Soutenance mémoire
Observation et Commande
Observateurs pour les systèmes non linéaires
La connaissance des variables d’état d’un système dynamique est primordiale d’une part pour la mise en œuvre de lois commande par retour d’état ou par retour de sortie et d’autre part pour délivrer des informations pertinentes sur l’état de fonctionnement du procédé. Hors, d’un point de vue pratique, il est souvent très difficile, voire impossible d’avoir accès à l’ensemble des variables et cela pour des raisons économiques, technologiques ou même de faisabilité. C’est particulièrement le cas des bioprocédés pour lesquels deux problématiques se posent : certaines variables ne sont pas physiquement mesurables (par exemple les vitesses de réaction) et la mesure de certaines concentrations ne peut être réalisée qu’au moyen d’appareillage extrêmement onéreux. C’est ainsi que la conception d’observateurs d’état a fortement mobilisé la communauté scientifique durant les dernières décennies. Les premiers articles traitants de la synthèse d’observateurs ont été publiés au début des années 60 par Kalman ([Kalman 60]) et par la suite par Luenberger ([Luenberger 71]). Ils portent sur la synthèse d’observateurs d’état pour les systèmes linéaires et invariants dans le temps dans un contexte déterministe ou stochastique. L’extension directe de ces résultats au cas non linéaire est obtenue à l’aide d’une linéarisation locale à l’ordre un de la dynamique du système : c’est la philosophie du filtre de Kalman étendu [Kalman et Bucy 61]. Toutefois, la stabilité globale de cet observateur en présence de fortes non-linéarités n’a pas été prouvée et ses performances ont été régulièrement mises en défaut en pratique.
La conception des observateurs non linéaires a débuté dans les années 70 ([Slotine et al. 86], [Gauthier et Bornard 80], [Gauthier et al. 92], [Bornard et Hammouri 91], [Busawon et al. 98], [Krener et Isidori 83], [Krener et Respondek 85], [Gauthier et Kupka 94]). Les premiers observateurs à apparaître consistaient en une synthèse pour une classe de systèmes dont les nonlinéarités sont linéarisables par injection de sortie ou à l’aide de transformations d’état qui les rendent dépendantes uniquement des entrées et des sorties disponibles ([Krener et Isidori 83], [Krener et Respondek 85]). Le défaut majeur de cette approche réside dans le fait que ces transformations ne sont pas toujours réalisables et que structurellement la non-linéarité peut dépendre de l’état du système indépendamment de la base choisie. Leur application est donc réservée à une classe réduite de systèmes non linéaires.
Plusieurs approches ont par la suite été explorées pour étendre la classe de systèmes considérée. Parmi celles-ci, citons tout d’abord les observateurs à mode glissants qui ont largement été étudiés et appliqués. Leurs difficultés de mise en oeuvre ont justifié d’une part l’apparition de différentes variantes concernant le choix de la fonction mathématique utilisée et d’autre part une extension aux ordres supérieurs. L’observateur grand gain continu a été initié par [Gauthier et al. 92] pour la classe de systèmes pouvant se mettre sous la forme canonique de Brunovski. Contrairement à l’approche proposée dans [Krener et Isidori 83], la non linéarité peut maintenant dépendre de l’état du système, mais doit présenter une structure triangulaire inférieure. L’observateur assure une estimation précise des états avec une synthèse accessible à des non-automaticiens ([Dabroom et Khalil 01], [Farza et al. 04], [Farza et al. 05], [Nadri 01]). L’implémentation est similaire à celle d’un observateur linéaire et le réglage du terme correctif est assuré par un seul paramètre de synthèse.
