Système d'équations différentielles

Système d’équations différentielles

Exemple illustrant la notion de stabilité

Les concepts de stabilité asymptotique, la stabilité et l’instabilité peuvent être facilement visualisées à l’aide d’un pendule oscillant ou bien ce qu’on appelle pendule simple. Considérons la conguration représentée suivante : Où m est une masse xée à l’extrémité d’une barre rigide d’une longueur L et sans poids. L’autre extrémité de la tige est supportée à l’origine O, et la tige est libre de tourner dans le plan du papier. La position du pendule est décrite par l’angle θ entre la tige et la direction verticale vers le bas. Le sens inverse des aiguilles d’une montre est considéré comme positif. La force gravitationnelle mg agit vers le bas, tandis que la force d’amortissement c| dθ dt|, où c est positif, est toujours opposée à la direction du mouvement, nous supposons que θ et dθ dt sont tous les deux positifs. L’équation du mouvement peut être rapidement déduite du principe du moment angulaire ou par la deuxième loi de Newton, donc l’équation régissant où n est un entier. Ces points correspondent à deux positions d’équilibre physique, l’une avec la masse directement en-dessus du point d’appui (θ = 0)
et l’autre avec la masse directement au-dessus du point d’appui (θ = π). Notre intuition suggère que le premier est stable et le second est instable. Plus précisément, si la masse est légèrement déplacée de la position d’équilibre inférieure, elle va osciller d’avant en arrière avec la diminution de l’amplitude progressivement, éventuellement le pendule va approcher de sa position d’équilibre et l’énergie potentielle initiale est dissipée par la force d’amortissement. Ce type de mouvement illustre la stabilité asymptotique. D’autre part, si la masse est légèrement déplacée de la position d’équilibre supérieure, elle sera rapidement tombée, sous l’inuence de la gravité, et va nalement s’approcher de la position d’équilibre plus faible dans ce cas également. Ce type de mouvement illustre l’instabilité. Dans la pratique, il est impossible de maintenir le pendule dans sa position d’équilibre vers le haut, pour toute longueur de temps sans un mécanisme de contrainte externe car la moindre perturbation provoquera la tombée de la masse.

Notions de stabilité d’équilibre

Notez que la stabilité asymptotique est une propriété plus forte que la stabilité, puisqu’ un point d’équilibre doit être stable avant que nous puissions parler de asymptotiquement stable. D’autre part, la condition 2 dans la dénition (2.2.0.5) n’implique pas la stabilité en général, car on peut construire des exemples dans lesquels la condition 2 dans la dénition (2.2.0.5) est vériée sans que le point d’équilibre a soit stable Mais dans le cas linéaire à coefficients constants on va montrer que cette conditon implique la stabilité asymptotique.

Equation autonome

Lorsque f ne dépend pas explicitement du temps, mais seulement de y(t), on dit que l’équation diérentielle est autonome. Le système étudié est alors invariant par translation dans le temps, c-à-d si y(t) est une solution d’une équation diére ntielle autonome, la solution décalée dans le temps, y(t−t0), est également solution. Dans le cas général des équations non autonomes, la trajectoire suivie au cours du temps ne dépend pas seulement de la position initiale, mais également de l’instant de départ. Il est possible d’associer une équation autonome dans R n+1 à une équation non autonome dans R n d’après le théorème suivant : Théorème 1.3.0.2 : Toute équation non autonome d’ordre n peut être transformée en une équation autonome d’ordre n+1 par adjonction d’une variable supplémentaire v(t) ≡ t

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Table des matières

Généralités sur les EDO 
Dé nitions
Equation diérentielle 
Système d'équations diérentielles 
Equation diérentielle linéaire 
Equation autonome 
Problème de Cauchy 
La résolvante 
L'espace vectoriel des solutions 
Stabilité des points d'équilibres 
Notions du point d'équilibre
Notions de stabilité d'équilibre 
Exemple illustrant la notion de stabilité
Résultat fondamental 
Stabilité des équations diérentielles en dimension un 
Stabilité d'un point d'équilibre 
Stabilité des systèmes linéaires 
Rappel 
Dénitions de base 
Rappel d'algèbre 
Résultat fondamental
Stabilité du système linéaire à coe‑cient constant
Pour les systèmes linéaires en dimension 
Pour les systèmes linéaires en dimension deux 
Stabilité des systèmes homogénes à coe‑cient constant d'ordre n 
Stabilité du système linéaire à coe‑cients variables 
Stabilité du système avec second membre 
Perturbations linéaire