Simulation numérique du modèle de Fitzhugh-Nagumo

Modélisation mathématique du neurone 2.2.1 qu’est ce qu’un modèle ?

Dans le langage scientifique, un modèle est un outil qui permet de donner une représentation simplifiée d’un phénomène. Il peut servir à comprendre ou à analyser, dans un mode de représentation objectif, les faits « importants » du phénomène. La formulation d’un modèle théorique débute toujours de l’observation des expériences scientifiques qui vont permettre d’élaborer des lois qui prévoient certaines caractéristiques du phénomène étudié. « tous les modèles sont faux, mais certains sont utiles » disait le statisticien George Box. Un bon modèle n’est pas un modèle qui se rapproche le plus possible de la réalité mais est un modèle utile, qui répond aux questions ayant motivé sa conception ; un modèle met en évidence certaines caractéristiques pour mieux comprendre le système étudié, mais au détriment des autres, pour que sa structuration reste simple. Un modèle peut être physique, économique, biologique ou encore mathématique et selon les différentes disciplines un modèle peut se présenter sous différentes formes. Les lois physiques essayent de décrire et prévoir un état futur d’un phénomène ou d’un système.

Un organisme modèle est une espèce étudiée de manière approfondie pour comprendre un phénomène biologique, en supposant que les résultats de ces expériences seront valables pour la connaissance d’autres organismes. Dans les modèles mathématiques, la réalité est traduite en grandeurs de référence (par exemple la pression, la température, le courant électrique…) et en fonction de ces grandeurs. Ainsi, l’évolution de nombreux systèmes physiques, économiques ou biologiques, par exemple, peuvent être relativement bien décrits par des modèles mathématiques composés d’un ensemble d’équations différentielles ordinaires, d’équations aux dérivées partielles ou autres. Tel a été le cas du fonctionnement des neurones, qui, dès les années cinquante, a pu être modélisé par un système dynamique d’équations différentielles ordinaires. Cela afin de mieux comprendre comment les potentiels d’action sont créés puis propagés par les membranes des cellules nerveuses.

Modèle Hodgkin-Huxley

En 1963, Hodgkin et Huxley reçoivent le Prix Nobel de médecine pour leurs travaux sur les mécanismes ioniques qui permettent l’initiation et la propagation des potentiels d’action dans l’axone géant du calmar. Pour simplifier, l’axone est un long tube partant de chaque neurone et sa membrane extérieure, sensible aux courants et potentiels électrochimiques, permet la propagation des signaux électriques. En particulier, elle présente une différence de potentiel au repos, on peut ainsi mesurer la perturbation de ce potentiel suite à un changement chimique ou électrique. Cette perturbation peut se propager le long de l’axone pour transmettre une information entre neurones. Hodgkin et Huxley ont considéré le courant sodique INa et le courant potassique Ik comme les deux principaux courants qui circulent le long des axones. L’hypothèse de base du modèle de Hodgkin-Huxley est de considérer la cellule comme un circuit électrique. La membrane est représentée par un condensateur tandis que les flux d’ions sodium et potassium sont modélisés comme des conductances électriques variables en fonction du potentiel de membrane. Le modèle de Hodgkin-Huxley propose des équations différentes pour les conductances des canaux à sodium et des canaux à potassium.

Pour traverser la membrane, un ion est soumis à un gradient électrochimique, qui s’exprime par la différence de potentiel de membrane et le potentiel d’équilibre de l’ion considéré. Le flux d’un espèce d’ion au travers de ses propres canaux est proportionnel à ce gradient électrochimique. Lorsque les canaux ioniques sont fermés, les ions ne peuvent pas passer d’une part à l’autre de la membrane. Mais lorsqu’ils sont activés, chaque canal ionique devient un passage ouvert par lequel les ions traversent la membrane cellulaire. Ce passage d’ions, qui se traduit en un courant électrique traversant la membrane cellulaire, se fait dans le sens du gradient électrochimique de l’ion concerné. Afin de reproduire une telle cinétique, Hodgkin et Huxley ont considéré que chacun des deux canaux devait être composé de quatre composants indépendants, chacun pouvant être ouvert ou fermé. Dans le cas des canaux à potassium, ces quatre composants seraient identiques avec une probabilité n d’être en position ouverte. L’ouverture et la fermeture d’un canal potassique étant dépendantes du potentiel de membrane, ils ont donc considéré que chacun des composants passait de la position ouverte à la position fermée en fonction du potentiel de membrane. Ainsi, un composant passe de l’état fermé (de probabilité 1-n) à l’état ouvert (de probabilité n) suivant les coefficients _n et _n, euxmêmes dépendants du potentiel de membrane.

