Soutenance mémoire
Cas des sommes de solitons
On se place dans une situation plus compliquée qu’un seul soliton. Le multi-soliton est une solution exacte de l’équation (LL) qui peut être vue comme une superposition non linéaire de plusieurs solitons découplés. Martel, Merle et Tsai [51] ont montré que si la donnée initiale est proche de la somme de N solitons alors la solution correspondante de (gKdV) converge fortement vers cette somme de soliton dans H1 (x ≥ c1t/10) où c1 est la vitesse du premier soliton en utilisant deux formule de monotonie, une sur la masse et l’autre sur l’énergie. On ne peut pas établir une convergence forte sur toute la droite réelle car dans ce cas la solution est exactement un multi-soliton [39]. Dans notre cas, on ne peut pas aboutir à une convergence forte comme pour les équations (gKdV) par la méthode de Martel, Merle et Tsai [51] à cause de l’absence d’une formule de monotonie sur l’énergie. La formule de monotonie sur le moment ne permet que d’analyser ce qui se passe autour de chaque soliton. Pour cela, on montre pour (LL) que les solitons s’éloignent l’un de l’autre de plus en plus c’est-à-dire qu’on ne peut pas avoir une interaction entre eux. On établit ensuite la stabilité asymptotique autour de chaque soliton puis celle entre les solitons.
Orbital stability
A perturbation of a soliton is provided by another soliton with a slightly different speed. This property follows from the existence of a continuum of solitons with different speeds. A solution corresponding to such a perturbation at initial time diverges from the soliton due to the different speeds of propagation, so that the standard notion of stability does not apply to solitons. The notion of orbital stability is tailored to deal with such situations. The orbital stability theorem below shows that a perturbation of a soliton at initial time remains a perturbation of the soliton, up to translations, for all time. The following theorem is a variant of the result by de Laire and Gravejat [19] concerning sums of solitons. It is useful for the proof of the asymptotic stability.
Résumé
Dans cette thèse, nous étudions l’équation de Landau-Lifshitz avec une anisotropie planaire en dimension un. Cette équation décrit la dynamique de l’aimantation dans des matériaux ferromagnétiques. Elle admet des solutions particulières de type onde progressive appelées solitons. D’abord, nous montrons la stabilité asymptotique des solitons de vitesse non nulle appelés solitons sombres dans l’espace d’énergie. Plus précisément, nous prouvons que toute solution correspondant à une donnée initiale proche du soliton de vitesse non nulle, converge faiblement dans l’espace d’énergie en temps long, vers un soliton de vitesse non nulle, sous les invariances géométriques de l’équation. Notre analyse repose sur les idées développées par Martel et Merle pour les équations de Korteweg-de Vries généralisées. Nous utilisons la transformée de Madelung pour étudier le problème dans le cadre hydrodynamique. Nous invoquons ensuite la stabilité orbitale des solitons et la continuité faible du flot afin de construire le profil limite. Nous établissons de plus une formule de monotonie pour le moment, ce qui nous permet d’avoir la localisation du profil limite. Sa régularité et sa décroissance exponentielle découlent d’un résultat de régularité pour les solutions localisées des équations de Schrödinger. Nous finissons la preuve par un théorème de type Liouville, qui nous indique que seuls les solitons vérifient ces propriétés dans leurs voisinages. Nous nous intéressons également à la stabilité asymptotique d’une superposition de plusieurs solitons appelées multi-solitons. Les solitons de vitesse non nulle sont ordonnés selon leurs vitesses et sont initialement bien séparés. Nous démontrons la stabilité asymptotique autour et entre les solitons. Plus précisément, nous montrons que pour une donnée initiale proche de la somme de N solitons sombres, la solution correspondante converge faiblement vers un des solitons de la somme, quand elle est translatée au niveau du centre de ce soliton, et converge faiblement vers zéro quand elle est translatée entre les solitons.
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Table des matières
1 Introduction
1.1 Motivation physique
1.2 État de l’art mathématique
1.2.1 Au sujet du problème de Cauchy
1.2.2 Les solitons
1.3 Stabilité asymptotique des solitons et multi-solitons de (LL) en dimension un
1.3.1 Cas d’un seul soliton
1.3.2 Cas des sommes de solitons
1.4 Conclusion
2 Asymptotic stability in the energy space for dark solitons of the Landau-Lifshitz equation
2.1 Introduction
2.2 Main steps for the proof of Theorem 2.1.1
2.2.1 The hydrodynamical framework
2.2.2 Orbital stability
2.2.3 Asymptotic stability for the hydrodynamical variables
2.2.4 Proof of Theorem 2.1.1
2.3 Proof of the orbital stability
2.4 Proofs of localization and smoothness of the limit profile
2.4.1 Proof of Proposition 2.2.2
2.4.2 Proof of Proposition 2.2.7
2.5 Proof of the Liouville theorem
2.5.1 Proof of Proposition 2.2.8
2.5.2 Proof of Lemma 2.2.1
2.5.3 Proof of Proposition 2.2.9
2.5.4 Proof of Proposition 2.2.10
2.5.5 Proof of Corollary 2.2.1
2.6 Appendix
2.6.1 Weak continuity of the hydrodynamical flow
2.6.2 Exponential decay of χc
3 On the asymptotic stability in the energy space for multi-solitons of the LandauLifshitz equation
3.1 Introduction
3.1.1 The hydrodynamical framework
3.1.2 Asymptotic stability in the original framework
3.1.3 Asymptotic stability in the hydrodynamical framework
3.1.4 Plan of the paper
3.2 Orbital stability in the hydrodynamical framework
3.3 Asymptotic stability around the solitons in the hydrodynamical variables
3.3.1 Proofs of (3.1.9) and (3.1.12)
3.3.2 Localization and smoothness of the limit profile
3.4 Asymptotic stability between the solitons in the hydrodynamical framework
3.4.1 Proof of (3.1.10)
3.4.2 Proof of the Liouville type theorem
3.4.3 Proof of Proposition 3.4.1
Bibliographie
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