Soutenance mémoire
La mer et les océans sont un univers particulier, parcouru à la fois pour des motifs économiques, sociaux, stratégiques, mais aussi de loisir. Le transport de marchandises, de pétrole, de minerai, les croisières touristiques, sont autant d’éléments importants des échanges commerciaux mondiaux. Tout aussi importants sont les transports des passagers, pour relier les hommes entre eux : d’une île à l’autre, d’un bord à l’autre d’un détroit, d’une mer, d’un océan. L’occupation et la surveillance de cet univers est cruciale du point de vue stratégique. Enfin, les océans sont un espace de loisir au travers des croisières, des compétitions sportives ou simplement du plaisir de naviguer à la voile ou à moteur.
Toutes ces activités sont soumises aux alea de la météorologie et de la mer. La houle, les courants, le vent sont des phénomènes à prendre en compte avant de prendre la mer, car ils ont une influence considérable sur l’utilisation des navires. La croisière touristique, sympathique sur une mer calme deviendra vite un enfer sur une mer démontée ; de la même façon, le transport de matières dangereuses, sûr par temps calme, se révélera périlleux et nocif pour la mer elle-même dans ces conditions de mer difficiles. Chaque navire a un domaine d’opération, en dehors duquel son utilisation est délicate : ce domaine est défini en fonction de l’état de la mer (la hauteur des vagues, leur période, leur direction), du vent, des courants, de la vitesse et de la direction du navire par rapport à la mer. En fonction de ses nécessités d’utilisation, chaque navire est équipé de dispositifs permettant d’automatiser les manœuvres : pilote automatique, dispositif de manœuvres à basse vitesse, système de positionnement dynamique, système de stabilisation, etc. Ces systèmes permettent d’élargir le domaine d’utilisation opérationnelle des navires.
L’environnement – la houle
Les éléments de théorie présentés ici sont simples ; il est évident que la description fine de la houle dépasse de beaucoup le cadre de ce mémoire. De plus, une connaissance très précise du comportement dynamique de l’eau devient rapidement aussi très complexe, et ne permet pas d’apporter simplement de la précision dans la connaissance du comportement du navire. Aussi ne donnerons nous qu’une vue d’ensemble de la modélisation de la houle pour permettre la compréhension des forces agissant sur le navire .
Description de la houle
Pour commencer, voici la définition du dictionnaire Petit Larousse 1994 : « Houle n.f. (germ. hol : creux). Mouvement ondulatoire de la mer, sans déferlement des vagues. » .
La réalité est en fait un peu plus complexe, mais cette définition retient l’essentiel. Le mouvement de la surface de l’eau constitue le phénomène le plus important quand on veut représenter la houle : c’est la partie visible et mesurable pour un œil humain autant que pour un « œil » électronique ; il permet de calculer les efforts subis par le navire. Mais ça n’est pas tout : les mouvements des particules du fluide, s’il sont apparents en surface, existent aussi dans tout l’espace où le fluide est présent, même si leur amplitude décroît très rapidement avec la profondeur. C’est aussi par la surface que se forme la houle : le phénomène qui génère la houle est l’action du vent sur l’eau : lorsqu’il souffle sur une zone étendue (appelée le fetch) pendant longtemps, il se forme à la surface de la mer des rides, puis des vagues, qui se propagent. D’abord de faible longueur d’onde, donc de fréquence assez élevée, les vagues deviennent plus régulières au fur et à mesure du temps et de leur propagation. Une fois le vent tombé, ou lorsqu’elles sont sorties de la zone d’action du vent, les vagues ont une longueur d’onde plus longue, de l’ordre de 100 à 200 mètres ; le signal de la hauteur de la surface en un point est assez régulier (mais néanmoins pas sinusoïdal) : la houle est formée.
Notion d’état de mer
Les navires – et généralement les structures, par exemple des plates formes pétrolières – subissent des efforts dus à la houle variant dans le temps. Deux échelles de temps caractérisent ces efforts : une période courte, de l’ordre de quelques secondes, qui correspond à la succession des vagues, aux variations mécaniques de la surface de la mer ; et une période plus longue, de l’ordre de quelques dizaines de minutes, qui correspond aux changements des caractéristiques moyennes des vagues. Il y a donc deux échelles de temps possibles pour l’analyse des signaux, et toutes deux ont leur intérêt. On peut premièrement étudier les caractéristiques statistiques des vagues pendant une durée pour laquelle on estime qu’elles ne changent pas (entre 20 minutes et 3 heures). Cette analyse permettra de déterminer l’état de la mer, que l’on range dans une classification : mer calme, belle, peu agitée, agitée, forte, grosse… Sans connaître la forme exacte de la mer, on a alors une idée de la hauteur des vagues et de leur période, ce qui permet de décider de sortir en mer ou pas ou d’éviter une zone trop agitée.
