Soutenance mémoire
Les systèmes pyrotechniques sont utilisés dans les applications aérospatiales afin de séparer les sous-systèmes structuraux , déployer les périphériques ou activer les sous-systèmes embarqués . Ils ont permis d’assurer des fonctions mécaniques primordiales tout au long des quarante dernières années. Cependant des défaillances aux conséquences parfois critiques continuent de se produire . De nombreuses défaillances d’équipement lors des vols ont été attribuées à l’exposition aux chocs pyrotechniques, certaines entraînant des échecs de mission [Moening 1986]. Beaucoup de petits éléments résistant aux vibrations aléatoires sont susceptibles d’être affectés par les chocs pyrotechniques .
La détermination de l’environnement chocs, exprimé à l’aide des Spectres de Réponse aux Chocs (SRC), intervient dès les premières phases de la conception d’une charge utile. La détermination des SRC est importante pour prévenir le surou le sous-dimensionnement de l’environnement chocs à l’interface avec le lanceur, qui peuvent conduire à augmenter les coûts de conception ou de maintenance de la charge utile. L’amélioration du confort des charges utiles vis à vis des chocs pyrotechniques constitue ainsi un enjeu majeur dans le secteur très concurrentiel des lanceurs spatiaux.
Le pôle « chocs pyrotechniques » est un programme de recherche lancé par le CNES regroupant des industriels et des universitaires qui vise à travailler sur les thématiques suivantes :
– les effets sur les équipements ;
– le choc à la source ;
– la propagation, les liaisons, l’atténuation.
Dans le dernier thème, le LMT Cachan a réalisé des travaux de recherche sur la caractérisation de la propagation des ondes de choc à travers les liaisons entre les étages [Lemoussu et al. 2002, Boucard et al. 2003, Derumaux 2004] ainsi que sur l’utilisation d’une méthode fréquentielle pour le calcul de la réponse dynamique transitoire d’une structure soumise à un choc pyrotechnique [Chevreuil et al. 2007]. Les travaux actuels effectués dans le cadre du pôle se heurtent à une difficulté : la définition du choc à la source. La concentration d’énergie dans le champ proche rend les mesures à proximité du système de séparation délicates . Les efforts appliqués actuellement pour les simulations se basent sur un choc synthétique identifié de manière assez rudimentaire à partir des mesures effectuées lors d’essais sur les plaques. La détermination de la nature et de l’amplitude des forces appliquées sur une structure par l’explosion d’un système pyrotechnique permettrait de mener des simulations réalistes, de comparer les résultats de simulation aux résultats d’essai et de recaler les modèles.
Les calculs en dynamique transitoire sont généralement effectués grâce à la méthode des éléments finis (EF). Or, dans le cas d’un choc violent en terme de contenu fréquentiel, il est indispensable de prendre en compte assez finement les phénomènes associés aux moyennes fréquences. En effet, bien que les oscillations semblent être relativement petites, l’énergie cinétique associée peut être très importante et ces phénomènes ne peuvent donc être négligés. Comme la longueur d’onde est petite, une modélisation extrêmement fine de l’espace et du temps est nécessaire. Le nombre de degrés de liberté du problème éléments finis devient donc très vite important et les temps de calcul sont conséquents [Bathe 1995, Belytchko et al. 2000]. D’autre part, la qualité de la solution se dégrade de plus en plus vite lorsqu’on monte en fréquence à cause de l’erreur en pollution [Ihlenburg and Babuska 1995, Deraemaeker et al. 1999] qui entraine de la dispersion. Si l’on s’intéresse à la solution sur un temps assez long, le nombre de pas de temps nécessaire rend le calcul prohibitif.
Un moyen de contourner ces difficultés dues à la méthode des éléments finis et aux schémas d’intégration numérique est d’étudier la réponse d’une structure dans le domaine fréquentiel à l’aide des transformées de Fourier, approche rendue numériquement efficace grâce aux développements de la transformée de Fourier rapide (FFT). Dans le domaine des basses fréquences (BF), les méthodes utilisées sont les méthodes basées sur les éléments finis [Zienkiewicz 1977]. En effet, les phénomènes vibratoires sont alors de grande longueur d’onde. Le comportement est qualifié de modal et il est donc avantageux de mener les calculs sur la base modale, éventuellement complétée de modes statiques. Le calcul de la fonction de réponse en fréquence (FRF) ne pose pas de problème en ce qui concerne la modélisation et la simulation numérique.
