Synthèse d’observateurs pour des classes de systèmes non linéaires

En dépit d’une activité de recherche intense et continue pour la synthèse d’observateurs (classiques) pour les systèmes non linéaires multi-sorties (cf. par exemple Bornard et Hammouri [1991a], Ciccarella et al. [1993], Farza et al. [2004], Gauthier et Bornard [1981], Gauthier et al. [1992], Gauthier et Kupka [1994], Hammouri et Farza [2003], Hou et Pugh [1999], Krener et Isodori [1983], Krener et Respondek [1985], Nijmeijer [1981], X.H.Xia et W.B.Gao [1989]), ce problème reste encore ouvert. D’une manière générale, on peut répartir sur cinq classes les différentes approches de synthèse d’observateurs pour les systèmes non linéaires. La première est basée sur le filtre de Kalman et a suscité beaucoup d’intérêts pendant longtemps. Ceci est essentiellement dû à une simplicité relative dans sa mise en oeuvre même pour des systèmes de taille importante. De plus, ce filtre constitue souvent le point du départ pour la synthèse d’observateurs pour de tels systèmes. Toutefois, dans la plupart des cas, on manque de preuve de convergence du filtre. La deuxième approche est basée sur la linéarité de l’erreur. Elle consiste à considérer des transformations appropriées qui mettent le système à étudier sous une forme où les non linéarités ne dépendent que des entrées et des sorties (cf. par exemple Hou et Pugh [1999], Krener et Isodori [1983], Krener et Respondek [1985], Guay [2002], X.H.Xia et W.B.Gao [1989]).

Dans les premiers travaux relatifs à cette approche, une difficulté essentielle réside dans la recherche de la transformation appropriée qui nécessite la résolution de systèmes d’Equations à Dérivées Partielles (EDP). Plus récemment, cette difficulté est surmontée par la proposition d’algorithmes constructifs qui permettent de transformer le système original sous la forme appropriée sans avoir à résoudre de systèmes EDP (Souleiman et al. [2003]). La troisième approche est basée sur des techniques LMI qui s’appuient sur des équations de type Lyapunov ou Riccatti, algébriques ou différentielles (Rajamani [1998]). La synthèse de l’observateur repose alors sur la faisabilité d’un certain nombre d’inéquations matricielles linéaires (Linear Matrix Inequality, LMI). L’inconvénient majeur de cette approche réside dans l’absence dans la plupart des cas de conditions exploitables garantissant la faisabilité des LMI considérés. En effet, la faisabilité de ces LMI devra être vérifiée a priori de manière numérique (Arcak et Kokotović [2001]). La quatrième approche utilise des outils de l’algèbre différentielle. Elle consiste à exprimer les états non mesurées en fonction des sorties, des entrées et de leurs dérivées (par rapport au temps) successives, ces dérivées étant calculées par des différentiateurs numériques (cf. par exemple Diop et Fliess [1991b,a], Fliess et al. [2008]). La cinquième et dernière approche se base sur des formes canoniques observables. La première contribution qui entre dans le cadre de cette approche est celle de (Gauthier et al. [1992]) où les auteurs donnent une condition nécessaire et suffisante pour caractériser les systèmes mono-sorties uniformément observables et elle consiste en l’existence d’une transformation qui mette le système sous la forme triangulaire. Cette forme canonique est ensuite exploitée pour la synthèse d’un observateur à grand gain sous certaines conditions, notamment le caractère global Lipschitz des non linéarités. On notera que le gain de l’observateur proposé est issu de la résolution d’une équation algébrique de Lyapunov et son expression a été donnée. La généralisation de ce résultat aux systèmes multi-sorties a fait l’objet de plusieurs travaux dont notamment (Busawon et al. [1998], Deza et al. [1992], Farza et al. [2004], Gauthier et Kupka [1994], Hammouri et Farza [2003], Hou et al. [2000], Shim et al. [2001], Rudolph et Zeitz [1994]).

Forme canonique observable pour toute entrée

On considère les systèmes qui peuvent se mettre sous la forme suivante :

x˙ = Ax + ϕ(u,x)
y = Cx = x1 (2.1)

Le système (2.1) se compose de plusieurs blocs dont chacun est associé à une composante vectorielle de l’état. La caractéristique principale de ce système réside dans le fait que le premier bloc est associé à toutes les sorties et que les non linéarités du système ont une structure triangulaire, c’est-à-dire la non linéarité d’un bloc ne dépend que des variables propres du bloc ou de celles des blocs supérieurs. Cette forme peut être interprétée comme une généralisation de la forme canonique caractérisant les systèmes mono-sortie uniformément observables (Gauthier et Bornard [1981], Gauthier et al. [1992], Gauthier et Kupka [1994]) . Pour la synthèse de l’observateur, les hypothèses suivantes sont adoptées :

Hypothèse 2.1 La fonction ϕ(u,x) est globalement Lipschitz par rapport à x, localement uniformément en u.

