Robustification de lois de commande MPC multivariables

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Philosophie de la commande prédictive

Grâce à ses propriétés intrinsèques et sa facilité de mise en œuvre, la commande prédictive se situe parmi les commandes avancées les plus utilisées dans le milieu industriel, si exigeant en termes de performances et de simplicité d’implémentation. De nombreuses applications industrielles existent, surtout pour des systèmes pour lesquels la trajectoire à suivre est connue à l’avance, comme des robots [CB04] ou bras de robots [Cla88], des machines-outils [SDAW07], des applications dans l’industrie pétrolière [CR80], [GPM89], biochimique ou chimique [ER92], [CB08], aéronautique [BBKP02], thermique [CB04], [RLM05], l’industrie du ciment [Cla88]. Il est à noter cependant que, malgré des calculs hors-ligne simples caractéristiques de la commande prédictive sans contraintes [CB04], les structures d’asservissement à base de correcteurs PID s’avèrent encore les plus utilisées dans l’industrie, peut-être à cause de l’inertie des ingénieurs habitués à régler manuellement ce type de correcteur et à les maintenir [RLM05].

S’éloignant quelque peu de la simplicité requise par le milieu industriel, et partant des stratégies de base initiales de la commande prédictive, le monde de la recherche propose désormais des structures encore plus évoluées, pour lesquelles, tout en conservant la simplicité des concepts, des outils mathématiques nouveaux spécifiques aux théories de la stabilité et de la robustesse, font leur apparition. Ces nouveaux domaines rigoureux et captivants ouvrent des perspectives toujours renouvelées pour la méthodologie prédictive. Après un bref historique non exhaustif de cette stratégie, les paragraphes suivants détaillent les grands principes communs à l’ensemble des méthodes.

Historique

Depuis la fin des années 70, de nombreuses catégories et dénominations de la commande prédictive ont été proposées. La liste ci-dessous propose un aperçu non exhaustif des plus « classiques » :

• MPHC (Model Predictive Heuristic Control) [RRTP78], connue ensuite sous le nom de MAC (Model Algorithmic Control) – Cette approche, appliquée aux systèmes industriels multivariables, basée sur des prédictions sur un horizon temporel long, impose des trajectoires de référence pour les sorties et minimise la variance de l’erreur ;

• DMC (Dynamic Matrix Control) proposée par Shell [CR80] utilise l’incrément de commande à la place de la commande dans le critère de performance pour un horizon fini de prédiction ; cet algorithme est appliqué à des systèmes multivariables linéaires sans contraintes ; l’erreur de poursuite est minimisée en spécifiant le comportement futur des sorties ; les commandes optimales sont calculées par la méthode des moindres carrés ;

• EHAC (Extended Horizon Adaptive Control) [Yds84], stratégie de commande prédictive pour les systèmes monovariables, utilise des modèles E/S pour maintenir la sortie future (calculée via la résolution d’une équation diophantienne) le plus près possible de la consigne pendant une période donnée au-delà du retard pur du système ;

• EPSAC (Extended Prediction Self-Adapted Control) [KC85] introduit une commande constante pour un système non-linéaire (en linéarisant le système) et utilise un prédicteur sous-optimal à la place de la résolution de l’équation diophantienne ; l’article [KC85] offre également une démonstration de stabilité ;

• GPC (Generalized Predictive Control) présentée par [CMT87] – Cette méthode la plus connue, basée sur un modèle de type CARIMA, introduit un horizon de prédiction sur la commande, agit conformément au principe de l’horizon fuyant et peut être appliquée aux systèmes à non minimum de phase, aux systèmes instables en boucle ouverte, aux systèmes avec retards purs variables ;

• PFC (Predictive Functional Control) [RAAKJS87] est un algorithme prédictif simple, utilisé surtout pour des systèmes SISO industriels rapides et/ou non-linéaires, s’avérant pratique pour l’ingénieur en permettant le réglage direct des paramètres (par exemple la constante de temps) associées au temps de monté; pour garder la simplicité, une manque de rigueur en performance et surtout dans la garantie des contraints est associée avec cet algorithme ;

• CRHPC (Constrained Receding Horizon Predictive Control) [CS91] propose de prendre en compte des contraints terminales sous forme « égalité » sur la sortie sur un horizon fini au-delà de l’horizon de prédiction ;

• MPC (Model Predictive Control) formulée dans l’espace d’état par [Mor94] utilise le formalisme de la représentation d’état pour faciliter l’analyse de la stabilité et de la robustesse.

