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Système dynamique
Chapitre 3 Systeme dynamique non lineaire
Dans ce chapitre, on considere des systemes d’EDO couplees non lineaires : dXdt = (X),X 2 S R2 Ou est une fonction non lineaire contin^ument di erentiable d’un ouvert de R2 dans R 2 . Par rapport a ce que nous avons vu pour les systemes lineaires, il va falloir raisonner de maniere locale au voisinage des points d’equilibre ( methode de linearisation), et nous verrons que le portrait de phase global n’est pas toujours une replique exacte du portrait de phase local au voisinage des points d’equilibre.Définition Le point d’equilibre du systeme lineaire dXdt = AX est dit hyperbolique si les valeurs propres de A ont toutes une partie reelle non nulle. Dans le cas contraire, le point d’equilibre est dit non hyperbolique[2].
Definition Soit le systeme lineaire dXdt = AX (1).
Le systeme lineaire dXdt = BX (2) est dit voisin du precedent(1) si on peut ecrire :
B=A+ « 11 « 12
« 21 « 22
Avec : » << 1
Theoreme Si le point d’equilibre (0; 0) est hyperbolique pour (1), alors les systemes lineaires (1) et (2) restent topologiquement equivalents(de m^eme nature), a condition que les « i soient su samment petits. Dans ce cas, le point d’equilibre est aussi hyperbolique pour (2) [2].
Theoreme( stabilite structurelle et hyperbolicit ) Si le point d’equilibre (0; 0) n’est pas hyperbolique pour (1), alors les systemes lineaires (1) et (2) ne sont pas topologiquement equivalents et le point d’equilibre est hyperbolique pour (2).
L’hyperbolicit se conserve pour des petites perturbations. On dit que les points d’equilibre hyperboliques sont structurellement stables, a l’inverse des points d’equilibre non hyperboliques ; par exemple, les centres ne sont pas structurellement stables [2].
Remarque Il ne faut pas confondre stabilite structurelle d’un systeme dynamique et stabilite neutre d’un point d’equilibre.
Les bifurcations
Les systemes d’equations di erentielles parametrees peuvent avoir di erents comportements asymptotiques ( tendre vers un equilibre, un cycle limite…) en fonction des valeurs de leurs parametres. Il peut donc exister certaines valeurs pour lesquelles le comportement du systeme passe d’un etat qualitatif a un autre ( l’attracteur du systeme etait un equilibre et devient un cycle par exemple). Ce changement d’etat qualitatif est une bifurcation et la valeur du parametre associee est appelee valeur de bifurcation. Sur un intervalle de valeurs d’un parametre qui contient une valeur de bifurcation, un systeme est donc structurellement instable. L’analyse de bifurcations a pour objectif de localiser ces eventuelles valeurs particulieres des parametres[1].
De nition Une bifurcation d’un systeme dynamique, c’est une modi cation de la nature de ses points stationnaires ou de ses cycles limites ( stabilite ou instabilite d’une ou plusieurs solutions suivant les conditions initiales) due au changement de la valeur d’un parametre du systeme,qui est le parametre de bifurcation. L’analyse de bifurcation (ou de continuation-bifurcation si on fait varier continument le parametre de bifurcation) d’un systeme dynamique dXdt = F (X; a) en fonction du parametre de bifurcation a consiste a etudier le comportement asymptotique des solutions X(t) pour t! 1 , solutions stationnaires, cycles limites ou explosion [1].
Les différentes types de bifurcations
Bifurcation selle-n ud
Cette bifurcation correspond a l’apparition simultanee de deux points d’equilibre, l’un in-stable (un point selle) et l’autre asymptotiquement stable (un n ud). D’une maniere generale, cette bifurcation se produit lorsque deux isoclines de natures di erentes, c’est-a-dire l’une ver-ticale dxdt et l’autre horizontale dydt = 0, initialement disjointes, deviennent tangentes (a la bifur-cation) et se coupent ensuite en deux points d’equilibre qui apparaissent [2].
Il n’admet aucun point d’equilibre. La variable x est toujours croissante. La variable y est croissante pour les y < 0 et decroissante pour les y > 0 . La gure suivante montre le portrait de phase correspondant .
Bifurcation fourche
Dans ce cas et suivant la valeur du parametre de bifurcation, le nombre de points d’equilibres du systeme passe de trois a un. Premierement, nous avons un point selle entour de deux n uds asymptotiquement stables, ensuite, le systeme n’admet qu’un seul point d’equilibre asymptoti-quement stable ; l’origine [2].
Exemple : On considere le systeme dynamique suivant :
8 dx = x( c x2)
dt (3.9)
> dy
< = y
> dt
:
Alors, a nouveau, trois cas doivent ^etre distingues selon le signe du parametre c :
Si c > 0, dans ce cas, le systeme dynamique n’admet qu’un unique point d’equilibre, l’origine.
La matrice Jacobienne en ce point s’ecrit :
A = 0c 01
Elle admet deux valeurs propres reelles et negatives 1 = c et 2 = 1. L’origine est donc un n ud asymptotiquement stable .
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Table des matières
1 Introduction et préliminaires
2 Systèmes dynamiques linéaires
2.1 Etude des systèmes dynamiques linéaires autonomes
2.1.1 Formes de Jordan réelles dans R2
2.2 Typologie des solutions des systèmes linéaires planaires
2.2.1 Cas de deux valeurs propres réelles distinctes :1 et 2
2.2.2 Cas d’une valeur propre double :0
2.2.3 Cas de deux valeurs propres complexes conjuguées : 1;2 =
3 Système dynamique non linéaire
3.1 Linéarisation au voisinage d’un point d’équilibre
3.2 Les bifurcations
3.3 Les différentes types de bifurcations
3.3.1 Bifurcation selle-noeud
3.3.2 Bifurcation fourche
3.3.3 Bifurcation verticale :
3.3.4 Bifurcation generique de Poincaré-Andronov-Hopf
4 Application en domaine biologique
4.1 Introduction
4.2 Définition et description de la peau et ses différentes fonctions
4.3 Modèle mathématique de la croissance de la peau
4.4 Etude théorique du système
4.4.1 Les points stationnaires du système
4.5 Simulation numérique du système
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