Sur les connexions linéaires non métriques à une courbure donnée

INTRODUCTION

A partir de la fin du XIXème siècle, les connexions ont été inventées par les mathématiciens célèbres à cette époques comme Ricci, Levi-Civita, Christoffel, E. Cartan, Chern et Ehresman. Pour une variété différentiable de classe C∞, munie d’une métrique quelconque, on peut obtenir une connexion non métrique, comme dans le cas d’ une variété riemannienne (M, g), où g est la métrique riemannienne si elle satisfait la condition ∇Xg 6= 0, avec ∇ est une connexion linéaire. En 1992, Agache et Chafle [NSA92] introduisent le concept d’une connexion semi-symétrique non métrique, qui est un exemple d’une connexion non métrique dans une variété riemannienne (M, g). En géométrie riemannienne, la notion de courbure est très importante. La manière naturelle pour l’introduire consiste à remarquer que si on déplace parallèlement un vecteur le long d’une boucle infinitésimale en partant d’un point p d’une variété, il ne « revient » pas à sa position initiale sauf s’il n’y a pas de courbure. Le tenseur de courbure admet deux contractions, la première donne le tenseur de Ricci ou courbure de Ricci, tandis que la seconde consiste à la courbure scalaire. Une connexion Γ a toujours une courbure R associée . Le problème se pose, pour une courbure donnée existe t-elle une connexion linéaire correspondante ? Le mathématicien Jacques Gasqui a résolu ce problème par une approche analytique dans son article [GasJ75]. Mais peut-on avoir une autre méthode pour résoudre ce problème et quelle est la condition nécessaire pour que la connexion soit non métrique ? Afin de répondre à cette question, on choisit comme sujet de mémoire « La connexion linéaire non métrique d’une courbure donnée de dimension 3 ». Ce travail comprend trois chapitres : Le premier chapitre consacre à rappeler les définitions et les propriétés utiles pour les deux autres chapitres. Le second chapitre consiste à étudier la généralité sur les connexions à savoir la connexion selon Grifone, la connexion linéaire et celle de linéaire non métrique. Et le troisième et dernier chapitre comprend la connexion à courbure donnée en insistant d’une part sur la connexion à courbure de Ricci résolue analytiquement [GasJ75] et d’autre part sur la connexion à courbure donnée résolue par l’approche algébrique. Pour mieux illustrer davantage les résultats, nous proposons quelques exemples.

Variété Riemannienne

Définition 1.5.1. [GiL71] Soient V une variété topologique et (Ui , ϕi) une carte de V .
– Un atlas A de V est une famille de carte (Ui , ϕi) qui recouvre entièrement V .
– On dit qu’un atlas A de V est de classe r si, quelles que soient les cartes ϕ et ϕ0 appartenant à A dont les buts aient une intersection non vide, l’application changement de carte déterminée par (ϕ, ϕ0 ) est de classe r. Nous désignerons ar : l’ensemble des atlas de classe r non vide sur V .
Définition 1.5.2. [GiL71] Soit ar non vide. On dit que deux atlas A1 et A2 de ar sont r-équivalents si A1 ∪ A1 appartient aussi à ar.
Définition 1.5.3. [GiL71] On dit que V est munie d’une structure de variété différentiable de classe r si l’ensemble de ar des atlas de V est une classe de r-équivalence.
Définition 1.5.4. [GiL71] Une Variété différentiable M de dimension n est un espace topologique séparé et à base dénombrable muni d’une structure différentiable de dimension n de classe C k.
Définition 1.5.5. Le tenseur métrique h est un champ de tenseur de type (0, 2) de classe C k−1 tel que
– h est symétrique
– pour tout x ∈ M , h est non dégénéré.

CONCLUSION

Pour conclure, dans ce travail nous sommes intéressés sur l’étude du problème inverse entre connexion et courbure et quelle est la condition pour que le connexion obtenue soit non métrique ? Pour ce faire nous avons étudier les connexions linéaires et leur courbure ainsi que la connexion linéaire non métrique. Dans une variété M, si on a une courbure quelconque de classe C k alors la connexion correspondante à cette courbure existe, et on peut connaître son comportement, elle est de classe Ck+1. Pour une courbure à connexion diagonale et une courbure à connexion unitaire donnée, on peut obtenir l’existence la connexion Γ ainsi que ses expressions en utilisant la méthode analytique. Si la variété M est une variété différentiable de dimension n et la courbure est celle de Grifone, la connexion obtenue est non métrique. Ce résultat nous permet de dire qu’à part la méthode analytique de Jacques Gasqui sur les connexions linéaires à courbure de Ricci donnée [GasJ75] on peut obtenir une connexion correspondante à une courbure donnée selon l’approche algébrique. Et afin de déterminer si la connexion obtenue est non métrique, il faut vérifier la condition gijk 6= 0. Notre travail est loin d’être achever, nous pouvons dans l’avenir trouver une condition nécessaire et suffisante pour avoir une connexion non métrique correspondante à une courbure donnée.

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Table des matières

Introduction
1 PRÉLIMINAIRES
1.1 Fibrés vectoriels
1.2 Formes différentielles
1.3 Formes vectorielles
1.4 Formes tensorielles
1.5 Variété Riemannienne
2 GÉNÉRALITÉS SUR LES CONNEXIONS
2.1 Connexion selon Grifone
2.1.1 Formes semi-basiques, Formes homogènes
2.1.2 Torsion de la connexion de Grifone
2.1.3 Courbure de la connexion de Grifone
2.2 Connexion linéaire
2.2.1 Torsion d’une connexion linéaire
2.2.2 Courbure d’une connexion linéaire
2.3 Connexion linéaire non métrique
2.3.1 Définitions et propositions
2.3.2 Connexion semi-symétrique non métrique
2.3.3 La courbure associée à la connexion semi-symétrique non métrique
3 CONNEXIONS NON MÉTRIQUES A UNE COURBURE DONNÉE
3.1 Connexions à courbure de Ricci donnée
3.2 Connexion linéaire non métrique à courbure donnée
Conclusion
Bibliographie