SUR LA CONVERGENCE ABSOLUE D'UNE SÉRIE TRIGONOMETRIQUE GENERALE

INTRODUCTION

C’est dans la thèse de Fatou (1906) qu’est apparue pour la première fois le problème de la convergence absolue des séries trigonométriques. Il y montre que tout point de l’ensemble de convergence absolue est centre de symétrie de cet ensemble. En 1912, Denjoy A. ([Den]) a montré que si une série trigonométrique cos( n), 0 n n ∑ ρ nx − α ρ ≥ converge absolument sur un ensemble de mesure positive, la série converge absolument partout, la série des coefficients n ∑ ρ étant elle-même convergente. Donc tout ensemble sur lequel une série trigonométrique converge absolument partout est un ensemble de seconde catégorie. Ce remarquable théorème de Denjoy-Lusin, conséquence des propriétés de la mesure pose le problème de la caractérisation des ensembles de convergence absolue d’une série telle que n ∑ ρ diverge. C’est à Marcinkiewicz J.([Mar]),en 1938, qu’on a l’appellation N-ensemble ou ensemble de type N, un ensemble E tel qu’il existe une série trigonométrique absolument convergente sur E sans l’être partout. Mais, Lusin avait remarqué auparavant (1915) qu’un tel ensemble est de première catégorie et de type Fσ . Donc, les N-ensembles sont toujours de mesure nulle et de la première catégorie. Salem R. ([Sal]) ensuite, en 1941, a indiqué qu’à tout N-ensemble, on peut adjoindre un point, donc un nombre fini sans que la réunion cesse d’être un N-ensemble. Il a remarqué aussi que |sin | n ∑ ρ nx a un ensemble de convergence déduit de celui de |sin( )| ∑ ρ n nx − α n par translation, si ce dernier n’est pas vide. On peut alors montrer que pour tout N-ensemble E il existe une série de sinus |sin |n ∑ ρ nx convergente sur E avec n ∑ ρ = ∞ . Pour l’étude des N-ensembles, il suffit donc de se limiter aux séries de sinus. En 1943, Arbault J. ([Arb]) a abordé la question concernant l’ensemble de convergence absolue. Pour l’étude des N-ensembles, il a introduit la notion de N0-ensemble ou ensemble de type N0, un ensemble E tel qu’il existe une série |sin | ∑ k nπ x convergente sur E, ( )nkn ∈ ¥ étant une suite d’entiers croissante ; il y montre que tout N0-ensemble est un N-ensemble, la réciproque est fausse. Il a donné plusieurs propriétés de l’ensemble de convergence absolue, comme l’introduction pour la première fois de la notion des ensembles permis, c’est à dire les ensembles que l’on peut adjoindre à un N-ensemble donné sans que la réunion cesse d’être un N-ensemble. Le présent exposé est consacré entièrement à l’étude de la convergence absolue d’une série trigonométrique et à la caractérisation de ces ensembles de convergence absolue, et est divisé en trois chapitres. Dans le premier chapitre, après avoir étudiés certains résultats classiques concernant la question de l’effet montré par des points de convergence absolue sur la convergence et la divergence d’une série qui nous sont utiles par la suite, nous montrons que tout ensemble de seconde catégorie est un A.C.-ensemble, puis nous prouvons que, sans perdre de généralité, il est possible d’examiner une série consistant seulement des sinus. En suite, nous voyons que toute base n’est pas un N-ensemble, puis nous indiquons un curieux supplément au théorème de Lusin-Denjoy. Le deuxième chapitre est consacré entièrement aux propriétés des ensembles de convergence absolue. Nous abordons les propriétés des ensembles de type R, en introduisant le concept des suites de limites nulles et les N0-ensembles. Nous démontrons qu’il existe des N-ensembles qui ne sont pas des R-ensembles ; la question de la réciproque n’est pas résolue. En suite, nous étudions la question relative aux ensembles permis. Dans le dernier chapitre, nous examinons le problème de la convergence absolue d’une série avec des suppositions spéciales concernant les coefficients de la série.