En fait, toutes ces variantes de stratégies de commande prédictive sont aujourd’hui regroupées sous le terme générique MPC, illustrant ainsi le rôle fondamental du modèle.

Par ailleurs, les dernières années ont été marquées par la mise en œuvre de lois de commande prédictives robustes, un exemple important se trouvant dans [KBM96] qui utilise la technique LMI pour résoudre un problème de type min-max. La commande prédictive non-linéaire (NMPC) a également connu un essor conséquent, avec des applications convaincantes en termes de qualités de réglage, voir par exemple une mise en œuvre très récente dans [CB08].

Ce bref rappel historique a permis de donner une idée de l’évolution de la commande prédictive, depuis les stratégies « classiques » bien connues maintenant jusqu’aux développements les plus récents en termes de robustesse et d’application à des systèmes non-linéaires. Les travaux réalisés dans le cadre de ce mémoire font partie de ces évolutions récentes, sachant que seule la commande MPC sous forme de représentation d’état sera examinée par la suite.

Principes de la commande prédictive

La commande prédictive MPC représente un moyen relativement simple d’aborder une loi de commande dans le domaine temporel [CB04], et a démontré au travers de nombreuses applications ses qualités liées à la régulation des systèmes multivariables, des systèmes instables, des systèmes à retard [NC07], des systèmes non-linéaires, des systèmes à non minimum de phase, des systèmes hybrides [BD06].

Le principe « philosophique » de la commande prédictive est le suivant (Figure 2.1). Un modèle discret du processus permet dans un premier temps de prédire la sortie du système sur un horizon fini. Puis, à chaque instant, en minimisant un critère de performance sur cet horizon fini, une séquence de commande est obtenue dont seul le premier élément est appliqué au système. La même procédure est enfin reprise à la période d’échantillonnage suivante, selon le principe de l’horizon fuyant. Le but est de maintenir la sortie du système la plus près possible de la référence désirée, supposée connue sur l’horizon fini de prédiction de façon à mettre en évidence un certain caractère anticipatif.

Réitération à l’instant suivant (à droite)

La technique prédictive permet en fait de reproduire de façon théorique le comportement intuitif naturellement prédictif ou anticipatif de l’être humain : en conduisant une voiture, en marchant, en faisant du ski, en respectant le budget alloué à certaines activités sur une période limitée, en traversant une rue… Ainsi, les skieurs (Figure 2.2) font une prédiction de la trajectoire à suivre sur un horizon fini, et élaborent les actions qui vont leur permettre de la suivre, et puis à chaque étape l’horizon de prédiction glisse avec eux. En utilisant des commandes classiques, les décisions sont réalisées à partir des erreurs passées entre la sortie et la consigne, et non des erreurs prédites. Or il apparaît clairement dans le cas du ski que la structure prédictive faisant intervenir des erreurs futures est fortement nécessaire, le cas contraire étant équivalent à skier en regardant à l’arrière pour réduire l’erreur entre la trajectoire désirée et la position réelle.

Les étapes spécifiques à toutes les lois de commande prédictive peuvent être classifiées comme suit :

• élaboration (choix) du modèle du système sur lequel est basée la prédiction de la sortie ;

• spécification de la trajectoire que doit suivre la sortie ;

• minimisation d’un critère quadratique à horizon fini élaborant une séquence de commandes futures ;

• application du premier élément de la séquence de commande au système et au modèle ;

Les deux dernières étapes sont répétées à chaque instant d’échantillonnage, conformément au principe de l’horizon fuyant.

