Sur la TVRC en dynamique transitoire : approche large bande de fréquence et réduction de modèle

Les capacités informatiques grandissantes et la baisse des prix du matériel qui lui est associé sont amplement exploitées par l’industrie dans une très large palette de domaines. Les outils numériques développés deviennent indispensables à la conception. Ils permettent d’obtenir des données habituellement inaccessibles par les mesures et permettent d’effectuer des essais virtuels rapidement. Ainsi, ils complètent les essais réels, souvent plus fastidieux, pour un développement plus rapide et plus fiable. Certaines applications restent néanmoins hors de portée des simulations numériques et les améliorations dans ces domaines sont de véritables atouts. C’est le cas notamment de certains problèmes de dynamique de propagation d’onde du type choc dans de grandes structures comme les lanceurs spatiaux.

Les lanceurs spatiaux Ariane 5 et 6 sont composés de plusieurs tronçons qui se séparent au cours des différentes phases de vol, via une découpe pyrotechnique, jusqu’à la mise en orbite du matériel embarqué. Ce procédé est considéré comme étant extrêmement fiable mais génère des vibrations qui peuvent potentiellement endommager le matériel. Maîtriser les accélérations subies à la suite de la découpe est un véritable besoin industriel qui n’est actuellement pas amplement satisfait par les outils numériques à disposition.

La difficulté ne réside pas dans la complexité des modèles physiques mais dans leur résolution. Les problèmes de propagation de choc nécessitent de considérer la structure dans ses détails et de considérer la propagation de très petites longueurs d’onde dans une structure qui est grande. Les modèles numériques associés sont de très grandes tailles et donc coûteux en mémoire et en temps de calcul. Un essai numérique récent sur une structure similaire effectué avec le logiciel LS dyna a permis de simuler la propagation d’une onde jusqu’à un contenu fréquentiel de 3 kHz, ce qui est loin des 10 kHz idéalement exigés par ArianeGroup.

Les méthodes de résolution incrémentales sont classiquement utilisées pour résoudre numériquement ce type de problème, linéaire ou non linéaire. Elles consistent à construire, pas de temps après pas de temps, la réponse en tout point de l’espace. Bien que très efficaces elles ne sont, actuellement, pas suffisamment performantes pour traiter les problèmes visés. Pour tenter de pallier à cette limite, l’approche adoptée ici consiste à traiter le problème dans le domaine fréquentiel en appliquant une transformée de Fourier aux équations. Les problèmes à chaque fréquence peuvent être traités indépendamment contrairement au domaine temporel où une résolution incrémentale est nécessaire. Ainsi une méthode adaptée à chaque gamme fréquentielle peut être utilisée (figure 2) :
— Dans la gamme des basses fréquences, l’énergie vient se concentrer en quelques fréquences bien distinctes appelées fréquences propres. A ces fréquences le champ est décrit par ce qui est appelé les modes propres de vibration. La longueur d’onde associée est relativement élevée et vaut globalement de 1 à 1/10 fois la longueur caractéristique de la structure. Les méthodes de résolution numérique de type éléments finis (FEM) [159] y sont très adaptées et bien établies. A chaque fréquence du problème, le champ est déterminé à chaque nœud du maillage.
— Lorsque la fréquence augmente la densité de mode, appelée densité modale, et l’étalement des modes augmentent ce qui induit une augmentation du recouvrement modal. Il s’agit de la gamme des moyennes fréquences. La longueur d’onde associée est relativement faible et est globalement comprise entre 1/10 et 1/100 fois la longueur caractéristique de la structure. Le pas spatial de discrétisation des FEM étant au premier ordre proportionnel à la longueur d’onde, le nombre de degrés de liberté augmente rapidement avec la fréquence. A cette tendance s’ajoutent les erreurs de pollution [44] qui deviennent prédominantes lorsque la fréquence augmente. Cela rend ces problèmes inaccessibles par les méthodes du type FEM. Dans cette gamme de fréquences, des méthodes spécifiques plus complexes telles les méthodes Trefftz [73] y sont développées. Il s’agit entre autres de méthodes où les fonctions de forme sont des ondes, elles permettent de résoudre les problèmes à une fréquence donnée avec un nombre de degrés de liberté spatiaux drastiquement réduit.
— Dans la gamme des hautes fréquences la densité modale et le recouvrement modal deviennent tellement importants que la réponse énergétique est relativement lisse. La réponse spatiale n’en est pas moins complexe. La longueur d’onde associée est très courte, supérieure à 1/1000 fois la longueur caractéristique de la structure. Ainsi chaque détail ou hétérogénéité diffuse les ondes et influe sur la réponse de la structure. Les méthodes moyennes fréquences n’y sont pas adaptées. Déterminer le champ en chaque point n’a par ailleurs que peu de sens du fait de la très forte sensibilité de la solution à chaque détail de la structure. Les méthodes qui y sont développées, comme la Statistical Energy Analysis (SEA) [109], consistent généralement à déterminer l’énergie en moyenne par zone dans la structure plutôt qu’à déterminer le champ de manière déterministe.

