Sur une classe de fonctions pseudo-analytiques dans l’espace et les quaternions

Sur une classe de fonctions pseudo-analytiques dans l’espace et les quaternions

La théorie des fonctions pseudo-analytiques, également appelée la théorie des fonctions analytiques généralisées, a été développée de façon indépendante par L. Bers  et I. N. Vekua  au cours des années cinquantes et soixantes du dernier siècle. À cette époque on souhaitait développer une théorie générale des systèmes elliptiques au niveau mathématique, mais plusieurs applications physiques étaient également le leitmotiv de cette théorie: dynamique des fluides, déformation élastique, etc. L’approche de Bers est celle que l’on considérera dans ce mémoire puisque cette approche se développe en parallèle à l’analyse complexe habituelle, ce qui nous sera d’une grande utilité pour la suite des choses.

La théorie des fonctions pseudo-analytiques 

Les fonctions pseudo-analytiques ont été crées par Lipman Bers (1914- 1993) dans les années cinquantes : mathématicien letton, né à Riga (alors sous domination russe). Les parents de Lipman Bers, Isaac Bers et Bertha Weinberg, étaient tous deux des enseignants. Ses origines juives et son engagement dans la défense des droits de l’homme l’obligeront à une jeunesse itinérante. Il fait ses études à Riga, à Berlin, puis à Zurich et à nouveau à Riga. Menacé par la dictature qu’est devenu son pays, il émigre à Prague où il rédige sa thèse de doctorat sous la direction de Karl Loewner. Il obtient ainsi son doctorat à l’Université Charles de Prague en 1938, son sujet de thèse étant la théorie du potentiel.

En 1938, la Tchécoslovaquie est devenue un pays impossible pour un homme d’origine juive. Bers s’enfuit à Paris où sa fille Ruth est née. Cependant, la guerre l’a suivi. Bers et sa famille décident donc de déménager de Paris vers une région de la France qui n’a pas encore été attaqué par les armées allemandes. Il reçoit finalement son visa pour les États-Unis en 1940. Étant donné le nombre important d’universitaires qualifiés qui arrivent aux États-Unis à cette époque, il y a pénurie de postes, même pour les plus brillants universitaires, de sorte que Bers se retrouve sans emploi jusqu’en 1942. Pendant ce temps, il poursuit ses recherches mathématiques à l’Université Brown où, dans le cadre de travaux pertinents à l’effort de guerre, il étudie l’écoulement bidimensionnel de fluide subsonique.

Entre 1945 et 1949 Bers travaille à l’Université de Syracuse, d’abord comme professeur adjoint, puis comme professeur agrégé, puis il devient membre de l’Institute for Advanced Study à Princeton où il développera, entre autres choses, la théorie des fonctions pseudo-analytiques. Finalement, en 1951, Bers se joint à l’Institut Courant à New York, où il devient professeur titulaire. C’est à ce moment qu’il publie son livre « Theory of Pseudoanalytic Functions » [9]. L’auteur établit que son objectif est d’obtenir une théorie des fonctions complexes pour la solution d’équations aux dérivées partielles linéaires du second ordre avec deux variables indépendantes. L’une des principales pierres d’achoppement dans cette tâche est le fait que la notion de dérivée est une propriété héréditaire des fonctions analytiques alors que ce n’est clairement pas le cas des solutions pour les équations de second ordre des équations elliptiques générales.

Paires génératrices 

Le point de départ de la théorie de Lipman Bers sur les fonctions pseudo-analytiques est la notion de paire génératrice . Une paire génératrice est un couple de fonctions complexes indépendantes. C’est-à-dire qu’en tout point Z∈Ω la valeur de toute fonction complexe, définie en ce point, peut être représentée comme une combinaison linéaire réelle des fonctions génératrices. Ces fonctions génératrices jouent le même rôle que I et i dans la théorie des fonctions analytiques usuelles.

Sur une classe de fonctions pseudo-analytiques dans l’espace et les quaternions 

Les quaternions

Sir William Rowan Hamilton est un mathématicien, physicien et astronome irlandais. Il est né le 4 août 1805 à Dublin. Son père est un avocat d’affaires qui parcourt tout le pays. Ne pouvant s’occuper de l’éducation de son fils, il le confie à trois ans à l’oncle de William, James Hamilton, qui est un prêtre anglican très lettré. A l’instar d’un Gauss, Hamilton est un enfant prodige. On prétend qu’à trois ans, il sait lire et compter, qu’à cinq ans, il connait le latin, le grec, et récite Homère, et qu’à 13 ans, il parle autant de langues qu’il a d’années.

