SQUID ET CCC – ASPECTS THEORIQUES FONDAMENTAUX

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Le Système International d’unités

δe système d’unités approuvé lors de la 10ème CGPM fut nommé en 1960 « Système International d’unités » (SI) lors de la 11ème CGPM. Cette décision fut une avancée majeure dans la réalisation d’un système d’unités disposant « (…) d’un ensemble d’unités bien définies, universellement reconnues et faciles à utiliser pour la multitude des mesures qui confortent l’assise de notre société, les unités choisies doivent être accessibles à tous, supposées constantes dans le temps et l’espace, et faciles à réaliser avec une exactitude élevée » [7]. Les états membres de cette Convention du Mètre ont ainsi adopté le système métrique et ont pris les dispositions pour éliminer la plupart des utilisations des mesures traditionnelles.
La septième et dernière unité de base du SI a été ajoutée en octobre 1971 lors de la 14ème CGPM : la mole. Les sept unités de base du SI (mètre, kilogramme, seconde, ampère, kelvin, candela et la mole) sont liées à sept grandeurs physiques distinctes : respectivement distance, masse, temps, intensité de courant, température thermodynamique, intensité lumineuse et quantité de matière. Toutes les autres unités1 sont formées à partir de produits de puissance des unités de base. Les définitions des unités de base du SI ont évolué au fil des découvertes et progrès technologiques. La définition du kilogramme est la plus ancienne alors que celle du mètre est la plus récente. Les définitions les plus récentes de chaque unité du SI sont regroupées dans le Tableau 1 [7]. Cette évolution a permis de satisfaire le besoin en précision de tous les utilisateurs et d’améliorer la cohérence du système d’unités.
Cette évolution n’est sans doute pas terminée et les travaux des instituts nationaux de métrologie ne connaîtront sans doute jamais de fin. L’évolution de la définition du mètre dans le sens de sa dématérialisation en est l’illustration : il fut redéfini le 14 août 1960 comme étant égal à 1 650 763,73 fois la longueur d’onde d’une radiation de l’atome krypton 86 dans le vide.
Cette définition, fondée sur un phénomène physique, marquait le retour à un étalon naturel, reproductible, offrant des garanties de permanence et d’invariabilité permettant d’avoir une exactitude près de cinquante fois supérieure à celle qu’autorisait le prototype international et une meilleure garantie de conservation à très long terme. En 1983, suite aux importants travaux sur la vitesse de la lumière et sur les horloges atomiques, le mètre prend sa définition actuelle.
Il faut également noter que même si les sept grandeurs de base sont considérées comme indépendantes par convention [9], les unités de base ne le sont pas (voir Figure 1-1). Ainsi la définition du mètre fait appel à la seconde ; la définition de la mole fait appel au kilogramme ; la définition de la candela fait appel au mètre, au kilogramme et à la seconde ; et la définition de l’ampère fait appel au mètre, au kilogramme et à la seconde.
Bien que le SI soit cohérent, des limites au niveau de l’incertitude minimale atteignable ont été identifiées. Elles concernent principalement le kilogramme, l’ampère la mole et le kelvin.
