SIMULATION DES SYSTEMES MULTIVARIABLES PAR L’APPROCHE LMI

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PROBLEME DE SYNTHESE ET RESOLUTION

Introduction

En automatique, le problème de synthèse consiste à chercher un correcteur qui puisse satisfaire aux spécifications d’un cahier des charges. D’après le lemme borné réel développé ci-dessous, ce problème de synthèse peut-être formulé en système d’inégalité matricielle. Dans le cas général, la résolution par un algorithme est un problème compliqué mais si la fonction où l’ensemble des contraintes est convexe, on peut admettre des algorithmes de résolution efficaces. Parmi ceux-ci, se trouve l’optimisation LMI [11].

Procédé par l’approche LMI

Le procédé

On s’intéresse à la commande d’un procédé selon le schéma ci-dessous

Hypothèses

Cette approche permet de faire l’économie des hypothèses par rapport à la résolution par les équations de Ricatti, elle est basée sur la résolution d’un problème d’optimisation convexe sous contrainte d’inégalités matricielles linéaires LMI [11]. Le système doit remplir les deux hypothèses suivantes : H1) les paires de matrices et sont respectivement stabilisables et détectables, H2).

L’hypothèse H1 est classique et nécessaire pour qu’un correcteur stabilisant existe.

Le lemme borné réel

Comme vu précédemment, la norme ne peut être calculée analytiquement. Cependant, un correcteur stabilisant assurant une telle norme doit conduire le système bouclé à vérifier une condition nécessaire et suffisante qui nous est donnée par un lemme appelé « Lemme Borné Réel » [13] :

Théorème 2.01 :

La norme du transfert associé au système bouclé (2.02) est strictement inférieure à si et seulement s’il existe une matrice positive vérifiant l’inégalité (2.18)

Conditions nécessaires sous la synthèse LMI

• Interprétation et caractérisation

Le théorème 2.02 paraît anormale car il implique à la fois et , de plus les rôles de chacun des paramètres spécifiques de est un peu difficile. Par contre, les conditions (2.24) peuvent être transformées en LMI plus simple.

Cette caractérisation est obtenue : par la partition de et concordante à , par le calcul de et de explicitement, et par la réalisation des multiplications de matrices par bloc [15].

Pour , cette condition est déjà satisfaite et (2.32) – (2.34) sont nécessaires et suffisantes pour l’existence d’un correcteur -optimal d’ordre . Cela confirme le fait que lorsque le problème optimal est solvable, il existe un correcteur adéquat égal à l’ordre du système [16].

Cependant, tous les correcteurs ne sont pas nécessairement d’ordre . En fait, il existera des correcteurs d’ordre réduit, dès que (2.32) – (2,34) ont une solution qui satisfait encore

. Notez quepour detelles paires,ceci est cohérent à la réduction d’ordre du correcteur central ou optimal [16].

Inversement, si le système (2.32)-(2.35) admet une solution , alors de dimension peut être reconstruit à partir de R, S pour satisfaire (2.36). À partir de (2.32) – (2.33), cerésout encore (2.24). La preuve est terminée [16]..

Procédure de résolution par LMI

Introduction

Les conditions de solvabilité obtenues dans le théorème 2.02 et 2.03 impliquent les inégalités au lieu des équations de Ricatti. Initialement cette hypothèse peut sembler être un inconvénient à la résolution par les techniques standards numériques des équations de Ricatti. Cependant, les contraintes de positivité se révèlent hors dépendance sur les variables inconnues R, S. En fait, ils peuvent être réécrits par des LMI en et .

D’où cette caractérisation n’est pas seulement numérique maniable, mais s’inscrit aussi dans le cadre de l’efficacité des algorithmes d’optimisation convexe. La formulation LMI est produite par le théorème 2.03. Pour ces systèmes, nous avons montré que , est équivalente au LMI (2,39). En outre, les contraintes de positivité (2,34) sont équivalentes au ( ) [17].

Condition d’existence

Apparue plus récemment, la synthèse par LMI fournit une autre façon de résoudre le problème standard. Elle est plus générale, dans la mesure où elle ne nécessite pas le respect de plusieurs hypothèses [17].