Pour les systèmes multivariables, cet algorithme est appliqué simultanément à chaque sortie, il en résulte une commande différente pour chaque entrée du système.

Choix du modèle du processus

La loi de commande prédictive implique la connaissance du comportement futur du système prédit à l’aide d’un modèle du processus. Ainsi l’élément central de la commande MPC est le modèle du système. Ce point fort peut devenir aussi son point faible, selon la qualité du modèle. Trouver le bon modèle (le plus simple possible, mais malgré tout suffisamment significatif et adapté aux besoins, en offrant des prédictions suffisamment précises) implique une connaissance appropriée du système. Les modèles résultent souvent d’une phase d’identification [Lan02], qui peut se faire en utilisant les lois de la physique, de la chimie ou encore de façon expérimentale en effectuant diverses expériences sur le système. Le modèle doit être capable de prédire le comportement du système en réponse à une sollicitation donnée.

Des techniques existent également, qui utilisent un modèle variant dans le temps sur l’horizon de prédiction, d’autres conçues sur un modèle à base de techniques floues. Prendre en compte les parties non-linéaires des systèmes par une modélisation floue et commander de façon prédictive ce modèle peut conduire à une amélioration des performances [EVW05]. Grâce à la simplicité du modèle, corrélée avec la souplesse du correcteur prédictif, cette vision devient intéressante en milieu industriel.

Certes, les systèmes industriels sont rarement linéaires, mais dans la pratique la représentation choisie est souvent un modèle linéaire, induisant en l’absence de contraintes une structure linéaire de la loi de commande prédictive. Ainsi, de cette manière, l’optimisation et l’analyse hors ligne du comportement en boucle fermée sont beaucoup plus faciles [Ros03]. En dernier lieu, si la modélisation linéaire s’avère insuffisante, une mise en œuvre via un modèle non-linéaire peut s’envisager.

Ces modèles servant à la prédiction sont classiquement des modèles à temps discret, dès lors que la commande prédictive est plutôt implémentée sous forme discrète sur calculateur. Malgré tout, des techniques de synthèse à temps continu existent [DG91].

En conclusion partant d’un modèle initial (qui n’est pas forcément le meilleur choix de modèle), après un premier essai de commande prédictive qui ne donne pas les résultats souhaités, rien n’empêche l’ingénieur de retoucher le modèle du système en vue de l’élaboration d’une nouvelle loi de commande prédictive [Ric93]. Une autre démarche traitée dans cette thèse se base sur une approche de robustification à partir de modèles linéaires pouvant être imparfaits. En effet, afin d’améliorer encore les performances des structures prédictives, l’étape de robustification de la commande MPC, utilisant un paramètre de Youla et les outils de l’optimisation convexe, doit permettre de tenir compte des incertitudes de modèle et globalement de non-linéarités. L’amélioration de la robustesse vis-à-vis de ces incertitudes sera l’objet des chapitres suivants.

Paramètres de réglage de la commande prédictive

Choisir le bon modèle du système et un correcteur MPC comme stratégie de commande ne résout pas encore le problème. Il reste à déterminer les paramètres de réglage spécifiques à la commande prédictive, qui interviennent généralement dans le critère de minimisation. Ces paramètres sont en fait assez semblables d’une structure prédictive à une autre, se composant d’horizons de prédiction et de pondérations. Si l’on se base sur une stratégie prédictive de type GPC (sans doute la plus connue), ces paramètres de réglage sont les suivants :

• les horizons inférieur ( N1 ) et supérieur ( N2 ) de prédiction sur la sortie ;

• l’horizon de prédiction sur la commande ( Nu ) ;

• les facteurs de ~ ) et sur l’effort de pondérations sur l’erreur de poursuite ( QJ ~).