δe kilogramme est l’unité de masse. Elle est égale à la masse du prototype international du kilogramme (PIK). Le mètre, la candela, la seconde, la mole, le kelvin2 et l’ampère sont, par opposition au kilogramme, des unités fondées sur la fixation de la valeur numérique de constantes de la nature. La définition actuelle du kilogramme implique plusieurs limites. En tant qu’artéfact matériel, le PIK est relié à aucun invariant de la nature [11] : il peut donc être endommagé, détruit, collecter la poussière et des composés chimiques indésirables. De plus, il n’est accessible qu’au BIθM. θour réduire l’impact des polluants, la définition du kilogramme fait référence à la masse du PIK immédiatement après un processus précis de lavage et de nettoyage [12]. Malgré cela, la masse des étalons de référence3 dérive avec le temps par rapport au PIK. La Figure 1-2 représente en effet la variation en masse, par rapport à celle du PIK, de quatre copies officielles (numérotées K1, 7, 8(41), 25 et 32) entre 1889 et 1989 et de deux copies officielles ayant pour numéros 43 et 47 depuis 1946.
Les variations atteignent 60 μg sur 100 ans, soit une dérive relative de +0,6 μg/an. Ces dérives relatives s’expliquent par l’usure et une contamination irréversible de surface. Elles sont supérieures à la précision atteinte par les meilleurs balances actuelles lors de comparaisons d’étalons à l’air : 10-10 [14]. On ne peut pas exclure que les prototypes possèdent une dérive commune en plus d’une dérive relative. La contamination de surface limite donc l’incertitude atteignable de la dissémination de l’unité de masse au plus haut niveau [15]. Ces limites se répercutent sur les unités dépendantes de l’unité du kilogramme, comme la candela, la mole et l’ampère (voir Figure 1-1).
Figure 1-2 : Variation en masse m de copies officielles par rapport à la masse du PIK [13]. Comme le kilogramme, la définition de l’ampère présente des limites. En effet, il n’existe pas d’étalon de définition facilement exploitable en raison des hypothèses de longueur infinie et de section circulaire négligeable qui ne peuvent pas être satisfaites expérimentalement. Un dispositif expérimental appelé « balance de l’ampère » a été mis en place jusque dans les années soixante pour représenter l’ampère. Son principe repose sur une comparaison entre la force électromagnétique due à un courant circulant dans des bobines et le poids d’une masse étalonnée.
δa principale limitation de la balance de l’ampère provenait de la géométrie des deux bobines, difficile à déterminer : l’incertitude relative ne dépassait alors pas 5.10−6 [16][17][18]. δa réalisation pratique de l’ampère avec une exactitude élevée ne répond donc pas aux exigences de l’instrumentation moderne qui nécessite des étalons électriques de plus en plus stables et reproductibles. Une autre expérience a été envisagée pour déterminer indirectement l’ampère avec une incertitude de l’ordre de 10-6. Fondée sur des mesures du rapport gyromagnétique du proton en champ faible et fort [19] grâce aux techniques de résonance magnétique nucléaire (RMN) [20], les mesures sont en revanche dépendantes d’un facteur géométrique.
ηutre la réalisation de l’ampère, l’intérêt de cette expérience réside surtout dans le fait qu’elle contribue à la détermination d’autres constantes fondamentales comme la constante de Planck h, la constante de structure fine4 α = μ0c/(2h/e²) et les constantes de von Klitzing RK et de Josephson KJ, qui sont théoriquement reliées à h et à la charge élémentaire e.
δ’incertitude de 10-6 typiquement atteignable sur le courant est obtenue en l’absence des perturbations liées aux variations du champ magnétique terrestre ou des champs parasites qui résultent de l’activité humaine. Ces perturbations, difficiles à compenser, rendent cette méthode de conservation de l’ampère peu pratique.

