Suggestions psychopédagogiques et sur la connaissance de la géométrie.

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LA MESURE DE L’OBJET PHYSIQUE ET EXEMPLES SUR LES PROBLEMES DE LA DIMENSION

L’unité de mesure utilisée dépend de la dimensionedl’objet physique à étudier. Pour pouvoir mesurer un objet, les hommes scientifiques ont décidé d’avoir une unité de mesure de la longueur (par exemple 1 kilomètre), une unitéde mesure d’une surface (par exemple 1 hectare), une unité de mesure du volume (par exemple 1 litre).

Mesure de la longueur

La mesure de la distance (longueur, largeur, hauteur, profondeur, altitude, épaisseur), le chemin, le trajet, la circonférence ou le périmètred’un objet peut s’exprimer en mètre ou de ces multiples et/ou de ces sous-multiples.
Un fil tendu représente une ligne droite. Pour mesurer la longueur de ce fil, il est nécessaire de prendre une unité de base selon le choix de l’examinateur. Nous avons l’habitude d’utiliser un objet gradué qui représent la grandeur pour mesurer cette longueur. Cette longueur est donnée par la distanceentre les deux extrémités de ce fil tendu. Nous remarquons que ce fil tendu est un objet linéaire ou un objet à dimension 1. Ce fil tendu est dirigé par une seule direction.
Dans cet exemple, la longueur de ce fil tendu est égale à 25cm. Donc, cette grandeur physique représente la taille d’un fil. La longueur de ce fil est donnée par: L=25cm.
D’ après ce résultat ; L=25cm qui exprime la longueur physique de ce fil. Le résultat est donné par un seul paramètre.
A l’aide d’une unité de la longueur, on peut s’exprimer toutes autres mesures de la longueur. Dans ce cas, l’étude se fait à dimension 1 car il s’agit d’un seul paramètre pour mesurer toutes les mesures.

Préliminaire sur la géométrie plane et la ométriegé dans l’espace

Au CEG, on étudie beaucoup la géométrie plane. Donc, les élèves ont la notion sur les propriétés des points, des droites dans unplan. Or, nous remarquons que les conditions sont différentes à celle dans l’espace. Pour passer à la géométrie dans l’espace, les apprenants doivent connaître la différence de l’étude dans un plan et l’étude dans l’espace. Toutes les personnes enseignantes doivent trouver le moyen d’introduire la notion de dimension pour que les élèves ne confondent pasles cas.

Le cas d’un repère non orthonormé

Nous allons prendre des exemples sur les constructions d’un repère du plan et d’un repère de l’espace. Au lycée, on avait l’habitude d’utiliser un repère orthonormé direct pour le cas d’un plan et le cas de l’espace. Pourta nt, les repères d’un plan et de l’espace peuvent ne pas être orthonormé direct. On peut dire que le repère orthonormé direct est un cas particulier d’un repère et ce repère orthonormédirect est le plus facile pour faire l’étude de problèmes de l’espace. Dans ce cas, l’unité de base est conforme au cas normal. Si on représente un objet dans un repère non orthonormé,l’objet est déformé.
Soit (O; i , j ) un repère orthogonal mais ce n’est pas normé. Nous allons prendre comme exemple, la représentation graphique d’un disque dans la base R R i , j tandis que l’unité de R R mesure suivant l’axe (O, i ) et l’unité de mesure suivant l’axe (0, j ) sont respectivement.
2cm et 1cm. Si on fait la représentation graphique,le disque a la forme d’une ellipse.
R 1cm d’une longueur réelle 1cm dans la représentation graphique suivant l’axe (O, i ).
R 1cm d’une longueur réelle 2cm dans la représentation graphique suivant l’axe (0, j).

Le raisonnement exigé aux élèves

Nous sommes toujours dans la comparaison entre la géométrie plane et la géométrie dans l’espace. Il y a de grandes différences sur les positions de deux droites en géométrie plane et géométrie dans l’espace. Qu’est-ce que nous pouvons savoir sur les positions d’une droite et un plan ainsi que les positions de deux plans ? Que veut dire: demi-droite, demi-plan et demi-espace ? Nous avons tenté de répondre à cette diversité d’exigences.

Etude pratique

Positions relatives de deux droites:
· En géométrie plane, les deux droites sont ou bien trictements parallèles (si elles n’ont aucun point commun), ou bien confondues (si les deux droites sont égales), ou bien sécantes (si elles ont un unique point d’intersection). En particulier, si les deux droites sont perpendiculaires alors les deux droites sont sécantes.
· En géométrie dans l’espace, les deux droites peuvent être coplanaires ou non coplanaires. D’une part, si les deux droites sont coplanaires, elles suivent le cas de deux droites du plan. D’une autre part, si les deux droites sont non coplanaires, elles ne sont ni parallèles ni sécantes. Si on veut démontreque deux droites de l’espace soient strictement parallèles, il faut que les deux droites se situent dans un même plan et il faut qu’elles n’aient aucun point commun. On remarque qu e l’absence du point commun ne suffit pas à caractériser les conditions du parallélisme de deux droites de l’espace.
Positions relatives d’une droite et d’un plan:
· En géométrie dans l’espace, il y a trois cas possibles des positions relatives d’une droite et d’un plan. Tout d’abord, une droite est incluse dans le plan. Ensuite, une droite peut être strictement parallèle avec un planc’est-à-dire la droite et le plan n’ont aucun point commun. Enfin, une droite et un plan sont sécants si la droite coupe le plan en un point. En particulier, si une droite et un plan sont perpendiculaires alors le plan et la droite sont dits sécantes.