Les gammes des moyennes et hautes fréquences représentent une part d’énergie plutôt faible. Elles ne sont pas à sous-estimer pour autant, car ce sont ces fréquences qui, après l’application d’une transformée de Fourier inverse, contribuent majoritairement à la représentation des fronts d’ondes dans le régime transitoire court. Néanmoins la gamme des hautes fréquences est rapidement amortie dans la structure, elle sera négligée dans ces travaux. Dans ces travaux, nous reprenons la stratégie proposée dans [31], soit une résolution des basses fréquences avec la FEM et des moyennes fréquences avec une méthode Trefftz : la Variational Theory of Complex Rays (VTCR) [92]. L’efficacité de cette stratégie pour traiter des problèmes de dynamique transitoire, et son avantage par rapport aux méthodes incrémentales, a été montrée dans [31]. La méthode VTCR utilise des fonctions de forme qui vérifient l’équation intérieure, soit des ondes planes et des ondes évanescentes et définit l’équilibre entre les sous-domaines à travers une formulation variationnelle. Elle a été appliquée à l’acoustique 2D [85] et 3D [86], aux assemblages de plaques [93] et de coques [134, 133, 25], aux problèmes orthotropes [87] et inhomogènes [104]. Plus concrètement, la VTCR a été appliquée à la simulation des vibrations moyennes fréquences de la partie supérieure du lanceur Ariane 5 d’ArianeGroup à travers le développement du logiciel TAPYROSS (Transient Analysis for PYROtechnic Shocks in Shells) dans [2]. Ces nombreux développements ont rendu cette méthode robuste et industriellement mature.

Résoudre les gammes des basses et moyennes fréquences de problèmes de grande taille avec ces méthodes adaptées reste coûteux numériquement car la réponse doit être calculée en chaque fréquence. Le point-clé réside dans l’application de méthodes de résolution large bande. La littérature propose différentes méthodes : bases modales, méthodes Padé [48], méthodes de réduction de modèle [72, 8]. Leur efficacité a été prouvée lorsque la densité modale est faible, soit dans la gamme des basses fréquences. Elles semblent néanmoins limitées lorsque la densité modale augmente. De plus elles ne sont pas nécessairement adaptées aux méthodes Trefftz qui sont privilégiées pour traiter la gamme des moyennes fréquences.

Les méthodes de résolution fréquentielles

La littérature traitant des méthodes de résolution moyennes fréquences est très importante du fait de l’intérêt que porte la communauté scientifique à ce sujet. Nous traitons ici une vue d’ensemble et listons les principales méthodes de résolution du champ spatial à une fréquence fixée. Elles se décomposent en quatre catégories :
— Les méthodes basses fréquences étendues aux moyennes fréquences.
— Les méthodes hautes fréquences étendues aux moyennes fréquences.
— Les méthodes hybrides combinant les avantages des méthodes basses et hautes fréquences.
— Les méthodes dédiées aux moyennes fréquences.

Les méthodes basses fréquences

L’erreur d’interpolation prédomine dans le domaine des basses fréquences. Si kh est maintenu constant lorsqu’on augmente la fréquence, cette partie de l’erreur est constante. Néanmoins cette stratégie ne permet pas de contrôler l’erreur de pollution qui augmente rapidement avec la fréquence. Celle-ci devient prédominante dans le domaine des moyennes fréquences. Contrôler cette dernière impose une discrétisation fine du problème et donc un nombre très important de degrés de liberté. C’est ce qui rend la méthode MEF inadaptée au domaine des moyennes fréquences. Pour contrôler les erreurs de pollution et d’interpolation tout en maintenant raisonnable la taille des problèmes, la MEF adaptative propose de mailler de manière inhomogène le domaine. Les zones de fort intérêt ou à fortes erreurs sont maillées plus finement que les autres. La stratégie consiste à proposer une première solution grossière puis d’évaluer l’erreur locale à partir d’estimateur d’erreur à posteriori [1, 6, 90]. Une fois les zones identifiées, il existe plusieurs stratégies de raffinement du maillage :
— raffinement h, qui consiste à rafiner la taille de maille en augmentant le nombre d’éléments [147].
— raffinement p, qui consiste à augmenter le degré des polynômes des fonctions de forme [160].
— raffinement ph, qui consiste à simultanément augmenter le degré des polynômes des fonctions de forme et diminuer la taille de maille [43].