Dans le cas de la commande prédictive avec contraintes, il convient de régler également les horizons sur les contraintes [Ola05]. Le critère d’optimisation peut englober aussi des coûts terminaux qui doivent être bien choisis. Il faut noter que non seulement ces paramètres de réglage, mais aussi la structure du critère quadratique, jouent un rôle fondamental sur les performances de la commande résultante. Dans la pratique, la période d’échantillonnage a aussi un rôle essentiel. Plusieurs stratégies de choix de ces paramètres existent, par exemple [BD96], [RLM05], [Ros03]. Ainsi, si l’on se réfère au cas GPC, on notera que pour un système à retard, l’horizon inférieur de prédiction sur la sortie peut être choisi égal à la valeur du retard pur divisé par la période d’échantillonnage, pour les autres systèmes il peut être égal à 1. L’horizon supérieur de prédiction sur la sortie peut être choisi approximativement égal au temps de réponse du processus divisé par la période d’échantillonnage. Si N2 augmente, les performances nominales en boucle fermée sont améliorées si toutefois Nu est suffisamment grand (ceci est nécessaire pour un bon conditionnement). Pourtant dans la pratique, pour beaucoup de systèmes, on constate qu’une valeur de Nu supérieure à 3 n’apporte pas de différences significatives. Une autre règle générale est de choisir N2 − Nu supérieur au temps de réponse.

L’horizon de prédiction sur la commande doit être augmenté en fonction de la complexité du système à piloter. Pour les systèmes stables simples (SISO), Nu peut être choisi égal à 1, parce que dans ce cas le comportement du système en boucle fermée suit le comportement du système en boucle ouverte, en restant stable. Pour les systèmes instables, Nu doit être choisi (strictement) supérieur au nombre des pôles instables. Généralement la pondération sur l’erreur de poursuite ~ est considérée comme QJ ~intervient et est unitaire, dans ce cas seule la pondération sur l’effort de commandeRJ ~ choisie conformément au critère suivant : l’augmentation de RJ conduit à une réponse plus lente du système bouclé avec le correcteur. Pour les systèmes multivariables, les ~ ~ pondérations QJ et RJ jouent un rôle très important sur le dépassement et sur la largeur relative de la bande passante. Ces matrices sont utilisées en vue de moduler la pondération relative entre les différentes voies d’un modèle MIMO [Ros03]. Une normalisation de l’erreur de poursuite par rapport à l’effort de commande s’impose en vue de donner un sens physique au choix des pondérations. Une bonne sélection de ces pondérations pour le cas MIMO peut s’avérer relativement longue. Notons enfin que dans le cas des lois de commande prédictives adaptatives [AW95], pour lesquelles il est nécessaire d’estimer le modèle du système en ligne à chaque période d’échantillonnage, les paramètres de réglage de la commande MPC adaptative peuvent éventuellement rester les mêmes dès lors que le système varie lentement au cours du temps.

Dans le cas de la commande prédictive multivariable, les mêmes horizons de prédiction sur toutes les sorties, ainsi que les mêmes horizons de commande sont généralement choisis, sauf si le comportement du système est vraiment très différent sur chaque voie entrée/sortie.

Motivations du choix de la loi de commande : MPC MIMO

Plusieurs structures de représentations linéaires d’un système physique sont utilisées de façon classique pour la modélisation : formulation entrée/sortie par fonction de transfert (équivalent à une implantation par équations aux différences), approche par représentation d’état discrète, ou encore représentation par convolution discrète. La représentation polynomiale entrée/sortie possède l’avantage de pouvoir utiliser directement des fonctions de transfert issues de techniques d’identification « boîte noire » par exemple, ce qui s’adapte peut-être plus facilement à un problème industriel. Cependant, elle devient très lourde à manipuler dans un contexte de commande multivariable. De fait, la représentation d’état discrète est le formalisme privilégié dans le cadre de ces travaux, dès lors, comme on le verra par la suite, qu’il se trouve le plus adapté à la manipulation des systèmes multivariables.