Hypothèse 2.2 L’entrée u est bornée.

Rappelons que l’hypothèse (2.1) est classique et elle est généralement adoptée lors de la synthèse d’observateurs de type grand gain (se référer par exemple à Gauthier et al. [1992], Hammouri et Farza [2003]). Cette hypothèse est bien sûr restrictive par son caractère global. Toutefois, en pratique, la trajectoire du système (physique) reste généralement confinée dans un domaine compact borné Ω ∈ IRn sur lequel les non linéarités sont lipschitziennes. Dans ce cas, il suffit de les étendre sur tout IRn par une fonction globalement lipschitzienne. On pourra se référer par exemple à (Shim et al. [2001], Farza et al. [2004]) où ces problèmes sont traités.

Dans la suite de ce mémoire, on adoptera des hypothèses similaires à (2.1) tout en gardant en mémoire la remarque formulée précédemment.

Classe particulière de SNL MIMO uniformément observable

Nous allons présenter maintenant une classe particulière de systèmes non linéaires uniformément observables qui peut se mettre à l’aide d’une transformation appropriée sous la forme canonique présentée ci-dessus. Toutefois, ceci n’est plus vrai lorsque certaines entrées du système ne sont pas connues. C’est pourquoi nous introduisons cette forme particulière d’observabilité sur laquelle nous nous sommes appuyés dans les chapitres suivants pour la synthèse d’observateurs à entrées inconnues.

Cette classe de systèmes a été considérée par (Hammouri et Farza [2003]) pour la caractérisation d’une classe des systèmes uniformément observables. Les auteurs ont proposé un observateur à grand gain dont la synthèse a été effectuée en deux étapes. Dans la première étape, les auteurs ont introduit un changement de coordonnées qui a ramené le système (2.9) sous la forme canonique (2.1). La synthèse de l’observateur dans les nouvelles coordonnées est immédiate (c’est l’observateur (2.4)) puis les équations de l’observateur dans les coordonnées originales sont données en considérant la pseudo-inverse de la matrice jacobienne. Ce système a ensuite été reconsidéré par (Farza et al. [2005]) où les auteurs ont proposé une version légèrement modifiée de l’observateur présenté dans (Hammouri et Farza [2003]). En effet, la nouvelle version ne nécessite pas l’inversion de toute la matrice jacobienne mais que des termes diagonaux de cette matrice. Nous proposons dans ce qui suit de donner la transformation qui permet de transformer le système (2.9) sous la première forme canonique ainsi que les équations de l’observateur modifié dans les nouvelles coordonnées et les coordonnées originales.

Table des matières

1 Introduction
2 Rappel de quelques formes observables
2.1 Forme canonique observable pour toute entrée
2.2 Classe particulière de SNL MIMO uniformément observable
2.3 Classe particulière de systèmes incertains
2.3.1 Synthèse d’observateur
2.3.2 Analyse de convergence
3 Synthèse d’observateurs pour une forme non triangulaire
3.1 Classe du système
3.2 Préliminaires
3.2.1 Observabilité pour toute entrée
3.2.2 Quelques définitions et notations
3.2.3 Discussion de la classe de systèmes considérée
3.3 Synthèse de l’observateur
3.4 Exemple
3.5 Conclusion
4 Observateurs à entrées inconnues
4.1 Introduction
4.2 Formulation du problème
4.3 Cas d’une entrée inconnue
4.3.1 Cas où ρ1 < q
4.3.1.1 Système augmenté
4.3.1.2 Changement de coordonnées
4.3.1.3 Equations de l’observateur dans les nouvelles coordonnées
4.3.1.4 Equations de l’observateur dans les coordonnées originales
4.3.1.5 Exemple
4.3.1.6 Résultats de simulation
4.3.2 Cas où ρ1 = q
4.4 Cas de plusieurs entrées inconnues
4.4.1 Cas où ρr < q
4.4.1.1 Système augmenté
4.4.1.2 Equations de l’observateur dans les coordonnées originales
4.4.1.3 Exemples
4.4.1.4 Résultats de simulation
4.4.2 Cas où ρr = q
4.4.2.1 Système augmenté
4.4.2.2 Equations de l’observateur dans les coordonnées originales
4.5 Conclusion
5 Synthèse d’un observateur adaptatif
5.1 Introduction
5.2 Formulation du problème
5.2.1 Quelques préliminaires
5.2.2 Synthèse de l’observateur
5.2.3 Analyse de la convergence
5.3 Exemple
5.4 Conclusion
6 Conclusions et perspectives
Bibliographie

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