Théorème 1.7 (Théorème de Lusin)

1. Si une série trigonométrique possède un ensemble infini des points de convergence absolue, alors ou bien il converge presque partout ou bien il diverge presque partout.
2. Si une série trigonométrique converge absolument en deux points où la distance entre eux est infiniment petite par rapport àπ , alors ou bien il converge presque partout ou bien il diverge presque partout.
Preuve : La seconde partie de ce théorème se déduit de la première. En effet, soit x1 − x0 = ξ où ξ est infiniment petit par rapport à π et la série converge absolument aux points x0 et x0. D’après le théorème de Fatou, il devrait alors converger absolument à tous les points du type xn = x0 + nξ, où n est un entier quelconque (puisque ils sont symétriques l’un de l’autre), ce qui veut dire aussi que à tous les points tn appartenant dans [ 0,2π ] tels que (mod 2 ) t n ≡ xn π . Mais dû au fait que ξ est infiniment petit par rapport àπ , ces points sont infiniment nombreux, puisque ils sont différents l’un de l’autre, par conséquent, nous avons les conditions du premier théorème. Pour montrer la première partie du théorème, nous remarquons que si l’ensemble A des points de convergence absolue est infini, alors il devrait posséder une valeur d’adhérence, et par suite, pour tout ε > 0 il est possible de trouver deux points 1 ξ et 2ξ de A à une distance plus petite que ε . Puisque tout point de la forme 1 2 1ξ + n(ξ − ξ ) , où n est un entier, appartient encore à A, nous montrons facilement que l’ensemble des points appartenant à A est partout dense.

Théorème de Minkowski

La théorie de l’approximation diophantienne est l’étude de diverses propriétés d’approximation de nombres par les rationnels. Le théorème de Minkowski entre dans ce cadre, qui consiste généralement en théorie des nombres à des propriétés d’approximation simultanée de nombres par des rationnels, ou, ce qui revient au même, à des propriétés d’approximation de vecteurs de n¡ par des vecteurs à coordonnées rationnelles.

Résumé

Si une série trigonométrique converge absolument sur un ensemble E de mesure positive, elle converge absolument partout, la série des ses coefficients étant elle-même convergente, donc tout ensemble de mesure positive est un A.C.-ensemble. Cependant, il se peut que la série des coefficients d’une série trigonométrique absolument convergente diverge, et cela pose le problème de la caractérisation de ses ensembles de convergence absolue. Tout ensemble de seconde catégorie est un A.C.-ensemble. Donc, les N-ensembles sont toujours de mesure nulle et de première catégorie. Tout ensemble dénombrable est un N-ensemble, une base ne peut pas être un N-ensemble. Il existe des N-ensembles qui ne sont pas des R-ensembles. La réunion de deux N-ensembles peut ne pas être de type N, mais un ensemble dénombrable arbitraire est permis pour tout N-ensemble. Si la suite des coefficients d’une série absolument convergente de sinus ou de cosinus, même seulement en un point, décroît presque monotonement, alors la série de ses modules converge. Une série-nulle ne peut pas posséder deux points de convergence absolue à une distance non commensurable avecπ . Elle n’a qu’un nombre fini des points de convergence absolue. Si un nombre fini des coefficients d’une série-nulle est égal à zéro, alors elle ne peut converger absolument qu’en deux points distants deπ .

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Table des matières

Introduction
1.Ensemble de convergence absolue
1.1 Généralités
1.2 Effet des points de convergence absolue sur la convergence d’une série
1.3 Théorème de Lusin concernant la catégorie des ensembles de points de convergence absolue
1.4 Propriétés des N-ensembles et réduction à une série de sinus
1.5 Bases et convergence absolue
1.6 Complément par Salem au théorème de Lusin-Denjoy
2.Propriétés des ensembles de convergence absolue
2.1 Ensembles de type R
2.1.1 Conditions suffisantes pour être un R-ensemble
2.1.2 A propos de la mesure et de la dimension de Hausdorff pour les R-ensembles
2.2 Les propriétés générales des R-ensembles et N-ensembles
2.3 Les relations entre les classes des ensembles R , N0 et N
2.4 Ensembles permis
3.Convergence absolue pour des séries d’une forme spéciale
3.1 Théorème de Szász
3.2 Convergence absolue avec des suppositions spéciales concernant les coefficients de la série
3.3 Problème des points de convergence absolue pour la série-nulle
4.Annexe
4.1 Espace de Baire
4.2 Propriété des séries à termes positifs
4.3 Topologie faible
4.4 Théorème de Minkowski
4.5 Distribution uniforme
4.5.1 Suite uniformément distribuée
4.5.2 Théorème de Weyl
Bibliographie