Revue de littérature sur le flambement

Etats d’équilibre stable et instable

D’une manière générale, on peut définir la stabilité comme la capacité d’un système physique à revenir à l’équilibre lorsqu’il est perturbé légèrement. Pour un système mécanique, on peut adopter la définition donnée par Dirichlet : « L’équilibre d’un système mécanique est stable si, lorsque l’on déplace les points du système de leur position d’équilibre d’une quantité infinitésimaleet en leur donnant à chacun d’eux une faible vitesse initiale, les déplacements des différents points du système restent, pendant le déplacement, contenus dans des limites imposées faibles ». Cette définition montre clairement que la stabilité détermine une qualité d’une solution (une solution d’équilibre) d’un système et que le problème de s’assurer de la stabilité d’une solution concerne le « voisinage » de cette solution particulière. Si on considère un système élastique conservatif, initialement en état d’équilibre sous l’action d’un ensemble de forces, le système s’écartera de cet état d’équilibre seulement s’ilsubit une force perturbatrice temporaire. Si l’énergie fournie au système par cette force perturbatrice est W, on a alors :W = T + V’ = constante À cause du principe de conservation de l’énergie.

Dans cette relation T représente l’énergie cinétique du système et V’ l’énergie potentielle. Une faible augmentation de T s’accompagne d’une diminution faible identique de V’et vice versa. Si le système est initialement en configuration d’équilibre d’énergie potentielle minimale, alors l’énergie cinétique T du déplacement libre correspondant décroît dans la mesure où V’ doit croître. Par conséquent, le déplacement depuis l’état initial restera faible et l’état d’équilibre est stable. Pour des corps rigides, la stabilité peut être illustrée par l’exemple bien connu de la bille sur un support courbe. Si la bille repose sur une surface concave, l’équilibre est stable si l’on donne à la bille une vitesse initiale faible, elle commencera à osciller, mais restera à proximité de son état d’équilibre. D’un autre côté, si le système n’est pas dans une configuration de V’ minimum (énergie potentielle), alors le fait de lui donner une impulsion va conduire très rapidement à de grands déplacements et vitesses et on dit que le système est instable. C’est le cas lorsque la bille repose au sommet d’une surface convexe ou au point d’inflexion horizontal d’une surface. Si la bille repose sur un plan horizontal, l’équilibre est dit « neutre » [3].

Définition de flambement

L’une des hypothèses fondamentales dans le calcul élastique des poutres et des systèmes de poutres consiste à supposer de petites transformations (petits déplacements et petite déformations). En particulier on peut alors appliquer le principe de superposition d’états d’équilibre. En l’absence de cette hypothèse, les conditions d’équilibre doivent être écrites par rapport à la configuration déformée de la structure. Les déplacements ne restent plus proportionnels aux forces extérieures et il est même possible de voir les déplacements devenir très grands sous l’effet de ces forces extérieures. Pour les structures élancées, on observe aussi des phénomènes d’instabilité, c’est à dire qu’il n’y a plus unicité de la déformée pour un chargement donné. Un exemple de ces phénomènes d’instabilité est celui du flambement d’une poutre élancée sous l’action d’un effort axial de compression. Cet effort est d’autant plus faible que l’élancement de la poutre est plus grand. Euler (Î744) a été le premier à expliquer ce phénomène. Lorsqu’une tige mince rectiligne soumise à une force verticale N inférieure à la force critique Ncr une seule position d’équilibre stable existe : celle où la tige reste rectiligne Lorsque N est supérieure à la force critique, deux positions d’équilibre existent : l’une où la tige est fléchie, l’autre où la tige reste rectiligne mais est alors instable.

Le problème du flambement latéral des poutres, a été repris plus en détail par plusieurs auteurs (Mandel, 1936 ; Timoshenko, 1936 ; Hetenyi, 1946 Courbon, 1964, …). Ainsi, Mandel (1936) définit le flambement comme un phénomène commun à tous les corps minces à deux dimensions. Les corps cylindriques à parois minces, par exemple, peuvent être instables et flamber pour des tensions relativement faibles si l’épaisseur des parois est très faible par rapport au diamètre. Le flambement d’un cylindre mince peut encore se produire sous l’effet de la compression axiale, de la torsion, de la flexion [5]. La théorie d’Euler, relative à des poutres de forme élancée, est restée longtemps sans application pratique. Les principaux matériaux de construction, à son époque, le bois et la pierre étaient utilisés dans des constructions massives où les phénomènes d’instabilité ne se posaient pas. Ce ne fut qu’au début de la construction des ponts en acier que la question du flambement des pièces minces prit une importance pratique. L’emploi de l’acier et des alliages à haute résistance pour toutes les constructions modernes et, en particulier pour les ponts, les navires et les avions, a fait de l’instabilité élastique un problème d’une importance considérable. L’expérience a prouvé que des constructions de ce type peuvent, dans certains cas, subir des dommages allant jusqu’à la rupture provoquée par l’instabilité élastique de pièces trop élancées ou de corps creux dont les parois sont très minces [6].