Hodgkin et Huxley ont utilisé un formalisme similaire pour décrire le courant sodique, INa . Cependant, dans le cas des canaux Na, il existe un état supplémentaire. En effet, un canal à sodium peut être ouvert et actif, ouvert et inactif ou fermé. Afin de modéliser ces différents états, ils ont considéré qu’un canal sodique pouvait être composé de quatre composants, dont trois contrôlent l’ouverture et la fermeture, tandis que le dernier contrôle l’activation ou l’inactivation. Les trois composants contrôlant l’ouverture et la fermeture ont chacun une probabilité m d’être en position ouverte, tandis que le composant qui contrôle l’activation et l’inactivation a une probabilité h d’être en position active. Le modèle de Hodgkin-Huxley traite de l’ouverture (m) et de l’activation (h) indépendamment. Ces deux processus dépendent du potentiel de membrane. Comme pour l’évolution de la variable n des canaux potassium, la transition de la position ouverte (de probabilité m ) ou fermée (de probabilité 1-m) de chaque composant est donnée par les coefficients _m et _m. De même pour h, dont les transitions de la position active (de probabilité h) à la position inactive (de probabilité 1-h) sont données par les coefficients _h et _h . Les paramètres n, m, h sont donc des fonctions qui dépendent du potentiel de membrane que Hodgkin et Huxley décrivent par des équations différentielles du premier ordre :

Conclusion

Tout au long de nos recherche pour réaliser ce mémoire, nous nous sommes intéressés particulièrement à la biologie par le biais des systèmes dynamiques. Ces derniers présentent un outil mathématique très puissant permettant de modéliser des phénomènes dans de différents domaines, notamment notre domaine d’intérêt : la biologie. Nous nous sommes donc focalisés sur l’état de stabilité de ces systèmes pour assurer la précision ainsi que la fiabilité du modèle en question. Dans le cas d’un système non linéaire la notion de la stabilité est plus complexe et nécessite l’utilisation de nouvelles méthodes tels que : la méthode de Lyapounov, la linéarisation ect. Nous avons présenté les notions de neuro-physiologie qui permettent de comprendre les différentes étapes de la modélisation mathématique du fonctionnement des neurones. les modèles Hodgkin-Huxley et FitzHugh- Nagumo ont été présentés, c’est sur ce dernier que notre intérêt s’est particulièrement porté. Après avoir étudier numériquement le modèle FitzHugh-Nagumo, nous avons remarqué ; entre les trois méthodes RK4, AB et P-C ; que RK4 est la méthode la plus efficace et la plus précise.

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Table des matières

Introduction
1 Généralité sur les systèmes dynamiques
1.1 Notion sur les systèmes dynamiques
1.2 Généralités sur les points d’équilibre
1.2.1 Stabilité des systèmes dynamiques linéaires d’ordre
1.2.2 Stabilité d’un point d’équilibre au sens de lyapounov
1.3 Linéarisation au voisinage d’un point d’équilibre
1.4 Trajectoires, orbites et ensembles limites
2 Modèle Fitzhugh-Nagumo
2.1 physiologie du neurone
2.2 Modélisation mathématique du neurone
2.2.1 qu’est ce qu’un modèle ?
2.2.2 Modèle Hodgkin-Huxley
2.2.3 Les modèles réduits :
2.3 Le modèle de FitzHugh-Nagumo :
2.3.1 Étude théorique de la stabilité
3 Simulation numérique du modèle de Fitzhugh-Nagumo
3.1 Runge-Kutta appliqué au modèle de Fitzhugh-Nagumo
3.1.1 Principe de la méthode : .
3.1.2 Application et interprétation
3.2 Adams-Bashforth appliqué au modèle FitzHugh-Nagumo
3.2.1 Principe de la méthode :
3.2.2 interprétation des résultats
3.3 Méthode de Prédiction-Correction appliqué au modèle de Fitzhugh-Nagumo
3.3.1 Principe de la méthode : .
3.3.2 Application et interprétation :
3.4 Comparaison des trois méthodes .
Conclusion
Annexe
Bibliographie