Robustesse en stabilité des systèmes linéaires avec erreurs de modèle non structurées

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Analyse en stabilité des systèmes linéaires bouclés à temps continu

Les paragraphes suivants sont consacrés à un rappel des outils d’analyse des systèmes bouclés. Après un bref rappel sur l’analyse de la stabilité et de la performance du système bouclé nominal, nous nous intéressons à la notion de robustesse. Nous rappelons le théorème du petit gain appliqué à l’analyse de la robustesse face à des erreurs de modélisation non structurées. La stabilité est la propriété fondamentale que doit impérativement vérifier tout système à commander. La stabilité d’un système est, de manière qualitative, la capacité de ce dernier à revenir à une position d’équilibre lorsqu’il en est ponctuellement écarté [8].

Condition de performance nominale

La performance nominale des systèmes linéaires à temps continu consiste à assurer, pour le système en boucle fermée correspondant au modèle utilisé pour le calcul de la commande, des propriétés convenables, notamment de précision et de rapidité.
La performance nominale est caractérisée par les différentes matrices de sensibilité de la boucle de régulation. Cette performance nominale du système asservi de la figure 1.08 est jugée satisfaisante si les objectifs de performance sont satisfaits pour le modèle nominal .
La performance du système nominal est évaluée en fonction de l’erreur . Or la matrice de sensibilité est le rapport du signal d’erreur global sur la consigne .
Rechercher la performance nominale revient à fixer un majorant noté de la norme de la matrice de sensibilité en fonction de la fréquence [11].
Définition 1.06: La spécification de la performance nominale du système bouclé peut être exprimée par : (1.38)
Dans ce cas l’erreur de régulation est inférieure à . L’inverse du majorant définit la matrice de pondération du système linéaire. Cette matrice appartient à et est notée : (1.39)
Où la fonction de pondération est un filtre du premier ordre ou du second ordre à degrés de liberté. Cette matrice de pondération traduit la performance nominale du système linéaire. La façon dont cette matrice intervient dans la description du système asservi est représentée schématiquement sur la figure 1.10. Cette matrice de transfert de performance nominale est calculée entre la consigne et la sortie pondérée . Elle est notée .

Analyse robuste

La conception d’un asservissement consiste à ajuster le transfert du correcteur de manière à obtenir les propriétés et le comportement désirés en boucle fermée. Outre la contrainte de stabilité, on recherche typiquement les meilleures performances possibles. Cette tâche est compliquée par deux difficultés principales. D’une part, la conception s’exécute sur un modèle idéalisé du système. Il faut donc assurer la « robustesse » aux imperfections de ce modèle, c’est-à-dire garantir les propriétés désirées pour toute une famille de systèmes autour du modèle de référence. D’autre part, on se heurte à des limitations intrinsèques comme le compromis entre performances et robustesse [4], [11], [14].

Le problème standard

Le modèle incertain du système étant défini, il s’agit de calculer une loi de commande compatible avec la structure en contre-réaction de la figure 2.01 et qui confère au système le plus insensible possible aux incertitudes et perturbations pouvant l’affecter tout en permettant d’atteindre un niveau de performance satisfaisant. Cela implique le choix d’une structure de commande par la définition de spécifications fonctionnelles et le choix d’une méthode de synthèse.
La synthèse utilise la notion de problème standard, qui est représenté sur la figure 2.01 : la matrice de transfert du processus augmenté modélise les interactions dynamiques entre deux ensembles de vecteurs d’entrées et deux ensembles de vecteurs de sorties. D’après la méthode de Burl [17].

Algorithme pour calculer le gain optimal

Cet algorithme est connu sous le nom de – itération. Nous savons par le théorème du petit gain que la boucle fermée est d’autant plus robuste que la norme de chaque transfert en boucle fermée est faible. Néanmoins on ne sait pas déterminer sous la contrainte . Par contre, en fixant , le problème est soluble et convexe. Le problème standard admet une solution s’il existe un correcteur qui satisfait la contrainte.
. L’algorithme – itération est établie comme suit, d’après les travaux de Packard, Apkarian, Gahinet et Becker [22], [23] .
– On initialise le processus avec un intervalle contenant .
– A chaque itération on élimine une moitié de cet intervalle en testant les conditions (2.07), (2.08) et (2.09).

Modèle mathématique des incertitudes structurées

Les incertitudes structurées ou paramétriques affectent généralement la valeur d’un ou plusieurs des paramètres réels, qui doivent être considérés. Ces incertitudes, si elles ne sont pas appréhendées correctement, peuvent rendre totalement inefficace toute l’analyse et toute la synthèse du système bouclé (articles de Doyle [1] et Lu, Zhou, Doyle [2]). La structure de ces incertitudes paramétriques est modélisée par l’équation (a) pour être proche de la réalité physique.