Dans le domaine des hautes fréquences (HF) les phénomènes sont de très petite longueur d’onde et il n’est plus approprié de se focaliser sur les grandeurs locales, mais il convient de considérer les grandeurs moyennées en espace et en fréquence. La méthode la plus utilisée est l’Analyse Statistique de l’Énergie (SEA) [Lyon and Maidanik 1962] qui donne le niveau énergétique moyen par sous-structure. Cette méthode nécessite la connaissance empirique de données telles que l’amortissement, l’atténuation et la transmission de l’énergie entre les sous domaines. Elle n’est donc pas prédictive. Entre ces deux domaines se situe la plage des moyennes fréquences (MF). La densité modale y est plus élevée que dans le domaine BF mais les grandeurs locales y ont encore un sens. La déformée locale est alors extrêmement sensible aux variations des conditions limites et des paramètres structuraux. Étendre les méthodes éléments finis dans ce domaine conduit rapidement à des problèmes de très grande taille et surtout à des effets de pollution [Babuska et al. 1997b]. Les méthodes énergétiques des HF sont, elles, trop globales et ne permettent pas de décrire la solution avec suffisamment de précision. Les approches ondulatoires, tenant compte des connaissances a priori de la solution recherchées, sont les méthodes les plus adaptées à cette plage de fréquence .
Approches temporelles
Discrétisation spatiale
La méthode des éléments finis (ou FEM, pour Finite Element Method), dont les détails sont présentés dans [Zienkiewicz and Taylor 2000] est classiquement utilisée pour décrire le comportement des structures étudiées. La FEM utilise une discrétisation fine du domaine étudié en sous domaines appelés éléments finis (EF). Dans chaque élément, la solution (généralement le déplacement) est représentée par des fonctions polynômiales. Ces fonctions n’étant pas solutions de l’équation d’équilibre, une discrétisation fine est donc requise pour représenter une solution précise. La représentation de géométries complexes ne pose donc pas de difficultés.
La taille du système dépend du nombre de degrés de liberté (DDL) nécessaire pour bien décrire le comportement de la structure. Dans le cas de la propagation de chocs, la solution peut varier énormément en un espace réduit : le nombre d’éléments (et par conséquent de DDL) nécessaires pour obtenir une précision correcte peut donc devenir très important et conduire à des problèmes de grande taille.
EF adaptatifs
Cependant le phénomène des ondes propagatives en dynamique transitoire est très localisé. Les méthodes d’éléments finis adaptatifs, visant à raffiner le maillage dans les zones d’intérêt (les fronts d’onde par exemple) tout en gardant un maillage grossier sur le reste de la structure, permettent donc d’enrichir le modèle en limitant l’augmentation du nombre de DDL. Ces méthodes se basent sur une première analyse grossière du problème et l’utilisation d’estimateurs d’erreur a posteriori afin d’évaluer l’erreur locale. Trois classes d’indicateurs peuvent être rencontrées.
– un indicateur construit sur les résidus d’équilibre [Babuska and Reihnboldt 1979]
– un estimateur d’erreur utilisant le lissage des contraintes [Zienkiewicz and Zhu 1987] ;
– un estimateur basé sur l’erreur en relation de comportement [Ladevèze and Pelle 1989].
Augmenter localement l’ordre des polynômes utilisés constitue les p-méthodes, le raffinement du maillage correspondant aux h-méthodes et la combinaison des deux techniques s’appelle les hp-méthodes. On trouve des exemples d’applications de ces méthodes dans [Stewart and Hugues 1997, Dey et al. 2006]. Dans le cadre des hp méthodes, on peut appliquer des techniques hiérarchiques [Taylor et al. 1998, Oden et al. 1998] qui utilisent les opérateurs calculés à l’ordre p pour déterminer les opérateurs à l’ordre (p+1), ce qui permet un gain en temps et en ressources mémoires.
Bien que ces techniques permettent d’optimiser la taille et l’ordre des EF pour obtenir une précision voulue, elles restent des méthodes BF car elles ne luttent pas efficacement contre l’effet de pollution.
