Soutenance mémoire
La modélisation d’un système physique est une phase essentielle dans une démarche scientifique qui vise l’analyse de son comportement et son contrôle pour améliorer ses performances. Elle permet d’avoir une représentation simplifiée d’un système ou d’un phénomène physique. Les équations différentielles ordinaires (EDOs) et les équations aux dérivées partielles (EDPs) ont largement été exploitées pour la modélisation de systèmes physiques [Kha96], [Cor07] et [BC16]. Il apparait alors un compromis entre la commodité de l’étude d’un modèle simple (linéaire et de dimension finie par exemple) et la conformité d’un modèle plus élaboré (dimension infinie et/ou non-linéaire) mais dont l’analyse et la commande peuvent générer des problèmes techniques menant à des verrous scientifiques. Il est par exemple possible de produire pour un système physique donné un modèle du second ordre linéaire ou un modèle linéaire du premier ordre retardé .
D’autres systèmes demandent des modèles plus compliqués pour être décrits de manière plus précise. D’où l’idée d’effectuer un couplage entre les deux types d’équations. L’analyse et le contrôle de ces systèmes, couplant EDOs et EDPs, est un sujet très intéressant et attractif, et a fait l’objet de plusieurs articles de recherche scientifique disponibles dans la littérature ([Krs09], [SGK10], [PWB08], [TPG15] et [PP06] par exemple) mais il reste un grand nombre d’aspects et de verrous théoriques et techniques à traiter. L’intérêt de cette classe de systèmes apparait également dans la possibilité de présenter plusieurs systèmes physiques dans différents domaines tels que le contrôle de température de bâtiments intelligents [Cas+15], contrôle dans les tokamak(plasma en fusion) [Wit+07] ou le contrôle de la circulation (flux de voiture) [JKW06], contrôle de turbulence [Fei+17] ou contrôle d’écluses [BCN+09], parmi beaucoup d’autres applications.
La difficulté première de ce type de système est le couplage entre un état de dimension finie vérifiant les EDOs présentes et un état de dimension infinie, solution de la ou des EDPs. Plus précisément, nous parlons d’état de dimension infinie dans la mesure où il s’agira de fonctions (d’une variable d’espace par exemple), appartenant à un espace fonctionnel de dimension infinie. Il faut donc imaginer une manière de généraliser les outils de l’automatique classique à une classe de systèmes dont la dimension n’est pas finie. Certaines approches d’étude de stabilité de ce type de systèmes consistent par exemple à travailler sur un modèle approché, de dimension finie, afin d’éviter les différentes difficultés du système original. Cependant, un système de grande dimension pourrait être inévitable pour garder la nature du phénomène considéré, conduisant à des difficultés spécifiques. Dans d’autres situations, de telles approximations peuvent ne pas être pertinentes, les principales caractéristiques de la dynamique pourraient être alors négligées. Par exemple, des phénomènes de spillover peuvent se produire (phénomène ou un contrôleur conçu pour stabiliser le système approché à l’ordre N, excite spécifiquement la première dynamique négligée dans l’étude, c’est à dire le mode d’ordre N +1, situation que nous trouvons dans le contrôle des vibrations [Eva98]). Il est donc naturel de dire que l’étude de stabilité ou du contrôle des systèmes couplés impliquant une équation aux dérivées partielles représente un domaine difficile et intéressant de recherche en automatique mais relevant aussi des mathématiques appliquées.
Motivation à travers quelques exemples applicatifs
Exemple 1 : Transport d’un flux de gaz
Ce premier exemple d’application concerne le transport d’un flux de gaz étudié dans [SBS17b], [Col+09], [DGL10] et [TPG15]. Il s’agit de considérer un système se composant de deux sous-systèmes caractérisant la dynamique d’une colonne chauffante équipée d’un tube d’évacuation du gaz.
Exemple 2 : Réseaux de communication
Le deuxième exemple concerne la modélisation des réseaux de communication traité dans [Esp+17a] et [Esp+17b] et plus détaillé dans [Esp+16]. Dans ce système informatique, les informations fournies par le serveur sont transmises à travers des canaux de communication numérique. La dynamique du serveur y est représentée par une EDO, et celle des canaux par des équations de transport à vitesses différentes. Cela nous amène à chercher une représentation générale de ce système où l’EDO est couplée à des équations de transport vectorielles à plusieurs vitesses constantes.