Partant de ce constat, la commande MPC s’avère une loi de commande très intéressante offrant la possibilité de permettre une analyse relativement simple de la stabilité et de la robustesse [CB04]. En effet, le correcteur MPC peut être interprété comme un compensateur incluant un observateur. Ainsi, la stabilité, les performances et la robustesse sont liées aux pôles de l’observateur (placés directement dans la région souhaitée) et aux pôles du correcteur (induits par le choix des horizons et des pondérations).

Par rapport aux représentations dites « polynomiales » (comme la formulation de la commande GPC « polynomiale » [BD96]), la commande MPC utilisant le formalisme d’état permet de traiter naturellement sous une forme unifiée le cas des systèmes monovariables et multivariables. Il est clair que l’interaction entre les différentes voies entrée/sortie des systèmes MIMO suggère l’utilisation de la technique MPC sous forme d’état qui considère explicitement le système avec ses couplages, plutôt qu’une loi de commande prédictive appliquée à chaque système SISO obtenu en découplant le système initial. En effet, dans ce dernier cas, les performances obtenues peuvent être médiocres ou peu satisfaisantes, le système couplé risquant même de devenir instable.

Par rapport aux stratégies classiques, la commande MPC apporte un plus grâce à sa manière systématique de traiter les systèmes multivariables, comparée par exemple à des outils comme l’utilisation de lieux de Nyquist multivariables [Mac89] qui souvent ne conduisent pas à un réglage précis. Axée on l’a vu sur une bonne connaissance du modèle qui englobe les interactions entre les différentes voies entrée/sortie du système MIMO, la commande MPC réagit mieux qu’un correcteur PID, qui n’est pas capable de prendre en compte les couplages multivariables, car il utilise trop peu d’informations liées au modèle [Ros03].

Un autre avantage de la commande MPC MIMO sous forme d’état réside dans le fait que cette technique peut s’appliquer aussi à des systèmes non carrés (possédant un nombre d’entrées différent du nombre de sorties), plus difficiles à régler avec des lois de commande classiques.

De façon générale, l’intérêt reconnu de la méthode MPC réside dans sa capacité à prendre en compte simplement des contraintes [Ola05], [GKR97], [LK99] (sur l’état, sur l’incrément ou l’amplitude des commandes, sur les sorties, sur le dépassement…) lors de la synthèse de la loi de commande. Cette caractéristique renforce encore la puissance et l’attrait de la technique MPC. Cependant, dans le cadre de cette thèse, aucune contrainte ne sera prise en compte. La technique de robustification mise en œuvre se base sur la synthèse d’un correcteur initial stabilisant MPC en l’absence de contraintes, robustifié ensuite face à plusieurs classes d’incertitudes à l’aide d’un paramètre de Youla. Cette restriction permet de rester dans le cas d’une structure de commande robustifiée linéaire, et ne nécessite pas d’optimisation temps réel du problème à résoudre.

Synthèse de la commande prédictive multivariable (MPC MIMO)

Le paragraphe précédent a justifié de façon quelque peu « philosophique » l’intérêt de la stratégie MPC MIMO pour la commande des systèmes multivariables, avec un modèle du système sous forme de représentation d’état. Cette partie décrit maintenant plus spécifiquement la procédure d’élaboration de la loi de commande prédictive sous forme d’état. Ce développement est réalisé pour le cas général d’un système multivariable non carré, incluant bien sûr comme cas particulier celui de la commande MPC des systèmes monovariables.