Décomposition de domaine
Afin de réduire les temps de calcul nécessaires, une autre voie d’approche est de partitionner le domaine d’étude en plusieurs sous-domaines afin de traiter plusieurs problèmes de moindre taille plutôt qu’un seul problème de grande taille. Ces approches sont particulièrement adaptées aux architectures actuelles des calculateurs. Le problème est condensé sur les quantités d’interface entre sous-domaines. Le problème d’interface est généralement résolu de manière itérative ce qui ne nécessite pas la construction explicite du complément de Schur, problème coûteux à résoudre. En revanche l’utilisation d’une méthode itérative exige un taux de convergence élevé pour rendre l’approche efficace. Afin d’améliorer le taux de convergence pour un grand nombre de sous-structures, un problème grossier défini sur la structure complète est résolu ce qui permet de propager une information globale sur l’ensemble de la structure. La nature des raccords entre sous-domaines diffère selon les méthodes. Pour les méthodes sans recouvrement, on distingue trois familles : les approches primale, duale et mixte.
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Table des matières
Introduction
1 État de l’art
1 Approches temporelles
1.1 Discrétisation spatiale
1.2 EF adaptatifs
1.3 Décomposition de domaine
1.3.1 Approche primale
1.3.2 Approche duale
1.3.3 Approche mixte
1.4 Discrétisation temporelle
1.4.1 Schémas de Newmark
1.4.2 Méthode de Galerkin discontinue
1.4.3 Relation entre la discrétisation temporelle et la discrétisation spatiale
1.5 Conclusion
2 Approches fréquentielles
2.1 Méthodes issues des basses fréquences
2.1.1 Approches basées sur les EF standards
2.1.2 Extensions de la FEM
2.1.3 Méthode des éléments de frontière
2.2 Les approches ondulatoires
2.2.1 Méthodes basées sur la partition de l’unité
2.2.2 Méthodes de Trefftz
2.2.3 Discontinuous Enrichment Method
2.2.4 Wave Boundary Element Method
2.3 Méthodes dédiées aux hautes fréquences
2.3.1 Statistical Energy Analysis
2.3.2 Approches statistiques locales
2.3.3 Méthodes alternatives
2.4 Conclusion
2 TVRC
1 Le problème de référence
1.1 Le cas général tridimensionnel
1.2 Le cas des plaques minces de Kirchhoff-Love
1.2.1 Notations
1.2.2 Problème en flexion
2 La formulation variationnelle associée à la TVRC
2.1 Cas tridimensionnel
2.2 Cas de la flexion dans les assemblages plans de plaques
3 Construction du champ admissible
3.1 Champ d’admissibilité dans le cas d’une plaque
3.2 Rayons de vibration
3.2.1 Rayons intérieurs
3.2.2 Rayons de bord
4 Construction du problème discrétisé
4.1 Discrétisation angulaire
4.2 Assemblage du système linéaire
4.2.1 Expression du système linéaire
4.2.2 Expression des quantités élémentaires nécessaires
à l’assemblage
5 Performances de la TVRC
5.1 Convergence de la méthode dans un cas acoustique
5.2 Régularisation
6 Conclusion
3 Extension de la TVRC aux coques orthotropes
1 Le problème de référence
1.1 Contraintes planes et expression du déplacement
1.2 Relations de comportement et équation d’équilibre
1.3 Ecriture du problème de référence
2 Formulation variationnelle
3 Relation de dispersion
3.1 Notations
3.2 Réecriture du problème de référence
3.2.1 Equations d’équilibre
3.2.2 Réécriture du problème
3.3 Expression de la relation de dispersion
3.4 Rayons de vibration dans les coques orthotropes
3.4.1 Rayons d’ordre 0 dans le cas général
3.4.2 Cas isotrope
3.4.3 Répartition des rayons
3.5 Conclusion
4 Le Problème discrétisé
4.1 Fonctions de forme
4.2 Intégration semi-analytique
4.3 Régularisation
5 Implémentation
5.1 CoRay++
5.1.1 Choix du langage de programmation
5.1.2 Librairie LMTpp
5.1.3 Structure du code
5.2 Résolution
5.2.1 Choix des sous-structures
5.2.2 Intégration
5.2.3 Reconstruction de la solution
5.3 Validation
5.3.1 Amplitudes locales
5.3.2 Fonction de Réponse en Fréquence
5.4 Perspectives
5.4.1 Autres types de sous-structures
5.4.2 Accélération
5.4.3 Applications futures
5.5 Conclusion
Conclusion
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