Table des matières

CHAPITRE 1 ELEMENTS INTRODUCTIFS A L’ANALYSE DES SYSTEMES LINEAIRES MULTIVARIABLES
1 .1 Systèmes linéaires multivariables invariants à temps continu
1 .1.1 Modèle d’état des systèmes à un vecteur d’entrées et à un vecteur de sorties
1.1.2 Modèle d’état des systèmes à deux vecteurs d’entrées et à deux vecteurs de sorties
1 .1.3 Interconnexion de systèmes
1 .2 Critère de commandabilité de Kalman
1 .3 Critères d’observabilité de Kalman
1 .4 Schéma bloc du système nominal et du système perturbé
1 .4.1 Forme standard
1 .4.2 Transformation fractionnaire linéaire d’une matrice
1 .4.3 Calcul de la norme
1 .5 Analyse en stabilité des systèmes linéaires bouclés à temps continu
1 .5.1 Marge de phase
1 .5.2 Marge de gain
1 .5.3 Marge de retard
1 .5.4 Marge du module
1 .5.5 Autres indicateurs fréquentiels
1 .6 Stabilité interne
1 .7 Théorème du petit gain
1 .8 Analyse en performance des systèmes linéaires bouclés à temps continus
1 .8.1 Introduction
1 .8.2 Spécifications fréquentielles de performance nominales
1 .8.3 Condition de performance nominale
1 .9 Mise en forme de la boucle de commande
1 .10 Modelage des matrices de sensibilité
1 .10.1 Marge de module
1 .10.2 La bande passante en boucle fermée
1 .11 Analyse robuste
1 .11.1 Forme standard pour l’analyse robuste
1 .11.2 Formulation du problème standard pour l’analyse de la robustesse
1 .11.3 Robustesse à la stabilité des systèmes linéaires
1.11.4 Robustesse en stabilité des systèmes linéaires avec erreurs de modèle non structurées
1 .12 Les formes de modèles d’erreurs [4]
1 .13 Gabarit de la robustesse en stabilité
1 .14 Robustesse en performance
1 .14.1 Définition 1.12
1 .14.2 Théorème 1.05
1 .15 Conclusion
CHAPITRE 2 SYNTHESE DES SYSTEMES LINEAIRES MULTIVARIABLES
2 .1 Méthode pour la synthèse d’asservissements
2 .1.1 Introduction
2 .1.2 Le problème standard
2 .1.3 Résolution du problème
2 .2 Solution générale des problèmes réguliers
2 .3 Conclusion
CHAPITRE 3 SYNTHESE DES SYSTEMES LINEAIRES
3 .1 Valeurs singulières structurées
3 .1.1 Définitions
3 .1.2 Propriétés des valeurs singulières structurées
3 .2 La -synthèse
3 .2.1 D-K itération
3 .2.2 , K itération
3 .3 Conclusion
CHAPITRE 4 SIMULATION DES SYSTEMES LINEAIRES PAR LA -SYNTHESE
4 .1 Processus nominal
4 .2 Processus perturbé
4 .2.1 Incertitudes structurées (paramétriques)
4 .2.2 Incertitudes non structurées (modèle d’erreur d e forme additive directe)
4.3 Application à un système linéaire dont le processus linéaire est perturbé avec 3 i ncertitudes paramétriques et une incertitude non structurée de forme additive directe
4 .4 Analyse fréquentielle du système avec incertitudes paramétriques
4 .5 Cahier de charges du système
4 .5.1 Performance et stabilité nominale
4 .5.2 Robustesse en stabilité
4 .5.3 Robustesse en performance
4 .6 Interconnexion du système
4 .7 Synthèse du correcteur
4 .8 Analyse du système
4 .8.1 Fonction de sensibilité S
4 .8.2 Fonction de sensibilité complémentaire T
4 .8.3 Diagramme des valeurs singulières du système
4 .8.4 Pôles et zéros du système
4 .8.5 Diagrammes de Bode du système
4 .8.6 Marge de gain et marge de phase
4 .8.7 Réponse impulsionnelle du système
4 .8.8 Réponse indicielle du système
4 .9 Conclusion
CONCLUSION
ANNEXES
Annexe A : Modèle mathématique des incertitudes structurées
A1.1 Représentation des incertitudes paramétriques par transformation fractionnaire l inéaire
A 1.1.1 Représentation des incertitudes par
A 1.1.2 Représentation des incertitudes par
Annexe B: Propriétés des valeurs singulières structurées
Annexe C : Equation algébrique matricielle de Riccati
BIBLIOGRAPHIE

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