Synthèse bibliographique sur les vibrations et le rayonnement

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Méthodes d’identification modale

Dans le formalisme modal présenté dans l’annexe B chaque mode ν est défini par sa déformée modale ou amplitude modale complexe bν = aν eiϕν (ϕν est la phase modale), sa fréquence modale fν et son coefficient d’amortissement modal ξν. L’identification modale consiste alors à déterminer pour chacun des modes les triplets {bν, fν, ξν} à partir de mesures expérimentales effectuées en différents points de la structure étudiée. Il existe pour cela une multitude de méthodes. Norton [95] les classe dans deux grandes familles : les méthodes fréquentielles et les méthodes temporelles. Le lecteur pourra trouver dans l’ouvrage de Ewins [50] un état de l’art des principales méthodes.
Les méthodes fréquentiel les – Elles opèrent dans l’espace de Fourier. Si le recouvrement est suffisamment faible, chaque résonance peut être étudiée séparément. L’idée est donc de se ramener au cas d’un oscillateur isolé à un degré de liberté (voir l’annexe B). Les triplets modaux se déduisent alors de la mesure de la hauteur, position, et largeur de bande à mi-hauteur du pic de résonance. Des méthodes plus poussées existent telles que la fraction rationnelle complexe, le lissage du cercle (lieu de Nyquist) ou le lissage global (voir l’état de l’art à ce sujet de Piranda [98] notamment). Berthaut a comparé leur efficacité dans [13]. Selon l’auteur, il semble en ressortir qu’aucune ne permet de séparer et d’identifier correctement les paramètres modaux pour des recouvrements modaux de l’ordre de 30% à 50%.
Les méthodes temporel les – Si l’on suppose toujours que les modes sont bien isolés et peu amortis, la structure répond en temps – à la pulsation modale ων– comme un système linéaire à un degré de liberté, et le déplacement s’écrit alors en oscillations libres : wν(x,y,t) = aν(x,y)e−αν t cos (ων t + ϕν(x,y)) (2.1)
Une simple mesure de la constante de temps τν de l’oscillateur fournit alors directement le coeffi-cient d’amortissement ξν = (τν ων)−1. C’est l’idée de base des méthodes temporelles. L’avantage de celles-ci sur les méthodes fréquentielles repose bien sûr dans le fait qu’elles s’affranchissent des limites de la TF en termes de résolution. Les plus efficaces sont la méthode d’Ibrahim (ITD) [50] ainsi que les méthodes d’estimation paramétrique de type sous-espaces. La supériorité de ces der-nières, dites à haute résolution, se révèle particulièrement pour l’analyse de signaux fortement amortis, sur des fenêtre temporelles courtes et pour des fréquences modales proches [79]. Ce sont ces méthodes que nous avons choisi de mettre en œuvre dans notre étude. Elles font l’objet de la section 2.

