Simulations numériques d’écoulements anisothermes turbulents

La CFD est devenue un outil indispensable dans les processus de développement de systèmes innovants dans divers domaines de l’industrie (énergie, chimie des procédés, hydraulique, pollution et environnement…). Cet outil n’a cessé de se développer durant les cinq dernières décennies, ce qui a engendré un essor considérable du point de vue connaissance théoriques des phénomènes physiques et des applications pratiques. Ce progrès est principalement du au développement simultané des méthodes numériques et des moyens informatiques. Par exemple, l’utilisation des logiciels basés sur les modèles zonaux et nodaux et les principales méthodes de mécanique de fluide pour prédire les performances énergétiques d’un habitat illustre cette évolution. A partir de la description d’un bâtiment, de ces équipements et des scénarios de fonctionnement, ces logiciels réalisent le calcul des différents grandeurs physiques, des besoins de chauffage en prenant en compte les échanges thermiques conductifs à travers les parois et le sol et convectifs avec l’air. Ces approches ne peuvent pas décrire en détail les phénomènes physiques de turbulence mises en jeu et leurs influences sur les transferts dans un habitat. Afin d’apporter une compréhension fine de la physique et d’améliorer les modèles existants, il est d’usage de considérer un modèle simplifié. Ici, il s’agit principalement des écoulements en cavité. En effet, ce type d’écoulement présente des caractéristiques structurelles communes aux écoulements rencontrés dans l’habitat.Ainsi, les écoulements sont considérés en convection laminaire, mixte et turbulente. L’exemple typique de cette réduction de modèle est celui de la cavité de Nielsen. Elle est constituée d’une cavité équipée d’orifices d’entrée et de sortie. L’étude des phénomènes de convection mixte laminaire et/ou turbulente et de transferts thermiques dans ce milieu confiné permet d’apporter des éléments de compréhension sur ces phénomènes de transferts complexes. De telles études expérimentales restent complexes et coûteuses. La simulation numérique constitue une solution alternative et complémentaire  pour investiguer la physique de ce type d’écoulement.

Convection mixte laminaire

L’instabilité de la double diffusion en convection mixte à l’intérieur d’une cavité ventilée due à des sources de chaleur et de contaminants a fait l’objet d’une étude numérique de Ben Beya et Lili [13]. Les équations de transfert sont discrétisées par une méthode implicite aux différences finies. Les termes non-linéaires sont traités explicitement par un schéma d’Aams-Baschforth d’ordre 2 ; les termes convectifs ont été évalués par un schéma semi-explicite et les termes visqueux implicitement. L’évolution de la composante horizontale de la vitesse en fonction du temps montre que pour des nombres de Reynolds compris entre 700 et 1000 et des valeurs du nombre du Grashof supérieures à 2.105 , le régime d’écoulement devient instable et un régime périodique apparaît. Pour Re = 700, des fluctuations spatiales ont tendance à décroître avec l’augmentation du nombre du Grashof. Pour Re = 800, les résultats présentés montrent que l’écoulement est décrit par deux cellules de recirculation qui contribuent à l’élimination des contaminants. Il est mis en évidence une zone dans laquelle il n’y a pas d’écoulement qui représente un aspect dangereux pour la santé. Raji et al [7] ont proposé une étude numérique de la convection mixte à l’intérieur d’une cavité ventilée. Pour la discrétisation des équations de NavierStokes et de l’équation d’énergie, une méthode implicite aux différences finies est utilisée. Toutes les discrétisations spatiales sont réalisées à l’aide d’un schéma centré précis au second ordre à l’exception des termes convectifs qui sont approchés en utilisant un schéma décentré amont (upwind) au second ordre. Les résultats présentés pour 10 < Re < 5000, 10⁴ < Ra < 10⁶ sont focalisés sur l’interaction entre les convections naturelle et forcée et l’existence de différents régimes d’écoulement. Les régimes de l’écoulement ont été caractérisés par des corrélations exprimant le nombre de Reynolds en fonction du nombre de Rayleigh. Les résultats sont obtenus pour des valeurs de nombre de Richardson (Ri) comprises entre 5, 5.10−⁴ et 1, 4.10⁴ Des instabilités temporelles de l’écoulement apparaissent pour Ri > 1, 4.10⁴ . Pour cette valeur du nombre de Richardson la convection naturelle est prédominante.

