimation de l’efficacité de détection
4.5.2 Estimation du temps de relaxation
5 Conclusion

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