La Figure 2.3 illustre les trois étapes nécessaires à la formulation de la loi de commande prédictive MIMO : mise sous forme d’état du modèle du système (obtenu après une étape préliminaire de modélisation), calcul de la loi de commande (gain du correcteur et pré-filtre de consigne obtenus par minimisation d’un critère de performance), estimation de l’état par l’intermédiaire d’un observateur si l’état du système n’est pas disponible. Ces différentes étapes sont détaillées ci-dessous. yr (k+N2) Pré-filtre de + Δu(k) ∫ u(k) Modèle du y(k) consigne−système Observateuryˆ(k)

Représentation d’état du modèle et prédiction

Le point de départ de la synthèse consiste à définir le modèle du système à étudier. Considérons pour cela un modèle discret multivariable linéaire invariant dans le temps sous forme d’état de dimension n , avec m entrées et p sorties : x(k + 1) = A x(k) + Bu(k) (2.1) y(k) = Cx(k)

où les matrices à coefficients réels A ∈ Rn× n , B ∈ Rn× m , C ∈ R p× n sont respectivement les matrices d’état, de commande et d’observation représentant le système multivariable, le vecteur x ∈ Rn× 1 contient les états du modèle, le vecteur u ∈ Rm× 1 décrit les entrées du modèle, y ∈ R p× 1 représente le vecteur des sorties et k ∈ N caractérise le temps discret (par définition, si Te est la période d’échantillonnage cadençant le système continu piloté par calculateur, on note r(k) la valeur prise par un signal r à l’instant d’échantillonnage k Te , i.e. r(k) = r(t) t =k Te ). Pour simplifier les notations, la relation (2.2) sera utilisée avec la même signification que l’équation (2.1) : AB (A,B,C,0) ou (2.2)

Les notations suivantes seront considérées tout au long de ce mémoire : une lettre minuscule pour désigner un scalaire ( a ), une lettre minuscule en caractère gras pour un vecteur ( a ) et une lettre majuscule en caractère gras pour une matrice (A).

Si l’on se réfère à la forme polynomiale de la commande GPC, la représentation la plus utilisée dans ce cas est un modèle de type CARIMA (Controlled Auto-Regressive Integrated Moving Average). Il est possible de faire un lien entre ces deux formulations grâce à des méthodes de passage du modèle CARIMA à une représentation d’état [OC93], [SRD07b].

Une analyse de la représentation (2.1) montre que le vecteur de commande u intervient directement dans cette représentation. Dès lors que l’on souhaite faire intervenir, comme ce sera le cas à partir du paragraphe 2.3.2, l’incrément de commande Δu ∈ Rm× 1 (par définition l’incrément d’un signal r est donné par Δr(k) = r(k) − r(k −1) ) directement dans le critère quadratique à minimiser, il convient de modifier la représentation (2.1) pour introduire cet incrément. Cette opération est équivalente à considérer que le correcteur agit pour appliquer un signal Δu au nouveau système « étendu » constitué de l’action intégrale discrète (2.3) et du système initial : u(k) = u(k −1) + Δu(k) (2.3).

