Soutenance mémoire
L’écoulement des fluides en présence d’un obstacle est largement utilisé dans l’industrie, et son application est extrêmement variée. Beaucoup de travaux de recherche ont été réalisés pour modéliser l’écoulement autour des obstacles Nous pouvons les rencontrer dans le cas des problèmes d’environnement liés à la dispersion des polluants à travers les routes, les ailettes de refroidissement des engins thermiques, les chicanes des échangeurs de chaleur ou des capteurs solaires, les canalisations urbaines, etc.. Pour cela, plusieurs expériences dans le domaine ont été réalisées et confrontées aux méthodes numériques. Pour cette dernière une large gamme de méthodes mathématiques ont été développées afin de s’approcher de la réalité de l’écoulement et de fournir le maximum d’information qui peuvent se produire.
GENERALITES
Description de la méthode des éléments finis
La méthode des éléments-finis (MEF) est une méthode d’approximation numérique de solutions de problèmes aux limites statiques ou dynamiques tels que :
– La diffusion thermique.
–La mécanique des milieux continus (solides et fluides).
–L’ électromagnétisme.
mais en fait, tous les problèmes d’´equations aux dérivées partielles (EDP) aux limites se résolvent par le MEF. Il s’agit, comme dans toutes les méthodes numériques, de trouver une approximation discrète. Bref, la résolution d’un problème différentiel aux limites linéaire, a toujours besoin d’ une formulation variationnelle associée équivalente et c’est ainsi que nous pouvons calculer une approximation de la solution en projetant sur un espace de dimensions finies, ce qui revient à résoudre un système linéaire(Grégoire Allaire Analyse Numérique et optimisation) .
Principe général
Considérons un domaine Ω (typiquement une portion de l’espace) dont la frontière est notée δΩ ou Σ. Nous cherchons à déterminer une fonction u définie sur Ω, qui est une solution d’une équation aux dérivées partielles (ÉDP) pour des conditions aux limites données. La méthode des éléments finis (MÉF) permet de résoudre de manière discrète et approchée ce problème ; nous cherchons une solution approchée « suffisamment » fiable.( Méthode des éléments-finis par l’exemple Daniel Choï LMNO Groupe Mécanique Modélisation Mathématique et Numérique Université de Caen, Bld Maréchal Juin, 14032 Caen Cedex, France. Version Avril 2010) .
La discrétisation consiste à « découper » le domaine Ω, c’est-à-dire à chercher une solution du problème sur un domaine polygonal ou polyédrique par morceaux ; il y a donc une redéfinition de la géométrie. Une fois la géométrie approchée, il faut choisir un espace d’approximation de la solution du problème. Dans la MÉF, cet espace est défini à l’aide du maillage du domaine (ce qui explique aussi pourquoi il est nécessaire d’approcher la géométrie). Le maillage du domaine permet d’en définir un pavage dont les pavés sont les éléments finis.
Sur chacun des éléments finis, il est possible de linéariser l’ÉDP, c’est-à-dire de remplacer l’équation aux dérivées partielles par un système d’équations linéaires, par approximation. Ce système d’équations linéaires peut se décrire par une matrice ; il y a donc une matrice par élément fini. Cependant, les conditions aux frontières sont définies sur les frontières du système global et pas sur les frontières de chaque élément fini ; il est donc impossible de résoudre indépendamment chaque système. Les matrices sont donc réunies au sein d’une matrice globale. Le système d’équations linéaires global est résolu par l’ordinateur (des systèmes simples peuvent être résolus à la main et constituent en général des exercices d’apprentissage). L’ÉDP est résolue aux nœuds du maillage, c’est-à-dire que la solution est calculée en des points donnés (résolution discrète) et non en chaque point du domaine Ω. Cela nécessite de pouvoir interpoler, c’est-à-dire déterminer les valeurs en tout point à partir des valeurs connues en certains points. On utilise en général des fonctions polynomiales.( Projet : Cours DEA C++ et éléments finis. Présenté à l’’Université Pierre et Marie Curie (Paris VI) par Nadia MHIOUAH et Eric DALISSIER) [3] Un élément fini est la donnée d’une cellule élémentaire et de fonctions de base de l’espace d’approximation dont le support est l’élément qui est défini de manière à être interpolant Nous voyons ici poindre trois sources d’erreur, c’est-à-dire d’écart entre la solution calculée et les valeurs réelles :
• la modélisation de la réalité : le domaine Ω correspond en général à des pièces matérielles, le calcul se fonde sur des versions idéales (sans défaut) des pièces, de la matière et des conditions aux limites ; cette source d’erreur n’est pas spécifique à la méthode des éléments finis, et peut être prise en compte par la méthode contrainte-résistance ;
• la géométrie idéale et continue est remplacée par une géométrie discrète, et les valeurs sont interpolées entre des points ; plus les points sont espacés, plus la fonction d’interpolation risque de s’écarter de la réalité, mais à l’inverse, un maillage trop fin conduit à des temps de calculs extrêmement longs et nécessite des ressources informatiques (en particulier mémoire vive) importante, il faut donc trouver un compromis entre coût du calcul et précision des résultats ;
• s’agissant de calcul numérique, il se produit inévitablement des erreurs d’arrondi, les nombres étant représentés par un nombre fini d’octets.