Flambement par bifurcation

On a vu que le concept de stabilité est en relation avec l’énergie potentielle d’un système. Cependant, la stabilité d’un système élastique statique ou d’une structure, peut aussi s’expliquer par des considérations de rigidité. Si l’on se réfère à la figure 1a, on peut voir que la dérivée de l’énergie potentielle par rapport au déplacement donne la rigidité du système. De ce fait, une rigidité positive implique un état stable, tandis que, à la limite de la stabilité, la rigidité disparaît. Pour une structure, la rigidité est fournie sous forme matricielle qui, si elle est à la fois définie et positive, garantit à la structure un état stable. Le point auquel l’état d’un système change, pour passer d’un état d’équilibre stable à un état d’équilibre neutre est appelé « limite de stabilité ». Le système de la bille sur un support courbe peut être comparé à une structure telle qu’un poteau en compression. Dans ce cas, le poteau peut être stable ou instable, selon la valeur de la charge axiale, paramètre de contrôle du système (figure1.7 a).la structure sera en équilibre stable pour des valeurs de N faibles ; s’il y a des déflexions dues à des forces perturbatrices, le poteau reviendra à sa position rectiligne. Lorsque la charge atteint un certain niveau, appelé « charge critique », l’équilibre stable atteint une limite. Pour cette valeur Ncr de la charge, il existe une autre position d’équilibre, correspondant à une configuration légèrement déformée du poteau ; si, pour cette valeur, l’élément est déformé par une perturbation quelconque faible, il ne reviendra pas à sa configuration rectiligne. Si la charge dépasse la valeur critique, la position rectiligne est instable et une perturbation légère conduit à de grands déplacements pour l’élément, puis, enfin, à l’effondrement du poteau par flambement. Le point critique, au-delà duquel les déplacements de l’élément deviennent très grands, est appelé « point de bifurcation » du système (figure1.7 b).

Influence des imperfections géométrique sur des barres comprimées

L’expérimentation démontre que l’effort de compression n’est jamais idéalement appliqué suivant l’axe moyen de la section. En effet, les pièces ne sont jamais rigoureusement rectilignes de par les diverses manutentions et transports, voire dès la sortie des laminoirs. Sur chantier, les poteaux ne sont jamais parfaitement verticaux. Et si l’on rajoute à cela les tolérances de laminage (inerties variables) ainsi que les défauts d’homogénéité (module d’élasticité E variable) on comprend aisément que la charge initialement appliquée à l’axe de la pièce se trouve inévitablement décalée, générant par la même occasion un petit moment de flexion parasite suffisamment important, mais réel est inévitable, et majorant considérablement la contrainte de compression. La pièce prend alors la forme d’une flamme ondulée, d’où le nom de flambage [11]. Les éléments de structure réels ne se comportent pas exactement comme le prédit la théorie de labifurcation élastique. Tout d’abord, le matériau n’est pas infiniment élastique le résultat est que l’on a un comportement élasto-plastique et un flambement inélastique. Puis, les éléments de structure sont affectésde plusieurs types d’imperfections (principalement de nature géométrique et/ou mécanique) qui peuventaffaiblir sérieusement leur capacité de charge.

La modification rapide de la déformation lorsque la chargeappliquée augmente (caractéristique du phénomène de flambement), donne aussi lieu à des effets dusecond ordre qui, lorsqu’ils sont combinés avec un comportement du matériau inélastique, ont pourrésultat un comportement non-linéaire global de la structure [2]. Ce chapitre a défini les paramètres qui gouvernent le comportement élastique d’un barregéométriquement parfait, c’est-à-dire sans défaut de linéarité initiale, ni excentricité de chargement. Laprésente leçon examine les effets d’un comportement inélastique du matériau, en l’absence de tout typed’imperfection. Ensuite, on étudiera tour à tour l’influence d’une imperfection géométrique. Enfin, on analysera l’effet de toutes ces caractéristiques prises ensemble.

Table des matières

Introduction générale
Chapitre 1 : Revue de littérature sur le flambement
1.1Introduction
1.2Etats d’équilibre stable et instable
1.3 Les origines des phénomènes d’instabilité élastique
1.4Le flambement
1.4.1 Le Définition de flambement
1.4.2Lestypes de flambement
1.4.2.1Flambement par flexion
1.4.2.2Flambement par torsion
1.4.2.3 Flambement par flexion-torsion
1.4.2.4 Flambement par bifurcation
1.4.2.5 Flambement avec point limite
1.4.2.6 Flambement par divergence
1.4.3 Les dangers du flambement
1.5 Mise en évidence du flambement
1.6. Charge critique d’Euler
1.7 Longueur de Flambement
1.8 Influence des conditions aux limites
1.9 Rayon de giration
1.10 Contrainte critique d’Euler
1.11 Les imperfections
1.11.1 Les imperfections d’éléments
1.12 Le facteur d’imperfection
1.13 Améliorations de la résistance au flambement
1.14 Conclusion
Chapitre 2 : Effet des imperfections géométriques sur les barres comprimées
2.1Introduction
2.2Courbe de résistance d’un barreau parfait
2.3 Résistance des barres réels
2.3.1 Imperfection géométrique des barres réels
2.3.2 Non linéarité initiale
2.3.3 Résolution numérique sur ordinateur
2.3.4 Interprétation des courbes
2.4Excentricité du chargement
2.5Effets combinés des imperfections
2.6 Conclusion
chapitre 3 :
3.1 Introduction
3.2 Les Barres Comprimées Fléchies Examinées
3.2.1 Effet du moment fléchissant
3.2.2 Simulations numériques
3.3 Effet de l’effort tranchant
3.4 Intégrant l’effet du moment fléchissant
3.5 Application
3.6 Etude comparative
3.7 Conclusion
Conclusion générale

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