Effets et étalons quantique pour une révision du SI

Depuis plus de deux décennies, les unités dérivées ohm et volt sont maintenues par deux phénomènes quantiques de la physique de la matière condensée : l’effet Josephson alternatif (EJ) et l’effet Hall quantique (EHQ). Ces phénomènes ont véritablement révolutionné la métrologie électrique en liant la résistance et la force électromotrice directement à deux constantes fondamentales, respectivement les constantes de Josephson KJ et de von Klitzing RK, la théorie prédisant que KJ = 2e/h et RK = h/e².
Sous certaines conditions, ces deux effets quantiques permettent la réalisation d’étalons quantiques dont les valeurs sont indépendantes de l’espace et du temps et établissent de manière unique et simultanée la représentation de l’ohm et du volt dans le monde. Depuis les deux dernières décennies, leur grande reproductibilité a amené à l’amélioration de la cohérence et du maintien des unités électriques (anciennement fondées sur des piles de Weston saturées et des résistances à fil bobiné) par un facteur 100 et donne lieu à l’amélioration et la simplification de la traçabilité de toutes les mesures de résistances et de tensions dans le SI.
Avec l’émergence de la métrologie électrique quantique fondée sur les étalons quantiques de tension et de résistance, le développement d’expériences visant à mesurer précisément des constantes fondamentales de la nature, le progrès des sciences et de la nano-fabrication, un SI quantique, c’est à dire un SI dont les unités sont définies par la fixation des valeurs numériques de certaines constantes de la physique, est réalisable. A ce titre, la 25ème CGPM, qui s’est tenue en novembre 2014, a récemment adopté une Résolution laissant entendre qu’une révision du SI serait possible en 2018 [22].
Dans un tel SI, les unités du kilogramme, de l’ampère, du kelvin et de la mole sont définies en fixant respectivement les valeurs numériques des constantes de Planck h, la charge élémentaire e, les constantes de Boltzmann k et d’Avogadro NA. La Figure 1-3 présente le futur SI, qui pourrait être adopté en 2018. Il marquera la disparition du dernier artéfact matériel et le kelvin ne sera plus isolé du reste du système. La mole ne dépendra plus du kilogramme : la « masse » et « quantité de matière » ne seront alors plus corrélées [23].
δe grand impact de l’EHQ, l’EJ mais aussi l’étalon de capacité fondé sur le théorème de Thompson-δampard et de l’expérience de la balance du watt réside dans leur contribution significative dans la quête de l’amélioration de la connaissance des constantes de la nature.
Figure 1-3 : Future SI : les unités sont définies en fixant les valeurs numérique de quelques constantes de la physique.
La figure est issue de [10].
Ces expériences et effets quantiques mettant en jeu plusieurs constantes comme h, e, KJ et RK sont détaillés dans les parties suivantes.

L’étalon de Thompson-Lampard

Le farad est « la capacité d’un condensateur électrique entre les armatures duquel apparaît une différence de potentiel de 1 volt lorsqu’il est chargé d’une quantité d’électricité de 1 coulomb » [24], le coulomb étant défini comme « la quantité d’électricité transportée en 1 seconde par un courant de 1 ampère » [24].
Dans la pratique, le farad peut être réalisé avec la plus faible incertitude relative (par rapport aux autres unités électriques) grâce au théorème de Thompson-Lampard [25], permettant d’obtenir un étalon calculable de capacité. Ce théorème s’énonce de la façon suivante (voir Figure 1-4) : Pour un système composé de quatre électrodes de longueur infinie, séparées par un isolant d’épaisseur nulle, délimitant un volume parfaitement cylindrique, placé dans le vide, les capacités linéiques 13 et 24 des deux paires d’électrodes vérifient la relation : є0 étant la permittivité du vide : c’est une constante sans incertitude dans le SI. De plus, dans le cas d’une symétrie parfaite des électrodes. La mise en pratique de ce théorème pour obtenir un étalon calculable de capacité [26]
consiste à mettre en place un système comportant quatre longues électrodes cylindriques très
proches dont les axes coïncident avec les sommets d’un carré [27].
Figure 1-4 : Principe de l’étalon calculable de Thompson-Lampard (vue en coupe) [25].
Une pièce mécanique mobile, appelée garde mobile, est insérée dans la zone centrale délimitée par les quatre électrodes. Pour s’affranchir des effets de bord dus au caractère fini de la longueur des électrodes, la mesure d’une capacité est comparée à la variation de capacité C de l’étalon calculable pour deux positions de la garde mobile. La longueur de déplacement de celle-ci l est déterminée par interférométrie laser, ce qui permet d’obtenir un lien entre le farad et le mètre.
Cette relation donne numériquement une capacité linéïque de 1,95 pF.m-1 environ. La mise en oeuvre du théorème de Thompson-Lampard amène à la fois au développement et à la réalisation d’un étalon primaire de capacité.
Les capacités calculables rendent possible, au moyen d’une chaîne complète de mesure, la réalisation de l’ohm puis de RK dans le SI. δ’élément central de la chaîne de mesure est le pont de quadrature qui permet la comparaison des impédances d’une résistance à celle d’une capacité raccordée préalablement à la capacité calculable. La Figure 1-5 présente la vue d’ensemble des mesures successives réalisées.
Les capacités utilisées lors des comparaisons ont des valeurs nominales comprises entre 1 nF et 10 nF. Elles sont comparées à la capacité calculable par des mesures successives de rapport de capacité. Ces mesures de rapport sont obtenues via des ponts de capacités et des capacités étalons ayant des valeurs allant de 1 pF à 100 pF.
Figure 1-5 : Représentation schématique du pont de quadrature permettant la détermination de la constant RK à l’aide d’un étalon calculable de capacité Thompson-Lampard [28].
Les résistances sont comparées, en courant continu, à l’étalon quantique de résistance par le biais d’un pont de résistance fondé sur un CCC : cela permet d’obtenir une valeur de RK dans le SI. Avant la comparaison d’une résistance avec une capacité au moyen du pont de quadrature, la variation en fréquence de la résistance est corrigée à l’aide d’une résistance calculable coaxiale [28].