Observateurs pour les systèmes non linéaires à sortie échantillonnée
La mise en oeuvre des observateurs non linéaires est souvent réalisée à partir de leur forme continue issue de l’étape de synthèse et fait appel aux routines d’intégration numérique. Les performances obtenues sont donc fortement dépendantes de la période d’échantillonnage utilisée. Dans le cas où les contraintes instrumentales ne permettent pas de rendre cette dernière négligeable par rapport à la dynamique du système, l’observateur perd ses propriétés de convergence. Pour faire face à ce problème de l’échantillonnage, plusieurs solutions ont été proposées. Une première approche consiste à effectuer la synthèse à partir d’une description discrétisée des dynamiques du système ([Farza et al. 98], [Arcak et Nesic 04], [Krener et Kravaris 01]). L’inconvénient majeur de cette approche réside dans le fait qu’elle ne prend pas en considération les dynamiques inter-échantillonnées [Karafyllis et Kravaris 09]. D’autre part, la discrétisation du système peut souffrir d’éventuelles erreurs qui peuvent se répercuter lors de l’utilisation de l’observateur dans le cadre d’une structure de commande. Une autre approche consiste à conserver une méthode de synthèse continue tout en considérant que les sorties ne sont disponibles qu’aux instants d’échantillonnage. Une première contribution a été proposée dans ce contexte [Deza et al. 92] utilisant un observateur grand gain pour une classe de systèmes non linéaires observable pour toute entrée. La conception a été effectuée dans un premier temps en supposant que les sorties sont continues et ensuite modifiée de manière appropriée pour résoudre le cas où les sorties sont discrètes. Dans le même esprit, de nombreux autres observateurs ont été proposés ([Nadri et al. 04], [Hammouri et al. 06], [Andrieu et Nadri 10]).
Une autre approche plus récente pour faire face à la non-disponibilité des mesures entre les instants d’échantillonnage a été proposée dans [Karafyllis et Kravaris 09]. Elle consiste à synthétiser un observateur continu associé à un prédicteur qui reconstruit la trajectoire de la sortie entre deux instants d’échantillonnage en utilisant les estimations des états à priori. Ce prédicteur est obtenu en résolvant numériquement une équation différentielle scalaire ordinaire (ODE) entre deux instants de mesure successifs. La prédiction est recalée sur les mesures aux instants d’échantillonnage. L’observateur sous-jacent a donc une structure hybride qui hérite des propriétés du continu pour des périodes d’échantillonnage relativement petites. Une nouvelle approche pour la conception d’observateurs pour une classe de systèmes non linéaires particulière avec des mesures discrètes a été également proposée dans [Raff et al. 08]. La synthèse consiste à utiliser une structure impulsive pour le terme de correction exprimée par le produit d’une constante de gain avec la différence entre les valeurs estimées et les valeurs mesurées aux instants d’échantillonnage. L’analyse de convergence de l’observateur ainsi que la détermination de son gain sont obtenues en utilisant des outils de LMI similaires à ceux décrits dans [Naghshtabrizi et al. 08]. Dans le cadre des travaux de cette thèse, nous nous sommes intéressés dans un premier temps à la problématique de la synthèse d’observateurs pour une classe de systèmes uniformément observables à entrée inconnue et dont la sortie n’est disponible qu’aux instants d’échantillonnage [Farza et al. 14]. Par comparaison aux approches précédemment évoquées, l’objectif consiste à proposer un observateur de structure plus simple et identique à celle de l’observateur grand gain traditionnel. L’ultime motivation est la recherche d’unification de structure des observateurs non linéaires pour les cas des systèmes continus et ceux à sortie discrétisée. Ceci permet en outre de bénéficier de la simplicité de réglage héritée de l’observateur grand gain continu. Toutefois, nous montrons que cet observateur peut s’écrire sous la forme proposée dans [Karafyllis et Kravaris 09] faisant apparaître explicitement le prédicteur de sortie. Cette problématique est particulièrement motivée par l’application concernée, en l’occurrence la régulation du taux d’oxygène dissout dans un bioréacteur sous la contrainte de l’indisponibilité des mesures entre deux instants d’échantillonnage. Les erreurs de modélisation particulièrement critiques dans le cas du génie des procédés nous ont conduits à proposer une extension de ces travaux pour le cas des systèmes incertains.