Lors d’une étude effectuée par Qi Hong Dang et al en (2004)[14], une méthode implicite aux volumes finis sur un maillage décalé à été utilisée pour discrétiser les équations de transferts de chaleur et de masse à l’intérieur d’une cavité ventilée. Les termes de convection et de diffusion sont discrétisés respectivement par un schéma QUICK de troisième ordre et une différence finie centrée de second ordre. Les systèmes d’équations algébriques obtenus sont résolues par l’algorithme TDMA couplé à une procédure itérative de sur-relaxation (SOR). Le couplage entre les champs de vitesse et de pression est assuré par l’algorithme SIMPLE. Il a été montré que, pour Re inférieur à 400, la convection naturelle est prédominante. La convection forcée est caractérisée par un nombre de Rayleigh exprimé en fonction du nombre de Grashof vérifiant l’expression suivante : Re = 0, 0125Gr + 272, 41. Afin de simuler l’écoulement d’air induit par une flamme dans une cavité ventilée, Abib et Jularia [15] ont assimilé cette flamme à une source de chaleur placée dans la paroi inférieure de la cavité. Cette dernière est équipée d’un orifice située au milieu de la paroi inférieure. Les équations de transferts sont résolues en utilisant une méthode implicite aux différences finies et l’algorithme TDMA. L’équation de Poisson par la méthode de relaxation successive (SOR). L’écoulement est décrit par une cellule de recirculation principale localisée au voisinage de la paroi inférieure et une cellule contra-rotative de plus faible dimension près de la paroi supérieure. Il a été montré que la taille de l’ouverture n’a pas d’influence significative sur les transferts pour les faibles nombres de Rayleigh. Afin de simuler la convection tridimensionnelle laminaire dans une cavité ventilée engendrée par un composant électronique placé dans une cavité équipée d’un seul orifice d’entrée, Yu et Joshi [16] ont assimilé ce composant à un une source de chaleur placée sur l’une des parois verticales. Plusieurs positions de l’orifice de sortie ont été considérées. Les équations de transfert sont résolues par une méthode implicite aux différences finies et l’algorithme TDMA. L’algorithme SIMPLEC, détaillé par Patankar [17], assure le couplage entre les champs de vitesse et de pression. Pour des nombres de Rayleigh compris entre 10⁴ et 10⁶ , la position de l’orifice d’entrée joue un rôle important sur la distribution du champ thermique et les nombres de Nusselt moyens.

Une étude numérique similaire à la précédente mais limitée à la convection forcée bidimensionnelle laminaire dans une cavité carrée ventilée est présentée par Saidi et Khodadi [18]. La position de l’orifice d’entrée est fixée, tandis que neuf positions de l’orifice de sortie sur les quatre parois de la cavité sont considérées. Dix-huit cas différents ont été examinées, pour un nombre de Prandtl égal à 5 et pour quatre nombres de Reynolds 10, 40, 100, 500. Un écoulement multicellulaires qui dépend du nombre de Reynolds a été observé. Cet écoulement est caractérisé par des vortex qui ont une influence considérable sur la distribution des températures. Les résultats présentés montrent également que pour réduire la différence entre les pressions à l’entrée et la sortie de la cavité les positions des orifices d’entrée et de sortie doivent être localisées à la même hauteur sur les parois verticales ou à la même distance comptée à partir de l’une des parois verticales.

Convection mixte turbulente

Les écoulements turbulents sont caractérisés par leur irrégularité spatio-temporelles ce qui favorise les échanges de chaleur et de masse. Les variables comme la vitesse, la pression, la masse volumique, la température fluctuent de façon aléatoire ce qui rend très difficile leur étude du point de vue numérique. La turbulence se caractérise aussi par une diffusivité élevée (température, quantité de mouvement…) et par un large spectre de dimensions de tourbillons. Les tourbillons de plus grande taille interagissent entre eux pour former des tourbillons de taille de plus en plus faible.