Modèles prédictifs hautes fréquences – SEA

En hautes fréquences, la réponse ne dépend plus du point d’excitation : la structure peut-être considérée comme infinie. Une manière de voir les choses est de considérer l’admittance au point d’excitation (chapitre 4 section 2.1.1) : l’hypothèse de champ diffus signifie que pour une fréquence d’excitation fexc supposée supérieure à flim la contribution du mode de fréquence la plus proche de fexc est petite comparée à la somme des contributions de tous les autres modes [111]. Pour Lesueur [82] : la réponse sera plus influencée par le « paquet de modes » présents dans la bande excitée que par un mode particulier, [. . .] ce n’est pas la fréquence propre particulière qui sera importante mais le nombre de modes ou paquet de modes touchés par l’excitation. On est alors conduit plutôt à adopter une démarche statistique en effectuant des moyennes fréquentielles [32]. Les approches modales laissent alors place aux approches ondulatoires.
Les méthodes utilisées dans ce domaine fréquentiel sont soit des techniques d’identification des paramètres propagatifs (identification du nombre d’onde complexe dans une direction de propaga-tion donnée), soit des modèles prédictifs (ou méthodes prévisionnelles) qui nécessitent la connais-sance de paramètres de propagation particuliers comme l’amortissement ou l’équation de disper-sion. Toutes supposent un fort recouvrement modal et font appel à une représentation fortemen ondulatoire du comportement. Pour plus de détails nous renvoyons le lecteur à Berthaut [13] qui dresse un état de l’art assez complet des différentes techniques existantes dans ce domaine fré-quentiel. Nous ne citerons ici que la méthode SEA (Analyse Statistique de l’Energie) – née des travaux de Lyon et Maidanik [85], [84] – où les variables considérées ne sont plus cinématiques mais sont des grandeurs énergétiques. C’est une des méthodes les plus utilisées, à la fois dans le domaine académique et le domaine industriel. La SEA formule les échanges vibratoires entre sys-tèmes dynamiques couplés sous la forme d’un bilan de puissance (voir Borello [22] ou Lesueur [82]). Elle repose sur les hypothèses suivantes (Bernier [11]) : une excitation stationnaire ergodique ou harmonique, une densité modale élevée et une répartition égale de l’énergie vibratoire entre les modes. L’utilisation de cette méthode énergétique nécessite en outre de connaître les indicateurs globaux de chacun des sous-systèmes que sont la densité modale, le facteur de pertes par dissi-pation et le facteur de pertes par couplage caractérisant le transfert d’énergie entre les différents sous-systèmes. Or la source d’erreur majeure de la SEA vient précisément de la méthode de calcul de ces facteurs de pertes par couplage qui suppose que l’énergie vibratoire diffuse. C’est cette propriété de diffusion qui permet de passer d’une représentation modale du champ vibratoire à une représentation sous forme d’ondes propagatives [22], simplifiant alors notablement l’analyse du problème. On comprend donc mieux pourquoi la SEA tout comme les autres méthodes propa-gatives donnent des résultats très approximatifs dans les moyennes fréquences où le champ diffus n’est pas vérifié.

Les méthodes paramétriques haute résolution

Le principe des méthodes dites haute résolution (HR) repose sur un modèle paramétrique du signal. Elles supposent que le signal à analyser s(t) est composé d’une somme x(t) de sinu-soïdes dont l’amplitude varie exponentiellement – appelée signal déterministe – et d’un bruit blanc gaussien β(t) : K K s(t) = x(t) + β(t) = ake−αktei(2πfkt+ϕk) + β(t) = bkzkt +β(t) (2.2)
où les bk = akeiϕk sont les amplitudes complexes, les zk = e− αkt+2πifkt sont les pôles complexes et l’entier K est le nombre d’exponentielles complexes. On voit ainsi que ce modèle de signal appelé Exponential Sinusoidal Model (ESM) est adapté à la description de l’amortissement naturel des systèmes vibratoires linéaires libres.
Le principal intérêt des méthodes paramétriques réside dans le fait qu’en l’absence de bruit, elles n’ont pas de limite théorique en termes de résolution spectrale : elles ne sont pas sensibles aux problèmes liés au fenêtrage qui apparaissent avec la transformée de Fourier, d’où le qualificatif haute résolution. Pour Badeau [8] : leur précision et leur résolution fréquentielles sont virtuelle-ment infinies. En contrepartie le prix à payer est une complexité de calcul plus importante selon David [40]. Ainsi en pratique la résolution est finie puisque le temps de calcul est fini. Mise à part leur forte complexité algorithmique, la principale limitation des méthodes HR vient de leur sensi-bilité aux erreurs de modélisation : elles sont bien évidemment inadaptées à l’analyse de signaux qui ne seraient pas proche du modèle ESM.
L’origine des méthodes HR est antérieure à la TF et remonte aux travaux de Prony [103] à la fin du XVIIIème siècle. L’approche qui visait à estimer une somme d’exponentielles par des techniques de prédiction linéaire a été approfondie plus récemment par Pisarenko [99] pour esti-mer des sinusoïdes. Les techniques plus modernes, parmi lesquelles les méthodes MUSIC1 [108], Matrix Pencil [65] et ESPRIT2 [104, 105] s’appuient sur la décomposition de l’espace des données en deux sous-espaces propres de la matrice de covariance : le sous-espace signal engendré par les composantes sinusoïdales et le sous-espace bruit qui est son complémentaire orthogonal. D’après Badeau [8], ces méthodes de type sous-espaces sont connues pour être plus robustes que les tech-niques de prédiction linéaire. En particulier l’étude statistique des diverses techniques d’estimation a montré que la méthode ESPRIT – qui tient compte de la propriété d’invariance rotationnelle du sous-espace signal – est la plus performante [8] (ESPRIT est par exemple moins sensible au bruit3 que les autres méthodes HR). Les différentes étapes de l’algorithme ESPRIT, cœur de notre méthode d’analyse modale aux moyennes fréquences, sont présentées en détail dans l’article High-resolution modal analysis (section 3).