La deuxième analyse possible étudie les évolutions sur une plus longue période des grandeurs calculées précédemment. Elle permet de répondre aux questions suivantes : quelles sont les variations à l’échelle du mois, de l’année, de la décennie, des états de mer ? Quelle est la probabilité, mi novembre, dans le golfe de Gascogne de trouver une mer belle ? Nous nous intéressons essentiellement ici à la première analyse : elle permet de simuler les efforts dus à la houle dans le domaine temporel.
Pour pouvoir mener l’analyse de la houle, il faut posséder des mesures. À cette fin, on enregistre l’élévation de surface de la mer en un point fixe (par une bouée). Le signal est ensuite analysé dans le domaine temporel ou décomposé par transformée ou série de Fourier (analyse spectrale). Ces caractéristiques définissent l’état de mer. Du spectre ou de l’analyse statistique, on déduit des propriétés importantes : période moyenne des vagues, hauteur significative, fréquence de dépassement d’un seuil .
Approche mathématique de la houle régulière
Introduction
Même si la partie visible de l’onde est la déformation de la surface de la mer, l’ensemble du fluide est en mouvement. De fait, le problème de la propagation de la houle est un problème global : le comportement du fluide est décrit par des variables dépendant du temps et de l’espace : pressions, vitesse, hauteur de la surface… Sous certaines hypothèses, toutes ces variables peuvent être déduites d’une seule grandeur appelée potentiel, qui obéit à des équations aux dérivées partielles. La particularité de ces équations, au delà de la difficulté à les résoudre, est d’avoir des solutions dépendant de conditions aux limites et de conditions initiales – notons que la carène du navire lui-même impose une condition aux limites…
Formulation mathématique
Nous considérons un fluide parfait incompressible, en écoulement irrotationnel. Sous ces hypothèses, l’écoulement est dit potentiel, et les différentes caractéristiques du fluide – vitesses des particules d’eau, pression – dépendent uniquement d’une fonction des variables de temps et d’espace Φ, appelée potentiel. De plus nous faisons la supposition, sans perte de généralité dans notre cas, que l’écoulement est bidimensionnel, dans un plan vertical. Les variables spatiales concernées sont x et z : le potentiel est donc écrit Φ(t,x,z). Le fond est supposé horizontal et plat ; sa profondeur est notée -d.
Houle irrégulière
La houle réelle est irrégulière, et n’est jamais simplement monochromatique. On la représente comme la superposition d’un grand nombre d’ondes régulières élémentaires. La superposition est possible en raison du caractère linéaire des équations différentielles et des conditions aux limites utilisées. L’amplitude et la direction de chaque onde élémentaire sont définies par la donnée du spectre de puissance (A.4) ou (A.5) qui définit l’état de mer (dans le premier cas, il faut également définir la direction de propagation de la houle).
Dynamique du navire sur la houle
La dynamique du navire est avant tout celle d’un solide rigide. A partir du théorème fondamental de la dynamique, on peut tirer des équations différentielles relativement simples qui régissent son mouvement. Les choses se gâtent lorsqu’on calcule les efforts qui s’appliquent sur la carène. Suivant le but de l’étude, les forces considérées seront différentes, et le raffinement dans leur description plus ou moins poussé : le détail des forces d’Archimède n’a pas d’utilité dans l’étude de la régulation du cap. A l’inverse, elle est primordiale quand on s’intéresse à un sous-marin… La définition des objectifs finaux de l’étude est donc essentielle dans la façon de calculer le modèle. D’autant plus que son utilisation en commande impose que le modèle final soit utilisable pour la synthèse des lois de commande.