Toute l’habileté de l’ingénieur consiste à maîtriser ces erreurs notamment :
• en simplifiant la géométrie (defeaturing), en enlevant des détails qui se situent loin des zones que l’on veut étudier et ayant une faible influence sur le résultat ;
• en choisissant des maillages adaptés, par exemple, des maillages de type poutre pour des pièces élancées, ou de type coque pour des pièces fines, en découpant la pièce pour pouvoir faire des maillages réguliers sur certaines zones, en affinant le maillage dans les zones critiques…
• en ayant un regard critique sur le résultat.
Bien qu’il existe de nombreux logiciels exploitant cette méthode et permettant de «résoudre » des problèmes dans divers domaines, il est important que l’utilisateur ait une bonne idée de ce qu’il fait, notamment quant au choix du maillage et du type d’éléments qui doivent être adaptés au problème posé : aucun logiciel ne fait tout pour l’utilisateur, et il faut toujours garder un œil critique vis-à-vis de solutions approchées. Pour cela il existe des indicateurs d’erreur et des estimateurs d’erreur qui permettent d’ajuster les différents paramètres. Une fois la solution trouvée, il reste cependant à déterminer les caractéristiques de la méthode ainsi développée, notamment l’unicité de l’éventuelle solution ou encore la stabilité numérique du schéma de résolution. Il est essentiel de trouver une estimation juste de l’erreur liée à la discrétisation et montrer que la méthode ainsi écrite converge, c’est-à-dire que l’erreur tend vers 0 si la finesse du maillage tend elle aussi vers 0. Dans le cas d’une ÉDP linéaire avec opérateur symétrique (comme l’est l’opérateur laplacien), il s’agit finalement de résoudre une équation algébrique linéaire, inversible dans le meilleur des cas.
Linéarisation
Sur chacun des éléments finis, il est possible de linéariser l’ÉDP, c’est-à-dire de remplacer l’équation aux dérivées partielles par un système d’équations linéaires, par approximation. Ce système d’équations linéaires peut se décrire par une matrice ; il y a donc une matrice par élément fini. Cependant, les conditions aux frontières sont définies sur les frontières du système global et pas sur les frontières de chaque élément fini ; il est donc impossible de résoudre indépendamment chaque système. Les matrices sont donc réunies au sein d’une matrice globale. Le système d’équations linéaires global est résolu par l’ordinateur (des systèmes simples peuvent être résolus à la main et constituent en général des exercices d’apprentissage). L’ÉDP est résolue aux nœuds du maillage, c’est-à-dire que la solution est calculée en des points donnés (résolution discrète) et non en chaque point du domaine Ω. Cela nécessite de pouvoir interpoler, c’est-à-dire déterminer les valeurs en tout point à partir des valeurs connues en certains points. Les fonctions polynomiales sont généralement utilisée .
Un élément fini est la donnée d’une cellule élémentaire et de fonctions de base de l’espace d’approximation dont le support est l’élément, et défini de manière à être interpolant (Sébastien Tordeux et Victor Péron : Analyse numérique fondamentale. UNIVERSITE DE PAU, MASTER 1 MMS, 2013-2014. http://stordeux.perso.univpau.fr/COURS/AN1.pdf) .
Equations de Navier Stokes
Les équations de Navier-Stokes est l’une des plus importantes de toute la physique. Si elle n’a pas la chance d’être aussi connue que E = m.c2 , elle nous sert pourtant à prédire la météo, simuler les océans, optimiser les ailes des avions et même améliorer le réalisme des jeux vidéos. Le principal objectif de ces équations est de décrire le mouvement des fluides visqueux newtoniennes. Puisqu’un fluide peut être un liquide ou un gaz, nous comprenons que les équations de Navier-Stokes concernent beaucoup de phénomènes qui nous entourent. Nous allons établir ces équations à partir de l’équation de continuité et de conservation de la quantité de mouvement.
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Table des matières
INTRODUCTION
CHAPITRE 1 : GENERALITES
1.1 Description de la méthode des éléments finis
1.1.1 Principe général
1.1.2 Maillage et discrétisation
1.1.3 :Linéarisation
1.2 Equations de Navier Stokes
1.2.1 Quelques outils différentiels et intégraux
1.2.2 Equation de continuité
1.2.3 Equation de conservation de la quantité de mouvement
CHAPITRE 2 : MATERIELS ET METHODES
2.1 Matériels
2.1.1 Matlab
2.1.2 Free fem++
2.2 Méthodes
2.2.1 Position du problème
2.2.2 Discrétisation en temps
2.2.3 Formulation variationnelle
CHAPITRE 3 : RESULTATS ET DISCUSSIONS
3.1 Résultats
3.1.1 Situations observées avec des vitesses spécifiques
3.1.2 Coefficient de traînée du cylindre en fonction de nombre de Reynolds
3.2 Discussions
3.2.1 Différent régime de l’écoulement autour du cylindre
3.2.2 Champ de vitesses et champ de pression
3.2.3 Comparaison
CONCLUSION
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