Applications en acoustique musicale et en vibrations des structures

Depuis le développement de l’algorithme ESPRIT en 1986, plusieurs auteurs y ont fait appel dans le domaine de l’acoustique et des vibrations.
Laroche [79] est le premier, en 1993, à mettre en lumière l’efficacité des méthodes HR dans l’analyse de différents types de signaux musicaux : coup de tambour, admittance normale au chevalet d’une guitare et son de piano. L’originalité de son travail repose en particulier dans le préconditionnement des signaux mesurés. Afin de réduire le temps de calcul et augmenter la pré-cision des résultats il propose un conditionnement du signal qui permet de diminuer le nombre de composantes et le nombre de points à analyser par ESPRIT. La technique de démodulation consiste en un filtrage passe bande autour de la bande fréquentielle d’intérêt, un décalage fréquen-tiel vers zéro et une décimation. La méthode montre en particulier son efficacité pour traiter les battements et la décroissance multiple des doublets ou triplets des cordes du piano (phénomène de couplage au chevalet étudié par Weinreich notamment dans [122]).
Le travail de Laroche – précisément la technique de démodulation proposée – a ouvert la voie à plusieurs applications en acoustique musicale. Les auteurs ayant utilisé l’algorithme ESPRIT pour analyser des signaux musicaux sont classés chronologiquement ci-dessous :
1 MUltiple SIgnal Classification
2 Estimation of Signal Parameters via Rotational Invariance Techniques
3La variance de l’estimateur ESPRIT a été calculée par Hua et Sarkar [66] : elle reste toujours très proche de la borne de Cramér-Rao, sa borne inférieure théorique [40].

Proposition d’analyse modale haute résolution

• Lambourg et Chaigne [76] appliquent la méthode ESPRIT pour construire un jeu de filtres reproduisant les termes de la matrice d’admittance au chevalet d’une guitare mesurés suivant deux directions (normale et dans l’axe du chevalet).
• Dérogis [45, 44] estime les fréquences, amortissements et déformées modales des premières résonances d’une table d’harmonie de piano droit.
• David [41, 40] estime le facteur de rayonnement d’une guitare acoustique en comparant les paramètres modaux obtenus par ESPRIT pour la structure vibrante dans l’air et en atmosphère raréfiée.
• Doutaut [43, 30] estime les fréquences et amortissements des lames de xylophone et de vibraphone pour implanter et tester un modèle de synthèse numérique de ces instruments.
• Lambourg [75, 32], à des fins de simulation numérique également, estime les paramètres modaux de plaques vibrantes, notamment en bois d’épicéa destiné à la lutherie de guitare.
Un problème récurrent à toutes ces études réside dans l’évaluation du nombre K de com-posantes présentes dans le signal (voir l’équation 2.2). Une méthode fréquemment employée par les auteurs précédents est de surestimer ce nombre (un ordre de grandeur de la densité modale peut être obtenu grossièrement par une analyse spectrale de Fourier) et d’éliminer dans un second temps les résultats aberrants : composantes de très faible amplitude ou de trop fort amortisse-ment. L’erreur de reconstruction – entre le signal mesuré et celui resynthétisé avec les paramètres modaux estimés – est également un indicateur souvent utilisé. Toutefois ces critères restent très fortement empiriques et trop subjectifs. Or pour Badeau [8] la détermination de l’ordre de mo-délisation est une étape essentielle du processus d’estimation car elle conditionne toute la suite de l’analyse haute résolution du signal. C’est pourquoi il a proposé récemment [8, 9] un critère rigoureux de sélection de K – appelé ESTER4– qui consiste à minimiser l’erreur sur la propriété d’invariance rotationnelle d’une base de l’espace signal en fonction de l’ordre du modèle. Appliqué
à un signal synthétique bruité et à un signal musical (son de piano), Badeau a montré la pertinence de ce critère en comparant ses performances à celles d’autres critères de théorie de l’information classiques. Enfin, munis du critère ESTER, Le Carrou et al. [80, 81] ont dernièrement identifié expérimentalement les modes sympathiques (modes de cordes couplées) d’une harpe de concert.