On distingue ici deux classes de problèmes dans l’étude de la dynamique des navires, suivant la vitesse d’évolution et les objectifs finaux de l’étude : manœuvrabilité et tenue à la mer. Dans le premier cas, on s’intéresse aux problèmes de comportement du navire dans le plan horizontal : le navire évolue sur un plan d’eau au repos, et l’on s’intéresse à ses qualités manœuvrières, pilotage automatique, suivi de route, accostage automatique, positionnement dynamique…
Pour la tenue à la mer, les aspects dynamiques dus aux manœuvres dans le plan horizontal deviennent secondaires : le navire n’évolue plus sur une mer au repos mais sur la houle, et on suppose en général que la direction et la vitesse du navire sont constantes. On ne cherche plus à maîtriser les mouvements du navire pour lui faire suivre une trajectoire donnée (variable ou bien fixe) mais à atténuer au maximum les mouvements dus à la houle. C’est ce problème qui nous intéressera dans la suite de ce mémoire. Il est actuellement difficile de simuler un navire correctement dans toutes les situations de son évolution sur la mer, et c’est la raison de la distinction précédente. Le couplage des modèles de manœuvrabilité et de tenue à la mer apporte des difficultés théoriques qui se résument dans l’impossibilité d’écrire un modèle analytique.
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Table des matières
Introduction
Partie A Modélisation
Chapitre I Introduction
I.1 Contribution
I.2 Plan de cette partie
Chapitre II L’environnement – la houle
II.1 Description de la houle
II.2 Notion d’état de mer
II.2.a Spectre d’état de mer
II.2.b Analyse du spectre d’état de mer
II.3 Approche mathématique de la houle régulière
II.3.a Introduction
II.3.b Formulation mathématique
II.3.c Solutions du problème linéarisé
II.4 Houle irrégulière
II.5 Simulation de la houle aléatoire
Chapitre III Dynamique du navire sur la houle
III.1 Mécanique du navire
III.1.a Repères de travail
III.1.b Équation fondamentale de la mécanique
III.1.c Description des efforts hydrodynamiques
III.1.d Modèle dynamique
III.1.e Simulation des perturbations
III.2 Efforts produits par des ailerons
III.2.a Incidence véritable
III.2.b Efforts de stabilisation
III.2.c servogouvernes
Chapitre IV Modèles
Partie B Synthèse des correcteurs
Chapitre I Introduction
I.1 Rappels de modélisation
I.2 Lois de commande en atténuation du roulis
I.3 Démarche de synthèse des lois de commande
Chapitre II Calcul des correcteurs pour des points de fonctionnement donnés
II.1 Performances et contraintes définissant le cahier des charges
II.1.a Les performances à atteindre
II.1.b Les contraintes à prendre en compte
II.2 Évaluation pratique des performances et contraintes
II.2.a Choix du domaine de calcul : temporel ou fréquentiel
II.2.b Calcul des puissances moyennes du roulis et de la commande
II.2.c Répartition de la puissance de stabilisation
II.2.d Évaluation des taux de saturation
II.2.e Stabilité
II.3 Optimisation des lois de commande
II.3.a Méthodologie de synthèse
II.3.b Interprétation du cahier des charges
II.3.c Notions d’optimisation multi-objectifs
II.4 Application à la synthèse des correcteurs PID
II.5 Application à la synthèse des correcteurs H∞
II.5.a Modèle standard
II.5.b Description des pondérations
II.5.c Aspects pratiques de la synthèse H∞
II.6 Simulations et comparaisons
II.6.a Conditions de simulation
II.6.b Points de fonctionnement
II.6.c Comparaison des correcteurs
II.6.d Discrétisation des correcteurs H∞
II.6.e Simulateur de mouvements
II.6.f Correcteurs PID adaptés
II.6.g Correcteurs H∞ adaptés
II.6.h Comparaison des performances des correcteurs H∞ et PID
II.7 Conclusion
Chapitre III Synthèse d’un correcteur à gains programmés
III.1 Modélisation d’un système à paramètres variants
III.1.a Représentation affine
III.1.b Représentation polytopique
III.1.c Représentation LFT
III.1.d Performance quadratique H∞ d’un système LPV
III.2 Des techniques de synthèse d’un correcteur à gains programmés
III.2.a Synthèse d’un correcteur polytopique
III.2.b Synthèse d’un correcteur LFT
III.3 Synthèse d’un correcteur polytopique : application à la stabilisation en roulis
III.3.a Choix des points de fonctionnement
III.3.b Réglage des correcteurs à chaque point de fonctionnement
III.3.c Interpolation des résultats de réglage
III.3.d Calcul du modèle standard polytopique
III.3.e Calcul du correcteur polytopique
III.4 Application en simulation
III.4.a Application du correcteur en temps discret
III.4.b Outil de simulation
III.4.c Variations des paramètres pendant une simulation
III.4.d Intérêt de l’adaptation
III.4.e Comparaisons entre correcteur polytopique et correcteur statique
III.5 Conclusion
Partie C Conclusion
Conclusion
Références