Observateur des systèmes non linéaires avec sortie retardée
Au cours des deux dernières décennies, des efforts considérables ont été consacrés à l’étude du problème d’observation pour les systèmes présentant un retard. Une attention particulière a été portée au cas des systèmes linéaires ([Gu et al. 03], [Hou et al. 02], [Kharitonov et Hinrichsen 04], [Mondie et Kharitonov 05]), alors que très peu de résultats ont été établis pour les systèmes non linéaires ([Raff et Allgower 07], [Mazenc et Niculescu 01], [Trinh et al. ], [Seuret 06]…). Dans la majorité des ouvrages traitant ce problème, le retard est appliqué sur les états des systèmes. Hors d’un point de vu pratique, les procédés fonctionnent de manière autonome et les mesures ne sont pas disponibles instantanément. Elles sont entachées de retard provoqué généralement par les capteurs. En particulier, dans le cas des bioréacteurs, les mesures des concentrations de certains constituants sont accessibles après un long traitement de laboratoire. Les contributions traitant le problème d’observation pour les systèmes dont le retard intervient sur la sortie sont très rares. Une des approches les plus prometteuses est apportée dans [Germani et al. 02] où les auteurs ont proposé un observateur pour une classe de systèmes non linéaires particulière dont la sortie est disponible avec un retard constant τ .
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Table des matières
Introduction générale
I Etude bibliographique
1 Observation et Commande
1.1 Observateurs pour les systèmes non linéaires
1.2 Observateurs pour les systèmes non linéaires à sortie échantillonnée
1.3 Observateur des systèmes non linéaires avec sortie retardée
1.4 Commande
2 Application au bioréacteur
2.1 Pilotage
2.2 Régulation de l’oxygène
3 Conclusion
Références bibliographiques
II Modélisation des Bioréacteurs
1 Définition
2 Généralités
3 Modes de fonctionnement
4 Les micro-organismes ( Catalyseurs )
5 Modèle micro-biologique
6 Importance de l’oxygène
6.1 Modélisation du coefficient de transfert d’oxygène Kla
6.2 Identification expérimentale du Kla
6.3 Vitesse de consommation : rO2
7 Conclusion
Références bibliographiques
III Observateurs pour les systèmes non linéaires
1 Introduction
2 Observateur grand gain continu
2.1 Introduction
2.2 Étude préliminaire
2.3 Synthèse de l’observateur
2.4 Conclusion
3 Observateur grand gain continu-discret
3.1 Introduction
3.2 Étude préliminaire
3.2.1 État de l’art
3.2.2 Lemme technique
3.2.3 Cas particulier où F(t) = Ip
3.3 Synthèse de l’observateur
3.3.1 Forme exponentielle
3.3.2 Forme avec prédiction de sortie
3.4 Exemple de simulation
3.5 Conclusion
4 Observateur pour les systèmes non linéaires incertains avec sortie échantillonnée
4.1 Introduction
4.2 Synthèse pour les systèmes continus
4.3 Lemme technique
4.4 Synthèse pour les systèmes à sortie échantillonnée
4.5 Exemple de simulation
4.6 Conclusion
5 Observateur pour les systèmes non linéaires à sortie retardée
5.1 Introduction
5.2 Étude préliminaire
5.3 Synthèse de l’observateur
5.3.1 Structure du prédicteur
5.3.2 Détermination du gain de prédiction
5.3.3 Théorème principal
5.4 Exemple de simulation
5.4.1 Exemple du bioréacteur
5.4.2 Comparaison des résultats
5.5 Conclusion
6 Conclusion
Références Bibliographiques
IV Loi de Commande Non-linéaire pour la régulation du taux d’oxygène dissout dans un bioréacteur
Conclusion générale