La méthode

Le critère ESTER couplé à la méthode ESPRIT nous a semblé offrir de nouvelles perspectives dans l’analyse modale aux moyennes fréquences. La possibilité d’estimer de façon précise la densité modale dans ce domaine fréquentiel nous a encouragé à poursuivre dans cette voie et à développer une nouvelle méthode temporelle d’analyse modale basée sur ces techniques de traitement de signal haute résolution.

Schéma-bloc

La procédure est résumée dans le schéma-bloc reproduit à la figure 2.3. Pour ne pas être redondant, nous ne développerons pas ici les étapes de la méthode ; nous renvoyons le lecteur à l’article reproduit à la section 3
Une des principales nouveautés de cette méthode réside dans la reconstruction de la réponse impulsionnelle (complètement indépendante de l’analyse des signaux proprement dite). L’obten-tion expérimentale de la réponse d’une structure peut se faire grâce à l’excitation ponctuelle par marteau d’impact. Comme l’excitation n’est jamais strictement impulsionnelle, chaque réponse doit être au préalable normalisée par l’impulsion qui l’a provoquée. L’analyse modale tradition-nelle procède par division des deux spectres. Il est préférable d’éviter ici cette technique car la division par de très faibles valeurs risque d’introduire des composantes fictives qui seraient ensuite prises en compte par l’analyse paramétrique. Ici, nous estimons donc la réponse impulsionnelle γimp(t) en deux temps [47, 48] :
a) Estimation du filtre g (à réponse impulsionnelle finie) qu’il faudrait appliquer à la force fmeas(t) exercée par le marteau d’impact sur la structure pour que cette force devienne une impulsion.
b) calcul de γimp à partir de la réponse réelle mesurée γmeas et du filtre g estimé précédemment.

Blanchiment du bruit

Les méthodes paramétriques HR sont inadaptées à l’analyse de signaux qui ne seraient pas proches du modèle ESM (équation 2.2). En particulier pour appliquer l’algorithme ESPRIT de ma-nière robuste il est important que le bruit additif soit blanc. La décomposition en sous-bandes que nous effectuons lors du préconditionnement des signaux induit naturellement un effet « blanchis-sant » : dans une bande fréquentielle étroite le bruit peut être considéré en première approximation comme blanc.
Néanmoins une étape supplémentaire de blanchiment du bruit peut parfois être nécessaire, notamment si la bande fréquentielle à analyser est trop large. Une technique simple proposée par Badeau [8] consiste alors à estimer la densité spectrale de puissance (DSP) du bruit pour en déduire un filtre blanchisseur dans chaque sous-bande. Premièrement la DSP du signal original est calculée, puis le spectre est lissé à l’aide d’un filtre de rang que l’on peut choisir insensible aux pics fréquentiels. Dans un filtre de rang les données sont triées par ordre croissant : le filtrage consiste
à sélectionner la valeur dont l’ordre est égal à un rang prédéterminé [8]. Puis un estimateur de la fonction d’autocovariance du bruit est obtenu par transformée de Fourier inverse du spectre filtré. Enfin le filtre blanchisseur qui pourra être appliqué au signal original est calculé par prédiction linéaire sur cet estimateur.