L’effet Hall quantique

L’ohm est défini comme « la résistance électrique qui existe entre deux points d’un conducteur lorsqu’une différence de potentiel constante de 1 volt, appliquée entre ces deux points, produit, dans le conducteur, un courant de 1 ampère, ce conducteur n’étant le siège d’aucune force électromotrice » [7].
La réalisation de l’ohm à partir de sa définition dans le SI peut se faire, avec la plus faible incertitude relative, par l’intermédiaire d’un étalon du farad, comme l’étalon calculable de Thompson-Lampard et l’utilisation d’un pont d’impédance, dit de quadrature, permettant la comparaison d’une résistance à une capacité lorsque la fréquence d’alimentation du pont est bien déterminée. δa conservation de l’ohm est en revanche réalisée au moyen de l’effet Hall quantique. De la même façon que la représentation et la conservation du volt ont connu de grands changements avec l’effet Josephson, la représentation de l’ohm a été modifiée par l’effet Hall quantique.
Principe
Figure 1-6 : Schéma d’une barre de Hall (a) et évolution (b), en fonction du champ magnétique, des résistances transverse RH et longitudinale Rxx [29]. RH est quantifiée pour certaines gammes du champ magnétique alors que Rxx présentent des oscillations.
L’effet Hall quantique (EHQ) a été découvert le 5 février 1980 par K. von Klitzing lors de l’étude des propriétés de transport d’un dispositif εηSFET à très basse température et à fort champ magnétique à Grenoble [30]. Cette découverte lui a valu le prix Nobel de physique en 1985 [31]. Cet effet est observé à basse température, sous champ magnétique intense (plusieurs Tesla) et perpendiculaire au plan de l’échantillon (voir Figure 1-6 a)). Ce dernier comprend un gaz d’électrons bidimensionnels (gaz 2D), obtenus expérimentalement, par exemple, à l’interface d’une hétérostructure AlGaAs/GaAs. La Figure 1-6 a) schématise une barre de Hall parcourue par un courant I et sous un champ magnétique B. On mesure à ses bornes les tensions VH et Vxx, respectivement tension transverse et tension longitudinale.