Une simulation numérique d’un écoulement en convection mixte en régime turbulent dans une cavité ventilée effectuée par la simulation à grande échelles avec le modèle de sousgrille de Smagorinski a montré que pour un nombre de Reynolds variant entre 400 et 10000 et un nombre de Richardson compris entre 0,1 et 0,44, le champ de température est dépendant du nombre de Richardson [20]. Le nombre de Nusselt moyen est, pour le régime instable, supérieur au double de sa valeur obtenue pour une stratification thermique stable. Ce résultat traduit un accroissement local du transfert de chaleur engendrée par des cellules rotatives localisées dans les coins de la cavité pour un régime instable. Il est à noter l’absence de cette distribution de cellules de recirculation pour une stratification thermique.

Écoulement en convection forcée turbulente

Un écoulement turbulent d’air dans une cavité ventilée est modélisé en utilisant le modèle k −ε . Les équations de Navier-Stokes et le modèle k −ε sont résolus par une méthode implicite basée sur les différences finies et l’algorithme de Gauss. Les résultats présentés sont comparés aux résultats expérimentaux de Nielsen [24]. Le schéma QUICK est utilisé pour discrétiser les termes convectifs de l’équation de mouvement. Davidson [23] reprend le problème qui a fait l’objet de [25] et applique la « Large Eddy Simulation » (LES) et la méthode des volumes finies pour discrétiser les équations de l’écoulement turbulent supposé tridimensionnel. Les résultats sont comparés aux résultats expérimentaux de Restivo [26]. Dans une autre étude de Davidson [23], un nouveau modèle dynamique de LES à une équation de fermeture est développé. Ce modèle est capable de prédire les écoulements avec recirculation dans les cavités ventilées et permet de traiter la turbulence dans des cavités fermées. Une comparaison avec des résultats obtenus en utilisant le modèle de Lam et Bramhorst montre qu’il conduit à des résultats en bon accord avec à ceux obtenus expérimentalement par Cheesewright et al [27].

Table des matières

INTRODUCTION
1 Rappels bibliographiques
1.1 Introduction
1.2 État de l’art
1.2.1 Convection mixte laminaire
1.2.2 Convection mixte turbulente
1.2.3 Écoulement en convection forcée turbulente
1.2.4 Convection turbulente
1.2.5 Approches numériques pour la turbulence
1.3 Conclusion
2 Un solveur d’ordre 2 pour les écoulements incompressibles
2.1 Introduction
2.2 Discrétisation temporelle & algorithme de projection
2.2.1 Discrétisation temporelle
2.2.2 Algorithme de Projection
2.3 Discrétisation spatiale
2.3.1 Disposition des variables
2.3.2 Évaluation des dérivés et interpolations
2.3.3 Formulation des termes convectifs
2.3.4 Maillage non-uniforme
2.3.5 Solveur d’Helmoltz/Poisson
2.4 Validation
2.4.1 Tourbillons de Taylor
2.4.2 Écoulement de type cavité entraînée
2.4.3 Écoulement en aval d’une marche descendante
2.4.4 Écoulement autour d’un cylindre de section carrée
2.4.5 Cavité différentiellement chauffée
2.5 Conclusion
3 Modélisation d’une paroi couverte d’un Matériau à Changement de Phase
3.1 Introduction
3.2 Formulation mathématique
3.2.1 Modélisation
3.2.2 Discrétisation temporelle
3.2.3 Méthodes numériques pour des problèmes avec des conditions aux limites de type Signorini
3.2.4 Méthodologie numérique et algorithme de calcul
3.3 Résultats et discussions
3.3.1 Transfert de chaleur par conduction dans une barre en béton recouverte d’une couche de faible épaisseur de MCP
3.3.2 Cavité différentiellement chauffée avec l’une des parois verticales est couverte d’une couche de MCP
3.3.3 Cavité entraînée avec une paroi couverte d’une faible épaisseur de MCP
3.4 Conclusion
CONCLUSION

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