La méthode de Lyapunov est l’une des méthodes les plus utilisées dans l’étude de stabilité des systèmes physiques décrits sous forme de réseaux. On peut par exemple citer l’article [Bas+07] qui produit des conditions suffisantes de stabilité pour ce type de systèmes en utilisant la méthode de Lyapunov. Par ailleurs, on peut également mentionner le livre [Cor07] qui développe entre autre la méthode de Lyapunov pour l’étude de stabilité d’EDPs variées. Enfin, plusieurs autres travaux de recherche exploitent cette méthode afin de produire des approches de stabilité plus robustes. Le paragraphe suivant introduit la notion du transport avant de développer par la suite notre approche conduisant à la stabilité de Lyapunov.
Notion de transport
Afin de préciser le phénomène de propagation (ou transport) considéré dans cette thèse, précisons la résolution d’une équation de transport donnée :
∂tz(x, t) + ρ∂xz(x, t) = 0, x ∈ (0, 1), t ≥ 0
z(x, 0) = z0(x) x ∈ (0, 1)
z(0, t) = h(t) t ≥ 0,
où ρ est la vitesse de transport. Selon la valeur de celle-ci le transport s’effectue dans un sens ou dans l’autre. Une étude simple de l’équation de transport peut être lue dans [Cor07, Section 2.1, p24], sous les hypothèses z0 ∈ L2 (0, 1), h ∈ L2 (R+). Si nous nous trouvons dans un cadre plus régulier, avec par exemple z0 ∈ C1 ([0, 1]) et h ∈ C1 (R+) nous pouvons tout simplement démontrer que la solution s’écrit, ∀x ∈ (0, 1), ∀t ≥ 0,
z(x, t) = z0(x − ρt).
Stabilité au sens de Lyapunov
La méthode de Lyapunov est une des méthodes fondamentales pour la stabilité des systèmes dynamiques (voir [Kha96]). C’est un ensemble de résultats mathématiques basés sur la décroissance de l’énergie totale d’un système donné. Elle est très largement utilisée pour l’étude de stabilité de différentes équations différentielles (EDOs et EDPs) et consiste à choisir, dans un premier temps, une fonctionnelle candidate de Lyapunov exprimée en fonction de l’état du système étudié et respectant des propriétés de positivité et de dérivabilité, puis à transformer la vérification de ces propriétés en un simple problème d’optimisation. À chaque type d’équation différentielle considérée, une fonctionnelle de Lyapunov appropriée doit être définie.
Notions de base
Dans cette section nous fournissons quelques définitions et théorèmes de base concernant l’étude de stabilité au sens de Lyapunov d’un système de dimension finie. Considérons l’équation différentielle suivante :
X˙ (t) = f(X(t))
X(t0) = X0,
où X(t) ∈ Rn est l’état du système fini.
Définition 1.1 (Point d’équilibre [Kha96]). Un état Xe est un point d’équilibre du système (1.7) si pour tout instant t ≥ t0 l’état du système X(t) = Xe. Le point d’équilibre Xe vérifie f(Xe) = 0.
Définition 1.2 (Stabilité d’un point d’équilibre [Kha96]). Le point d’équilibre Xe est stable, si pour tout ε > 0 il existe λ(ε) > 0 tel que
|X0 − Xe|n ≤ λ =⇒ |X(t) − Xe|n ≤ ε, t ≥ t0.
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Table des matières
1 Introduction
Introduction
1.1 Motivation à travers quelques exemples applicatifs
1.2 Notion de transport
1.3 Stabilité au sens de Lyapunov
1.4 Lien entre systèmes EDO-EDP et à retard
1.5 Objectif et contributions de la thèse
2 Stabilité d’un système couplé simple
2.1 Introduction
2.2 Formulation du problème
2.3 Existence et régularité des solutions du système couplé EDO-EDP
2.4 Fonctionnelles de Lyapunov candidates
2.5 Conditions de stabilité du système EDO-EDP de transport
2.6 Applications numériques
2.7 Conclusion
3 Système couplé EDO-EDP général
3.1 Introduction
3.2 Formulation du problème
3.3 Projection sur les polynômes de Legendre
3.4 Fonctionnelle de Lyapunov candidate
3.5 Stabilité L2 du système couplé EDO-EDP de transport
3.6 Quelques cas particuliers du système couplé
3.7 Conclusion
4 Intérêts de la modélisation du retard dans un système par une équation de transport
4.1 Introduction
4.2 Modèles de transformation
4.3 Analyse de stabilité
4.4 Applications numériques
4.5 Conclusion
Conclusion