Quelques applications correspondantes à la vie cour ante

Nous allons prendre des exemples de différents objets ayant une forme géométrique régulière. Considérons un objet à dimension 2 ou à dimension 3. On sait que l’objet à dimension 2 peut se représenter sous forme d’une figure plane et l’objet à dimension 3 peut se représenter sous forme d’une figure de l’espace. Nous essayons de relier les problèmes de la dimension et les problèmes métriques.
Un objet à dimension 2 se représente dans le plan. Supposons que nous avons un objet ayant une surface plane. On remarque que la droite de la base est perpendiculaire à la longueur correspondante. Chaque morceau d’une surface plane a toujours la mesure selon sa grandeur. On appelle AIRE, la mesure de la surface considérée. Nous allons voir un moyen pour mesurer une surface plane limitée à l’aide des exemples.

Table des matières

PREAMBULE
PARTIE I : NOTION DE DIMENSION
CHAPITRE 1 : NOTION DE DIMENSION DANS SON ASPECT PRATIQUE
1-1) La signification de la dimension en physique
1-1-1) Problème de langage
1-1-2) La signification de la dimension en physique
1-1-3) L’espace physique
1-1-4) L’objet physique
1-2) La mesure de l’objet physique et exemples sur les problèmes de la dimension
1-2-1) Mesure de la longueur
1-2-2) Mesure de la surface
1-2-3) Mesure du volume
1-2-4) Problèmes de la dimension en espace physique
1-2-5) Conclusion
CHAPITRE 2 : NOTION DE DIMENSION DANS SON ASPECT THEORIQUE
2-1) Introduction de la notion de dimension
2-1-1) Notion d’espace vectoriel
2-1-1-1) Définition
2-1-1-2) Théorème
2-1-2) Sous-espaces vectoriels
2-1-3) Sous-espace vectoriel engendré par une partie
2-1-3-1) Théorème
2-1-3-2) Définition
2-1-4) Dimension d’un espace vectoriel
2-1-4-1) Combinaison linéaire
2-1-4-2-Famille génératrice
2-1-4-3) Dépendance et indépendance linéaires
2-1-4-4) Base
2-1-4-5) Dimension
2-1-5) Espace affine associé à l’espace vectoriel
2-1-5-1) Définition
2-1-5-2) L’équipollence
2-1-5-3) Repère d’un espace affine
2-1-5-4) Exercices
2-1-6) Dimension d’un espace affine associé à l’espace vectoriel
2-1-6-1) Sous-espaces affines
2-1-6-2) Propriétés de parallélisme
2-1-6-3) Notions importantes
2-1-7) Opinion
2-2) Comparaison entre la géométrie plane et la géométrie dans l’espace
2-2-1) Préliminaire sur la géométrie du plan et la géométrie dans l’espace
2-2-1-1) Etude pratique
2-2-1-2) Etude théorique
2-2-2) La configuration plane et la configuration spatiale
2-2-3) Le raisonnement exigé aux élèves :
2-2-3-1) Etude pratique
2-2-3-2) Etude théorique
2-2-4) Le problème métrique
2-2-4-1) Généralité
2-2-4-2) Cas de l’espace usuel
2-2-4-3) Etude théorique
2-2-4-4) Quelques applications correspondantes à la vie courante.
· Figure plane.
· Figure dans l’espace.
PARTIE II: SUGGESTIONS SUR L’ENSEIGNEMENT DE LA GEOMETRIE AU LYCEE
CHAPITRE3: Les remarques pour les jeunes lycéens.
3-1) Au niveau de la psychologie et de la pédagogie
3-2) Apprentissage et didactique des mathématiques
3-2-1) Cas général
3-2-2) Cas particulier dans l’enseignement de la géométrie
3-2-3) Exemple sur la difficulté rencontrée
CHAPITRE 4 : Suggestions psychopédagogiques et sur la connaissance de la géométrie.
4-1) Les méthodes utilisées par l’enseignant en enseignant la géométrie.
4-2) Les moyens efficaces pour les apprenants
4-3) L’importance de faire la figure dans l’apprentissage de la géométrie.
4-4) La construction géométrique en utilisant les matériels didactiques.
4-5) Divers
CONCLUSION GENERALE.

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