Table des matières

INTRODUCTION GENERALE
CHAPITRE 1 – CONTEXTE METROLOGIQUE
1.1 MISE EN PLACE D’UN SYSTEME D’UNITES UNIFIE
1.2 LE SYSTEME INTERNATIONAL D’UNITES
1.3 EFFETS ET ETALONS QUANTIQUE POUR UNE REVISION DU SI
1.3.4 La balance du watt
1.4 VERS L’AMPERE QUANTIQUE
1.5 LE TRIANGLE METROLOGIQUE QUANTIQUE (TMQ)
1.5.3 Détermination de la charge élémentaire
CHAPITRE 2 – SQUID ET CCC – ASPECTS THEORIQUES FONDAMENTAUX
2.1 JONCTION JOSEPHSON
2.1.1 Effets Josephson : principe
2.1.2 Modèle RSJC
2.2 LE SQUID DC
2.2.1 Principe du SQUID
2.2.2 Caractéristiques et point de fonctionnement
2.2.3 La boucle à verrouillage de flux
2.2.4 Bruit du SQUID
2.2.4.1 Bruit intrinsèque du SQUID
2.2.5 Quelques SQUIDs DC commerciaux
2.3 COMPARATEUR CRYOGENIQUE DE COURANT (CCC)
2.3.1 Principe
2.3.2 Modes de fonctionnement du CCC
2.3.2.1 Contre réaction externe (CRE)
2.3.2.2 Contre réaction interne (CRI)
2.3.3 Performances
2.3.3.1 Sensibilité
2.3.3.2 Résolution en courant
2.3.3.3 Fréquences de résonance
2.3.4 Erreurs
2.3.4.1 Exactitude du rapport de courant
2.3.4.3 Gain en boucle ouverte
2.3.6 Applications des CCCs
2.3.6.1 Les ponts de comparaison de résistances
2.3.6.2 Amplification et mesure de très faibles courants
2.3.6.3 Mesure de forts courants
2.3.6.4 Détection de courant
2.3.6.5 Mesure de faisceau de particules chargées
CHAPITRE 3 – LE SYSTEME EXPERIMENTAL
3.1 LE CCC DE 30 000 TOURS
3.1.1 Particularité du CCC
3.1.2 Le blindage toroïdal
3.2 SQUID DC, BLINDAGES ET CONNECTIQUE
3.2.1 Le SQUID Magnicon®
3.2.2 Le transformateur de flux
3.2.3 Les blindages
3.2.4 La connectique
3.3 ELECTRONIQUE POUR LA CONTRE-REACTION EXTERNE
3.3.2 La source de courant « maison »
3.4 LE SYSTEME EXPERIMENTAL AU COMPLET
3.5 RESULTATS
3.5.1 Résolution en courant
3.5.2 Erreurs de rapport des enroulements
3.5.3 Stabilité des mesures de courant
3.5.4 Erreur sur le rapport de courant lié à la non-linéarité du SQUID
CHAPITRE 4 – MODELISATION
4.1 INTERETS
4.2 THEORIE DES TRANSFORMATEURS
4.2.1 Erreurs
4.2.1.1 Le noyau magnétique
4.2.1.2 Inductance de fuite
4.2.1.3 Résistances et capacités de fuites
4.3 MODELISATION DEVELOPPEE
4.3.1 Présentation
4.3.2 Méthode des courants indépendants
4.3.2.1 Présentation
4.4 EXEMPLES
4.4.1 Modélisation de deux inductances couplées
4.4.2 Ajout ou retrait de plusieurs éléments
4.4.3 Estimation de paramètres
4.4.4 Expression analytique des fréquences de résonances
4.4.5 Cas des grandes matrices
4.5 RESULTATS
4.5.1 Schéma électrique équivalent du CCC
CONCLUSION ET PERSPECTIVES
ANNEXE A – ETAT DE L’ART DES METHODES D’ETALONNAGE DES FAIBLES COURANTS
A.1 INTEGRATION D’UN COURANT AUX BORNES D’UN CONDENSATEUR
A.2 CHUTE DE TENSION AUX BORNES D’UNE RESISTANCE ETALONNEE
A.3 COMPARATEUR DE COURANT A TEMPERATURE AMBIANTE
ANNEXE B – LA VARIANCE D’ALLAN
ANNEXE C – DETERMINATION D’UNE INDUCTANCE, D’UNE CAPACITE ET D’UN COEFFICIENT DE COUPLAGE
C.1 DETERMINATION D’UNE INDUCTANCE
C.2 DETERMINATION D’UNE CAPACITE
C.3 CALCUL D’UN COEFFICIENT DE COUPLAGE
C.4 MESURER UNE INDUCTANCE A L’AIDE D’UNE MESURE 4 POINTES
C.5 COUPLAGE ENTRE UN ENROULEMENT ET LE BLINDAGE TOROÏDAL
LISTE DES ILLUSTRATIONS
LISTE DES TABLEAUX
GLOSSAIRE
BIBLIOGRAPHIE

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