L’intérêt pour les mathématiques commence avec l’étude des Principia de Newton à 15 ans, et celle de la Mécanique céleste de Laplace à 17 ans. En 1823, Hamilton entre au prestigieux Trinit y College de Dublin. Il s’y révèle un étudiant particulièrement brillant, obtenant pratiquement à chaque examen la note maximale. Une année, cependant, ses résultats sont moins bons. Hamilton est en effet tombé amoureux de la fille d’amis de son oncle. Comme il doit encore étudier trois ans, il ne peut lui proposer de l’épouser, et  finalement elle se marie avec un autre homme, de 15 ans son ainé. Cela engendre une grande déprime chez Hamilton (jusqu’à des pensées suïcidaires). Il commence alors également à écrire quelques poèmes, une passion qui perdurera sa vie durant.

En 1827, alors qu’il n’a que 21 ans et est encore étudiant, Hamilton est élu professeur d’astronomie au Trinit y College. Une certaine controverse suit cette nomination. Si Hamilton est déjà un brillant théoricien, il n’a pas encore fait les preuves de ses capacités pratiques, et d’ailleurs il se révèlera un piètre observateur. Son intérêt alors est plutôt dirigé vers l’optique ou la dynamique, où il introduit et développe la notion de fonction caractéristique (l’Hamiltonien désigne désormais l’énergie totale d’un système). Durant les années 1832 à 1835, Hamilton se consacre à obtenir une présentation algébrique des nombres complexes. Il les introduit comme couple de réels, et définit sur eux addition et multiplication, tout en explicitant les liens avec les transformations du plan. Les années suivantes, il tente à tout prix de généraliser sa construction au triplet de nombres réels. Il n’y parvient pas, mais cela l’obsède, et il subit une nouvelle crise de dépression, devenant alors alcoolique.

Hamilton pense que les quaternions vont révolutionner les mathématiques du XIX siècle comme le calcul différentiel de Newton et Leibniz avait révolutionné les mathématiques du XVII siècle. Il consacre alors toute son énergie à les promouvoir, écrivant notamment deux livres sur le sujet. Néanmoins, les quaternions resteront assez peu utilisés, les physiciens (notamment Gibbs), en extrayant ce qui était le plus important (le produit vectoriel) pour fonder l’analyse vectorielle.

Peu de temps avant sa mort en 1865, il écrivit à son fils: « Tous les matins, alors que tu descendais pour prendre le petit déjeuner, tu me demandais: « Eh bien, papa, est-ce que tu peux multiplier les triplets? » J’étais toujours obligé de répondre, avec un triste hochement de tête: « Non, je peux seulement les ajouter et les soustraire » ».

Conclusion 

Finalement, il a été montré par Bilodeau et Tremblay dans un article récent  qu’il existe des liens étroits entre la théorie des fonctions pseudo-analytiques et la mécanique quantique supersymétrique de dimension deux. Étant donné que la mécanique quantique supersymétrique de dimension quatre est bien développée, on peut espérer que la construction de la théorie des fonctions pseudo-analytiques dans l’espace-temps suivent des relations similaires qui nous permettrait de construire cette théorie.

Table des matières

1 Introduction 
2 La théorie des fonctions pseudo-analytiques 
2.1 Paires génératrices
2.2 Dérivées de Bers
2.3 Intégrales de Bers
2.4 Les puissances formelles
3 Sur la relation entre l’équation de Schrodinger stationnaire et les
fonctions pseudo-analytiques
3.1 Factorisation de l’opérateur de Schr6dinger
3.2 L’équation principale de Vekua
4 Sur une classe de fonctions pseudo-analytiques dans l’espace et les quaternions
4.1 Les quaternions
4.2 L’opérateur de Dirac.
4.3 Factorisation de l’équation de Sch5dinger et équations de Vekua dans
l’espace
4.4 Dérivée des fonctions pseudo-analytiques dans l’espace pour une classe
d’équations de Vekua
4.5 Exemples et applications
5 Conclusion

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