Table des matières

Introduction générale
Chap. 1 La table d’harmonie du piano 
1 Description
1.1 Fonctions acoustique et statique
1.2 Matériau
1.2.1 Quotient de rayonnement et diagramme d’Ashby
1.2.2 Bois de résonance – L’épicéa
1.3 La structure.
1.3.1 Raidisseurs.
1.3.2 Variation d’épaisseur
1.3.3 Chevalets
2 Synthèse bibliographique sur les vibrations et le rayonnement
2.1 Comportement vibratoire aux fréquences basses
2.1.1 Fréquences modales (Wogram, Nakamura, Suzuki, Kindel, Conklin, Dérogis, Berthaut, Moore, Ege).
2.1.2 Densité modale.
2.1.3 Amortissements modaux (Suzuki, Dérogis, Berthaut, Ege)
2.1.4 Déformées modales
2.2 Comportement vibratoire aux moyennes et hautes fréquences
2.2.1 Vibrations inter-raidisseurs
2.2.2 Modes propagatifs (Berthaut)
2.3 Mobilité mécanique (admittance)
2.3.1 Inadaptation d’impédance
2.3.2 Mesures aux chevalets (Wogram, Nakamura, Conklin, Giordano)
2.4 Rayonnement acoustique
3 Conclusion
Chap. 2 Analyse modale aux moyennes fréquences : Méthode et validation 
1 Techniques d’identification des structures
1.1 Domaines fréquentiels – Transitions.
1.2 Méthodes d’identification modale
1.3 Modèles prédictifs hautes fréquences – SEA.
2 Proposition d’analyse modale haute résolution
2.1 Les méthodes paramétriques haute résolution
2.2 Applications en acoustique musicale et en vibrations des structures
2.3 La méthode
2.3.1 Schéma-bloc
2.3.2 Blanchiment du bruit
3 « High-resolution modal analysis » (article publié par le JSV)
4 Limitations de la méthode – Perspectives
4.1 Incertitudes sur la position d’impact et l’angle d’impact
4.2 Rapport signal à bruit.
5 Conclusion
Chap. 3 Études modales d’une table d’harmonie de piano droit 
1 Modes propres et densité modale
1.1 Modes propres de la plaque orthotrope simplement supportée
1.2 Densité modale.
1.2.1 Plaque isotrope
1.2.2 Plaque orthotrope.
1.2.3 Influence des conditions aux limites sur la densité modale.
2 Estimation modale d’une table d’harmonie – Application de l’analyse modale haute résolution
2.1 Linéarité de la réponse dynamique.
2.1.1 Méthode de séparation linéaire / non linéaire (Farina, Rébillat).
2.1.2 Résultats.
2.2 Paramètres modaux estimés entre 0 et 550 Hz (excitation impulsionnelle)
2.2.1 Fréquences et amortissements modaux.
2.2.2 Déformées modales
2.3 Paramètres modaux estimés entre 500 Hz et 2.5 kHz (excitation continue)
2.3.1 Validation du protocole expérimental
2.3.2 Facteurs d’amortissement et densité modale
3 Comparaison avec un modèle en éléments finis de la table raidie
4 Conclusion
Chap. 4 Description synthétique d’une table d’harmonie de piano 
1 Plaque homogène équivalente
1.1 Homogénéisation des plaques raidies – Calcul proposé par Berthaut.
1.2 Application à la table d’harmonie – Modèle en élements finis de la table homogène équivalente.
1.3 Plaque isotrope.
2 Modèle minimal
2.1 Densité modale et admittance au chevalet
2.1.1 Expressions analytiques de l’admittance mécanique : sommation modale et mean-value method
2.1.2 Application
2.2 Guide d’onde inter-raidisseurs en moyennes et hautes fréquences.
2.2.1 Construction du modèle – Relation de dispersion du guide et densité modale
2.2.2 Conséquences sur le rayonnement.
3 Discussion sur les facteurs susceptibles d’influencer la sonorité dans l’aigu
3.1 Rayonnement dans l’aigu
3.2 Mobilité de la table dans l’aigu
4 Remplacement de la table d’harmonie par une structure en matériau composite
4.1 Substitution de l’épicéa par un matériau composite dans les instruments de musique.
4.2 Exemple d’étude sur la table d’harmonie du violon – Remplacement de la structure par un sandwich balsa/fibre d
4.3 Solutions envisageables pour le piano
5 Conclusion
Conclusion générale et perspectives 
Annexe A Vibrations en flexion des plaques élastiques 
1 Plaque mince – Modèle de Love-Kirchhoff.
2 Plaque épaisse – Modèle de Reissner-Mindlin
3 Comparaison des deux modèles
Annexe B Formalisme modal 
1 Système conservatif.
2 Système dissipatif
Annexe C Effet de la précontrainte sur les modes propres et la densité modale 
Annexe D Extension au cas des coques minces sphériques 
Annexe E Mécanismes dissipatifs dans les plaques 
1 Pertes internes
1.1 Viscoélasticité du bois
1.2 Thermoélasticité dans les plaques métalliques.
2 Amortissement par rayonnement.
2.1 Rayonnement d’une plaque mince infinie.
2.2 Efficacités modales de rayonnement.
Bibliographie 

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