Sous les hypothèses H1 et H2 (paragraphe 2.2.2), et les définitions définies ci-dessus le problème standard a une solution si et seulement si 2 matrices symétriques et existent, vérifiant les 3 LMI Noter que l’ensemble des solutions (2.41) est indépendant du choix particulier de et .

Les indices ne marquent aucune dépendance aux LMI : c’est pour faire la distinction entre les deux LMI [17].

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Table des matières

INTRODUCTION GENERALE
CHAPITRE 1 ELEMENTS INTRODUCTIFS DE LA SYNTHESE
1.1 Méthode pour la synthèse d’asservissements
1.1.1 Introduction
1.1.2 Systèmes linéaires multivariables invariants à temps continu
1.2 Synthèse , Approche standard
1.2.1 Problème standard
1.2.2 Résolution du problème standard par l’équation algébrique matricielle de Ricatti
1.2.3 Problème standard de la synthèse
1.3 Bases mathématiques de l’optimisation convexe
1.3.1 Convexité, non-convexité
1.3.2 Problème d’optimisation
1.3.3 Ensembles convexes
1.3.4 Fonctions convexes
1.4 Techniques d’analyse et transformations matricielles
1.4.1 Congruence :
1.4.2 Complément de Schur
1.4.3 Complément de Schur généralisé :
1.4.4 Le carré matriciel et ses dérivées
1.5 Optimisation LMI (Linear Matrix Inequality)
1.5.1 Problèmes d’optimisation sous contrainte LMI
1.5.2 Propriété 2.02 : intersection
1.6 Définition des LMI (Linear Matrix Inequality)
1.6.2 Problème de faisabilité
1.6.3 Minimisation de coût linéaire
1.6.4 Problème de valeur propre (EVP : Eigen-Value Problem)
1.7 Formulation LMI du problème
1.8 Conclusion
CHAPITRE 2 PROBLEME DE SYNTHESE ET RESOLUTION
2.1 Introduction
2.2 Procédé par l’approche LMI
2.2.1 Le procédé
2.2.2 Hypothèses
2.2.3 Matrice de transfert du correcteur
2.2.4 Matrice de transfert du système bouclé
2.2.5 Lemme 2.1 : lemme d’élimination
2.2.6 Propriété du système bouclé : le lemme borné réel
2.2.7 Solvabilité du problème par la résolution LMI
2.2.8 Conditions nécessaires sous la synthèse LMI
2.3 Procédure de résolution par LMI
2.3.1 Introduction
2.3.2 Condition d’existence
2.3.3 Condition d’existence complémentaire
2.3.4 Reconstruction du correcteur
2.4 Synthèses d’un système linéaire
2.4.1 Enoncé du problème
2.4.2 Résolution par l’équation algégrique matricielle de Ricatti
2.4.3 Résolution par les inégalités matricielles affines (LMI)
2.4.4 Constatations
2.5 Algorithmes des calculateurs pour résoudre des problèmes LMI
2.5.1 L’algorithme Ellipsoïde
2.5.2 Méthode de point intérieur
2.6 Conclusion
CHAPITRE 3 SIMULATION DES SYSTEMES MULTIVARIABLES PAR L’APPROCHE LMI
3.1 Résolutions de problèmes LMI avec MATLAB
3.1.1 Représentation d’une LMI
3.1.2 Déclarations des inconnues
3.1.3 Déclarations des LMI
3.1.4 Déclaration de la fonction objectif
3.1.5 Les solvers
3.1.6 Version de MATLAB :
3.2 Etude de la Stabilité au sens de Lyapunov
3.3 Synthèse par LMI à la recherche du correcteur stabilisant
3.3.1 Algorithme de calcul pour déterminer le correcteur par l’approche LMI
3.3.2 Synthèse d’un système linéaire
3.4 Conclusion
CONCLUSION GENERALE
ANNEXE 1 : VALEUR SINGULIERES ET NORME
ANNEXE 2 : Stabilité de Lyapunov
ANNEXE 3 : MATRICES
ANNEXE 5 : RAPPEL MATHEMATIQUES
ANNEXE 6 : REFERENCE SUR LES COMMANDES MATLAB-LMI
ANNEXE 7 : la LMI control Toolbox
ANNEXE 8 : COMMANDE DE SIMULATION MATLAB
BIBLIOGRAPHIE
RESUME
ABSTRACT