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Table des matières

Chapitre 1 Introduction
1.1. Contexte
1.2. Motivations
1.3. Organisation de la thèse
Chapitre 2 Commande prédictive multivariable
2.1. Introduction
2.2. Philosophie de la commande prédictive
2.2.1. Historique
2.2.2. Principes de la commande prédictive
2.2.3. Choix du modèle du processus
2.2.4. Paramètres de réglage de la commande prédictive
2.2.5. Motivations du choix de la loi de commande : MPC MIMO
2.3. Synthèse de la commande prédictive multivariable (MPC MIMO)
2.3.1. Représentation d’état du modèle et prédiction
2.3.2. Critère de performance
2.3.3. Elaboration de la loi de commande
2.3.4. Synthèse de l’observateur
2.4. Exemple
2.5. Conclusions
Chapitre 3 Robustification de lois de commande MPC multivariables
3.1. Introduction
3.2. Contexte
3.2.1. Commande prédictive robuste ou robustifiée dans la littérature
3.2.2. Motivation du choix de la méthode de robustification
3.3. Robustesse – généralités
3.3.1. Rappel sur les incertitudes non-structurées
3.3.2. Quelques outils de robustesse
3.3.3. Etude de faisabilité
3.4. Généralités sur la synthèse par le paramètre de Youla
3.4.1. Paramétrisation de tous les correcteurs stabilisants via le paramètre de Youla
3.4.2. Choix de la forme du paramètre de Youla multivariable
3.5. Robustesse en stabilité – Incertitudes non-structurées additives
3.5.1. Formulation générale du problème de robustesse face à des incertitudes non-structurées additives
3.5.2. Calcul de la boucle fermée
3.5.3. Transformation en LMI
3.5.4. Evaluation du nombre de variables scalaires de décision
3.6. Robustesse en stabilité – Incertitudes non-structurées multiplicatives
3.6.1. Formulation générale du problème de robustesse face à des incertitudes non-structurées multiplicatives
3.6.2. Calcul de la boucle fermée
3.6.3. Evaluation du nombre de variables scalaires de décision
3.7. Performances nominales via des gabarits temporels sur les sorties
3.7.1. Formulation du problème
3.7.2. Calcul explicite du transfert perturbations/sorties
3.7.3. Mise sous forme LMI
3.7.4. Etude de la complexité du problème
3.7.5. Analyse de faisabilité
3.8. Réduction de l’ordre du paramètre de Youla
3.9. Exemples d’application
3.9.1. Application à la commande d’une machine asynchrone
3.9.2. Application à un réacteur chimique
3.10. Conclusions
Chapitre 4 Robustification de lois de commande MPC multivariables : Prise en compte d’incertitudes structurées
4.1. Introduction
4.2. Contexte
4.2.1. Commande prédictive robuste face à des incertitudes structurées dans la littérature
4.2.2. Motivation du choix de la méthode de robustification
4.3. Notions théoriques sur la robustesse face à des incertitudes structurées
4.3.1. Rappel sur les incertitudes polytopiques
4.3.2. Quelques outils de robustesse
4.4. Incertitude polytopique dans le cas d’un correcteur initial stable sur tout le domaine incertain
4.4.1. Formulation du problème de robustesse
4.4.2. Calcul du transfert ubT
4.4.3. Analyse des résultats obtenus
4.4.4. Exemple
4.5. Incertitude polytopique dans le cas d’un correcteur initial instable sur une partie du domaine incertain
4.5.1. Formulation du problème
4.5.2. Approches proposées dans la littérature
4.5.3. Solution sous-optimale de complexité raisonnable
4.5.4. Etude de la complexité du problème
4.5.5. Analyse de faisabilité
4.5.6. Exemple
4.6. Conclusions
Chapitre 5 Mise au point du logiciel MIMOptMPC
5.1. Introduction
5.2. Contexte
5.3. Paramètres et options de robustification
5.3.1. Paramètres du système
5.3.2. Paramètres et options de la loi de commande MPC initiale
5.3.3. Paramètres et options de robustification
5.4. Outils de visualisation
5.4.1. Analyse du système et du modèle initial
5.4.2. Analyse des résultats obtenus avec le correcteur MPC initial
5.4.3. Analyse des résultats obtenus après la robustification
5.5. Conclusions
Chapitre 6 Application à un système complexe
6.1. Introduction
6.2. Description du système
6.2.1. Présentation générale
6.2.2. Etude du pivot
6.3. Problématique
6.4. Linéarisation du système
6.5. Elaboration de la commande
6.5.1. Correcteur prédictif initial
6.5.2. Correcteur robustifié face à des incertitudes additives et polytopiques
6.6. Conclusions
Conclusions
Originalité du travail et apports scientifiques
Perspectives
Annexe A
A.1. Calcul des sorties prédites
A.2. Calcul de la loi de commande MPC : une variante
A.3. Mise en œuvre d’un observateur « estimateur »
Annexe B
B.1. LMIs – Généralités
B.2. BMIs– Généralités
B.3. Démonstrations des théorèmes
B.3.1. Démonstration du Théorème 2 (Lemme borné réel pour le cas discret)
B.3.2. Démonstration du Théorème 3
Liste des figures
Liste des tableaux
Références bibliographiques