Cette méthode est fréquemment utilisée dans le domaine temporel pour des problèmes de propagation de front d’onde [66]. Le raffinement étant alors très localisé sur le front, des gains en matière de coût numérique peuvent apparaître. Néanmoins dans le domaine fréquentiel, et notamment dans le domaine des moyennes fréquences, l’énergie est répartie dans tout le domaine ce qui la rend inadaptée.

L’erreur de pollution est intimement liée au conditionnement des matrices EFs [44]. La MEF stabilisée est une méthode qui a été développée pour stabiliser ces formes biniléaires. La Galerkin Least-Squares MEF (GLS) consiste à ajouter un terme de minimisation du résidu d’équilibre [70]. L’erreur de pollution disparaît complètement pour les problèmes à une dimension, et seulement dans des directions privilégiées pour les problèmes à plusieurs dimensions. La Galerkin Gradient LeastSquares MEF (G∇LS) est l’une des améliorations de cette méthode. Elle consiste à ajouter un terme de minimisation du gradient du résidu d’équilibre. Cette dernière permet de bien diminuer l’erreur de pollution pour les problèmes de vibration de structures. L’erreur provenant de la discrétisation, la MEF Quasi Stabilisée propose de modifier directement les matrices du problème pour stabiliser la solution et éliminer l’erreur de pollution [77]. En 1D l’erreur de pollution disparaît et en 2D elle est minimisée grâce à un maillage suffisamment régulier. Cependant, sa mise en œuvre est assez complexe. En limitant l’erreur de pollution, ces méthodes permettent de limiter le raffinement de maillage mais pas de l’éviter lorsque la fréquence augmente.

Table des matières

Introduction
1 Problème de référence et principe de l’approche fréquentielle
1.1 Problème de référence dans le domaine temporel
1.2 Problème de référence dans le domaine fréquentiel
1.3 Construction numérique de la réponse temporelle à partir d’une résolution fréquentielle
1.3.1 Transformée de Fourier Discrète
1.3.2 Erreur de recouvrement spectral et temporel
1.3.3 Interpolation de la solution, reconstruction de la réponse continue
2 Etat de l’art sur les méthodes de résolutions fréquentielles
2.1 Les méthodes de résolution fréquentielles
2.1.1 Les méthodes basses fréquences
2.1.2 Les méthodes hautes fréquences
2.1.3 Les méthodes moyennes fréquences
2.1.4 Bilan
2.2 Résolution par bandes de fréquences
2.2.1 Méthodes par décomposition sur base modale
2.2.2 Approximation de Taylor
2.2.3 Approximation de Padé
2.2.4 Approximation de rang faible
2.2.5 Bilan
2.3 Conclusion
3 La Théorie Variationnelle des Rayons Complexes (VTCR)
3.1 Un bref historique de la VTCR
3.2 La méthode VTCR pour l’acoustique 2D
3.2.1 Problème de référence homogène à une fréquence
3.2.2 Formulation variationnelle VTCR
3.2.3 Fonctions de forme et espace discret
3.2.4 Problème matriciel
3.2.5 Illustration numérique
3.3 Convergence de la VTCR
3.3.1 Raffinement p et h
3.3.2 Critère a priori de convergence
3.3.3 Conditionnement et régularisation de la VTCR
3.4 Conclusion
4 Conditionnement de l’opérateur VTCR – construction de bases optimales
4.1 Eléments de compréhension sur l’origine du mauvais conditionnement et stratégies
4.1.1 Définition du conditionnement
4.1.2 L’origine du mauvais conditionnement de l’opérateur
4.1.3 Stratégies de conditionnement de l’opérateur VTCR
4.2 Stratégie 1 : Construction d’une base Trefftz orthonormée au sens de l’énergie
4.2.1 Base Trefftz orthonormée pour un domaine en forme de disque : un cas analytique
4.2.2 Base Trefftz orthonormée pour un domaine quelconque
4.2.3 Résolution VTCR avec la base orthonormée
4.2.4 Construction d’un portrait régularisé
4.2.5 Validation sur un cas complexe
4.2.6 Bilan
4.3 Stratégie 2 : Approximation quasi-analytique de la base orthogonale par une base de Fourier généralisée adaptée à la géométrie de chaque sous-domaine
4.3.1 Énoncé d’un critère sur la discrétisation pour la précision et le conditionnement
4.3.2 Une première exploitation du critère sur la discrétisation pour construire une
base de rayons optimale
4.3.3 Construction d’une base adaptative vérifiant le critère sur la discrétisation : la
base de Fourier généralisée
4.3.4 Exploitation de la base de Fourier généralisée pour la résolution VTCR
4.3.5 Exploitation de la base de Fourier généralisée pour la construction d’une base
large bande
4.3.6 Exploitation de la base de Fourier généralisée pour la construction d’un portrait
régularisé
4.3.7 Validation sur un cas complexe
4.3.8 Bilan
4.4 Conclusion
Conclusion

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